WEBVTT NOTE PGD009 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.600 --> 00:00:04.936 Ja, hallo, hier ist Pi ist genau 3 mit unserer schon neunten Folge 00:00:05.467 --> 00:00:09.533 und an den Mikrofonen sind Thomas Kahle und Petra Schwer. 00:00:09.533 --> 00:00:11.706 Hallo Petra. Du hast was vorbereitet. 00:00:11.796 --> 00:00:14.610 Ich habe schon einen Tipp bekommen, aber worum geht es denn heute? 00:00:14.881 --> 00:00:17.386 Ich habe ein Gedicht mitgebracht zum Einstieg. 00:00:17.386 --> 00:00:20.683 Ich möchte gerne mal literarisch anfangen und zwar mit einem Gedicht von 00:00:20.854 --> 00:00:23.809 Christoph Martin Wieland und danach sage ich dir, worum es geht. 00:00:24.982 --> 00:00:27.524 Das Gedicht heißt Neujahrswunsch, ist von 1774. 00:00:28.782 --> 00:00:29.167 Oh, 00:00:29.167 --> 00:00:30.250 das ist bestimmt. 00:00:30.310 --> 00:00:33.083 Ist toll, nicht? Ja, ich lese es mal vor. 00:00:33.083 --> 00:00:37.600 Ich sehe wohl, die Leutchen wundert, wie dies sich enden wird, verzeiht. 00:00:37.600 --> 00:00:41.189 Wenn es zu lange wäret, ich lieb in allen Sachen den nächsten Weg, 00:00:41.189 --> 00:00:46.010 wiewohl er zweimal oft so weit als jener ist, den andere Wander machen. 00:00:46.143 --> 00:00:48.118 Ein guter Weg ist einen Umweg wert, 00:00:48.450 --> 00:00:51.710 und minder ist oft mehr, wie Lessings Prinz uns lehrt. 00:00:52.083 --> 00:00:57.470 Die letzte Zeile ist dir sicher als Redewendung, weniger ist mehr, bekannt. 00:00:57.884 --> 00:00:59.632 Ein guter Weg ist ein Umweg wert. 00:00:59.632 --> 00:01:01.630 Also wenn ich quasi... 00:01:02.342 --> 00:01:05.282 weiß, dass da hinten noch was Schönes gibt, kann ich auch mal einen Umweg machen. 00:01:05.282 --> 00:01:07.713 Genau, oder der ist vielleicht leichter und du sparst dir dadurch, 00:01:07.713 --> 00:01:08.838 über den Berg zu laufen oder so. 00:01:08.838 --> 00:01:09.338 Mhm, ja. 00:01:10.264 --> 00:01:12.577 Also du kannst durch die Ebene gehen, ist vielleicht einen Kilometer länger. 00:01:12.577 --> 00:01:13.077 Mhm. 00:01:14.021 --> 00:01:18.270 Aber sonst müsstest du halt irgendwie 100 Höhenmeter hoch und wieder runter. 00:01:18.946 --> 00:01:19.634 Ach so. 00:01:19.634 --> 00:01:22.942 Mhm. Ich dachte jetzt gar nicht so an Effizienz. 00:01:22.942 --> 00:01:24.588 Ne, an die Aussicht, ne? Das könnte auch sein. 00:01:24.588 --> 00:01:25.751 Hinten gibt's noch Brombeeren 00:01:25.751 --> 00:01:28.650 und dann machst du noch einen 2-Kilometer-Umweg für die. 00:01:29.021 --> 00:01:31.314 Himbeeren, Brombeeren, die du pflücken kannst. 00:01:31.314 --> 00:01:32.442 Weniger ist mehr. 00:01:32.442 --> 00:01:35.629 Genau, weniger ist mehr ist das Motto von heute 00:01:35.629 --> 00:01:40.072 und zwar möchte ich reden mit dir über Komplexitätsreduktion in der Mathematik. 00:01:40.072 --> 00:01:40.810 Ja. 00:01:41.982 --> 00:01:44.776 Ich denke, da sollten wir erstmal vielleicht versuchen, 00:01:44.947 --> 00:01:50.146 die vorkommenden Begriffe einzugrenzen, also Komplexität und Reduktion. 00:01:50.818 --> 00:01:52.170 Was wir damit meinen. 00:01:52.829 --> 00:01:54.250 Also Komplexität. 00:01:54.980 --> 00:02:00.546 Komplexität ist vielleicht irgendwie so nicht durchblicken, nicht verstehen, 00:02:00.546 --> 00:02:05.471 was passieren wird, Rückkopplung, vielleicht so chaotisches Verhalten. 00:02:05.471 --> 00:02:07.653 Es gibt ja auch so chaotische Systeme, 00:02:07.653 --> 00:02:10.806 wo wenn du ganz klein bisschen die Anfangsbedingungen änderst, dass dann 00:02:11.717 --> 00:02:13.328 das Ergebnis ganz anders sein wird. 00:02:14.019 --> 00:02:14.550 Und da 00:02:16.480 --> 00:02:18.042 blickt man eben auch nicht durch, was passieren wird, 00:02:18.042 --> 00:02:20.574 also was die Änderungen für Auswirkungen haben. 00:02:20.864 --> 00:02:21.975 Ja, genau. 00:02:22.105 --> 00:02:24.367 Komplexität ist irgendwie so das Gegenteil von Klarheit. 00:02:24.367 --> 00:02:26.629 Man weiß vielleicht nicht, was... 00:02:26.629 --> 00:02:28.670 Ist auch so eine Kleinteiligkeit drin, ne? 00:02:28.670 --> 00:02:29.611 In Komplexität. 00:02:29.611 --> 00:02:33.844 Also es ist irgendwie so ein Wust an Detailinformationen und 00:02:34.555 --> 00:02:41.290 Menge an Sachverhalten, die man vielleicht gar nicht so klar sortiert kriegt. 00:02:42.701 --> 00:02:43.685 Wie so ein Mischpult. 00:02:43.685 --> 00:02:48.610 Ich beschäftige mich ja zurzeit privat ein bisschen mit so Audio-Technik und da… 00:02:48.920 --> 00:02:51.582 Gibt es da so, wenn du so ein Stock-Image von so einem Mischpult nimmst, 00:02:51.582 --> 00:02:56.206 dann sind da halt irgendwie so eine Matrix von 10 mal 40 Reglern 00:02:56.206 --> 00:02:57.567 und Schiebern und so 00:02:57.567 --> 00:03:00.369 und das ist irgendwie vielleicht so ein Symbolbild für Komplexität. 00:03:00.369 --> 00:03:02.861 Ganz viele verschiedene Einflussgrößen. 00:03:03.111 --> 00:03:07.014 Ja, aber die halt auch so ein Zielsetzungs-Dilemma manchmal haben. 00:03:07.014 --> 00:03:07.594 Also je nachdem, 00:03:07.594 --> 00:03:09.776 was du erreichen willst mit diesem Mischpult, 00:03:09.776 --> 00:03:11.257 musst du halt an anderen Reglern drehen. 00:03:11.257 --> 00:03:12.658 Zielkonflikte können auch auftreten. 00:03:12.658 --> 00:03:15.330 Du kriegst es vielleicht gar nicht gleichzeitig realisiert. 00:03:15.580 --> 00:03:18.624 Das ist glaube ich auch so ein Aspekt von Komplexität, 00:03:18.624 --> 00:03:21.257 dass dieses Detailreichtum manchmal auch 00:03:23.009 --> 00:03:26.734 sich widersprechende Ziele erlaubt, 00:03:26.734 --> 00:03:29.236 womit ich dann entscheiden muss, 00:03:29.236 --> 00:03:32.430 in welche Richtung will ich jetzt betonen oder was ist mir wichtiger. 00:03:34.083 --> 00:03:37.515 Und naja, die Reduktion ist eigentlich irgendwie klar. 00:03:37.515 --> 00:03:42.929 Da geht es halt darum, aus diesem Detailwust und aus diesen komplizierten 00:03:44.062 --> 00:03:47.438 Dinge, Muster, die alle irgendwie miteinander zusammenhängen und verwoben sind, 00:03:47.438 --> 00:03:50.570 eine einfachere Struktur zu schaffen. 00:03:51.084 --> 00:03:54.130 Ja, Komplexität ist hier irgendwie jetzt negativ aufgeladen. 00:03:54.584 --> 00:03:54.886 Ja. 00:03:54.886 --> 00:03:56.860 Oder zumindest negativ besetzt. 00:03:56.860 --> 00:04:01.410 Es kann ja Komplexität schön sein, aber sagen wir mal, dann ist Reduktion ja klar. 00:04:01.446 --> 00:04:05.508 Wenn man sozusagen Komplexität als was Unsere Definitionen waren so wie, 00:04:05.508 --> 00:04:07.821 das will man nicht oder das, mit dem muss man irgendwie umgehen. 00:04:07.821 --> 00:04:08.885 Na vielleicht will man's, 00:04:08.885 --> 00:04:13.118 aber vielleicht ist es halt auch zu schwer, um das so stehen zu lassen. 00:04:13.118 --> 00:04:15.423 Ja, also wir hatten ja letztes Mal über Lösungen gesprochen 00:04:15.423 --> 00:04:16.324 und über Verständnis, 00:04:16.324 --> 00:04:17.315 dass wenn man irgendwie 00:04:17.726 --> 00:04:19.008 Klarheit schaffen will 00:04:19.008 --> 00:04:21.752 oder auch Strukturen abgrenzen will von anderen Strukturen, 00:04:21.752 --> 00:04:25.126 indem man sie versteht und ihre Eigenschaften beschreibt, 00:04:26.178 --> 00:04:31.042 dann muss man ja auch irgendwie Aussagen treffen können über diese Strukturen, 00:04:31.042 --> 00:04:32.874 zum Beispiel mathematische Strukturen. 00:04:33.745 --> 00:04:34.775 Und dazu 00:04:37.408 --> 00:04:40.961 muss man diese Systeme, sag ich mal, von anderen Systemen auch abgrenzen. 00:04:42.132 --> 00:04:43.423 Und das, denke ich, 00:04:44.113 --> 00:04:48.407 entsteht auch dadurch, dass man eben nicht alle Details betont, 00:04:48.797 --> 00:04:51.982 sondern sich auf relevante Sachen fokussiert, die Tschüssi. 00:04:53.422 --> 00:04:57.724 Die den Aspekt hervorheben, der einem jetzt gerade interessant ist, 00:04:58.557 --> 00:04:59.870 der einem wichtig ist. 00:05:00.421 --> 00:05:04.037 Ja, wenn das überhaupt geht. Also die Informationsbeschaffung 00:05:05.570 --> 00:05:09.345 über Systeme ist vielleicht erstmal der erste Schritt in der Komplexitätsreduktion. 00:05:09.616 --> 00:05:13.021 Dass man versucht hat, so viel wie möglich Stell dir vor, 00:05:13.021 --> 00:05:14.265 du hast jetzt dieses Mischpult. 00:05:14.265 --> 00:05:15.509 Du hast nicht nur so einen großen Mischpult, 00:05:15.509 --> 00:05:17.343 sondern es ist auch noch neblig und du siehst gar nicht, 00:05:17.414 --> 00:05:19.810 wie viele Reihenregler da eigentlich sind. 00:05:22.421 --> 00:05:24.184 Also das ist ja auch in der Mathematik, 00:05:24.184 --> 00:05:29.621 dass einem erstmal die Dimension des Problems oder der 00:05:29.932 --> 00:05:33.717 Aufgabenstellung klar werden sollte. 00:05:33.717 --> 00:05:35.790 Obwohl das vielleicht auch manchmal gar nicht möglich ist. 00:05:37.340 --> 00:05:40.025 Wenn man es ein bisschen versucht, noch mathematischer zu fassen, 00:05:40.025 --> 00:05:41.667 was Komplexität sein könnte. 00:05:41.667 --> 00:05:44.692 Also ich möchte nachher mit dir ein paar Beispiele sammeln, 00:05:44.692 --> 00:05:47.005 wie man das verstehen könnte, mathematisch. 00:05:47.096 --> 00:05:49.910 Komplexitätsreduktion, ja, was das denn bedeutet. 00:05:52.660 --> 00:05:55.568 Hast du ein Beispiel, für was könnte Komplexität sein? 00:05:55.568 --> 00:05:58.035 Also ich meine, in der Informatik ist das ja so ein Begriff auch, ne? 00:05:58.035 --> 00:05:59.781 Komplexität von einem Problem. 00:05:59.781 --> 00:06:01.743 Ja, also das ist vielleicht das Erste, an das man denkt, 00:06:01.743 --> 00:06:04.246 ja, diesen Begriff der Komplexität in der Informatik, 00:06:04.246 --> 00:06:07.419 der ist aber eigentlich relativ eingeschränkt 00:06:08.530 --> 00:06:09.852 auf Algorithmen, 00:06:09.852 --> 00:06:12.024 also Laufzeit von Algorithmen 00:06:12.435 --> 00:06:17.370 und vielleicht noch Ausdrucksfähigkeit oder Berechenbarkeit. 00:06:17.660 --> 00:06:18.782 Berechenbarkeitstheorie und so. 00:06:18.782 --> 00:06:21.317 Also ich würde jetzt eher sozusagen auf die, 00:06:22.009 --> 00:06:25.726 das jetzt außen vor lassen und eher so auf diese mathematischen Sachen erstmal 00:06:26.017 --> 00:06:28.892 eingehen vielleicht. Also da 00:06:30.124 --> 00:06:31.867 gibt es ja Dimensionen zum Beispiel. 00:06:31.867 --> 00:06:35.362 Also so überhaupt Größen, die mit Komplexität 00:06:36.334 --> 00:06:40.043 korreliert sind, sage ich jetzt mal, sind vielleicht Dimensionen oder so. 00:06:40.043 --> 00:06:45.250 Aber das ist nicht offensichtlich, dass höhere Dimensionen immer kompliziert kommen. 00:06:46.281 --> 00:06:49.404 Wenn man in der Topologie denkt oder so, da ist, 00:06:49.404 --> 00:06:51.166 wenn die Dimensionen oder auch Differenzialkymmetrie, 00:06:51.166 --> 00:06:52.208 gibt es da glaube ich auch Effekte, 00:06:52.208 --> 00:06:54.840 dass wenn die Dimension hoch genug ist, dann ist auch wieder alles einfach. 00:06:55.051 --> 00:06:57.994 Und dann sind irgendwie genau Dimension 4 oder Dimension 7, 00:06:57.994 --> 00:06:59.706 irgendwie so kleine Zahlen, 00:07:00.577 --> 00:07:03.310 die schwierigsten Fälle, die irgendwie lange offen bleiben. 00:07:06.520 --> 00:07:09.303 Ja, Dimension. Dann auf einer ganz menschlichen Ebene, 00:07:09.303 --> 00:07:13.157 so wie man Mathematik macht, dann kann natürlich auch Notation, 00:07:13.327 --> 00:07:17.612 hatten wir ja letztes Mal auch schon so ein bisschen, eine Komplexität sein, 00:07:17.612 --> 00:07:23.317 die man reduzieren kann, indem man irgendwie eine clevere Notation findet. 00:07:23.317 --> 00:07:25.781 Zu dieser Weltformel, da habe ich letztes Mal... 00:07:25.781 --> 00:07:28.648 Das ist auch Komplexitätsreduktion im gewissen Sinne, ne? 00:07:28.829 --> 00:07:29.173 Ja, also... 00:07:29.173 --> 00:07:31.411 Ist aber so weit reduziert, dass man nichts mehr... 00:07:31.411 --> 00:07:33.245 Das ist ein Aspekt, da reden wir nachher noch drüber. 00:07:33.245 --> 00:07:35.170 Also wie weit man reduzieren darf. 00:07:35.581 --> 00:07:38.735 Achso, zur Notation, eine Sache, die ich letzte Woche nicht gesagt habe, 00:07:38.735 --> 00:07:42.736 aber hätte vielleicht sagen können, sind diese Einsteinsche Summenkonvention. 00:07:42.736 --> 00:07:43.165 Kennst du die? Ja, 00:07:43.165 --> 00:07:44.870 die ist schrecklich verwirrend. 00:07:45.744 --> 00:07:48.280 Also ich wollte das gerade als Komplexitätsreduktion vermarkten. 00:07:48.280 --> 00:07:48.780 Okay. 00:07:49.980 --> 00:07:54.574 Also wenn du Physik machst, dann hast du halt irgendwie Tensor-artige Größen, 00:07:54.724 --> 00:07:57.846 die halt von, die halt viele Indizes haben, ja? 00:07:57.846 --> 00:08:01.879 Also ein Vektor hat einen Index, ein Matrix hat zwei Indizes und irgendwie so ein, 00:08:02.170 --> 00:08:04.961 irgendein Tensor, den du dann in der Physik brauchst, hat dann vier Indizes. 00:08:05.352 --> 00:08:08.444 Und wenn du den dann halt parst auf so eine, 00:08:08.755 --> 00:08:12.077 also es ist ja dann am Ende irgendwie eine lineare Abbildung, 00:08:12.077 --> 00:08:14.048 irgendein Element, 00:08:14.619 --> 00:08:15.640 jetzt werden wir mal technisch, 00:08:15.640 --> 00:08:17.521 aber wenn du den Parse hast, 00:08:17.521 --> 00:08:20.654 dann entstehen da sehr viele Summenzeichen über diese Indizes und 00:08:21.785 --> 00:08:24.488 einfach die Beobachtung, da steht eine Beobachtung dahinter, 00:08:24.488 --> 00:08:25.909 ich schreibe immer wieder das Gleiche. 00:08:25.909 --> 00:08:29.973 Ich schreibe hier Formeln und als erstes in jeder Zeile stehen drei Summenzeichen. 00:08:29.973 --> 00:08:30.594 Eins über I, eins über I, 00:08:30.594 --> 00:08:31.755 eins über K. Ja, man lässt die dann einfach weg. 00:08:31.755 --> 00:08:32.756 Das ist die Konvention. Und dann lässt du 00:08:32.756 --> 00:08:34.858 die halt einfach weg und das klingt wie, 00:08:34.858 --> 00:08:36.790 naja, okay, sparst du ein bisschen Tinte, aber das 00:08:37.543 --> 00:08:38.154 Ja. 00:08:38.607 --> 00:08:40.534 Es gibt eine Klarheit und die durch die Reduktion 00:08:40.534 --> 00:08:41.961 der Komplexität ist vielleicht wieder mehr... 00:08:41.961 --> 00:08:44.729 Aber es gibt eine Bedingung, man lässt die Summenzeichen weg, 00:08:44.729 --> 00:08:48.843 wenn die in irgendeiner bestimmten Konstellation vorkommen, diese Indizes. 00:08:48.843 --> 00:08:49.908 Oder bei dem... 00:08:49.908 --> 00:08:50.974 Sowohl oben als auch unten. 00:08:50.974 --> 00:08:51.586 Genau. 00:08:53.923 --> 00:08:56.070 Ja, also einerseits ja, aber ich glaube, 00:08:56.070 --> 00:08:59.250 das ist so ein Gewöhnungsprozess auch, der das begleiten muss. 00:08:59.343 --> 00:09:04.830 Also wenn man das nicht gewohnt ist, die gedanklich mitzulesen, diese Summenzeichen. 00:09:04.861 --> 00:09:06.085 Du musst die auch sehen. 00:09:06.085 --> 00:09:08.132 Da stehen vielleicht 5, 6, 7 verschiedene Indizes, 00:09:08.132 --> 00:09:10.081 uns fehlen aber zwei Summenzeichen. 00:09:10.081 --> 00:09:12.758 Und dann musst du halt sozusagen durch draufgucken, 00:09:13.330 --> 00:09:17.110 schnell lernen zu sehen, welche Summenzeichen da fehlen. 00:09:17.182 --> 00:09:19.243 Das ist schon auch so ein Trainingseffekt. 00:09:20.203 --> 00:09:24.186 Also ist die Komplexität sozusagen reduziert oder erhöht? 00:09:24.186 --> 00:09:26.130 Ja, es kommt wahrscheinlich auf den Leser an. 00:09:26.262 --> 00:09:29.090 Also für einen geübten Leser ist es reduziert, 00:09:29.090 --> 00:09:33.350 weil der nicht diese überflüssigen Summenzeichen mitlesen muss. 00:09:33.444 --> 00:09:34.147 Aber für jemanden, 00:09:34.147 --> 00:09:35.814 der das noch nicht geübt hat, 00:09:35.814 --> 00:09:36.397 ist es, glaube ich, 00:09:36.397 --> 00:09:39.371 schwieriger, weil der sich jedes Mal diese Informationen über 00:09:39.371 --> 00:09:42.330 was wird jetzt eigentlich summiert rekonstruieren muss. 00:09:43.127 --> 00:09:44.950 Also das ist, glaube ich... 00:09:46.242 --> 00:09:51.283 nicht uniform, ob das die Komplexität reduziert oder erhöht. 00:09:51.283 --> 00:09:52.007 Und bei der Dimension, 00:09:52.007 --> 00:09:54.441 die ich da vorher erwähnt habe, ist es eigentlich auch so ähnlich. 00:09:54.441 --> 00:09:57.529 Also es gibt diesen Curse of Dimensionality, 00:09:57.529 --> 00:09:59.763 also der eigentlich so hohe Dimensionen 00:09:59.874 --> 00:10:02.102 in irgendwelchen Problemen als schlecht sieht. 00:10:02.102 --> 00:10:03.629 Und dann gibt es so die klassischen Techniken, 00:10:03.629 --> 00:10:05.858 der zum Beispiel Principal Component Analysis ist, 00:10:05.858 --> 00:10:08.742 so eine Technik in der Statistik, wo du 00:10:09.716 --> 00:10:10.560 hast irgendwie hochdimensionale... 00:10:10.560 --> 00:10:13.284 ... Daten und dann identifizierst du erstmal einen 00:10:13.284 --> 00:10:16.890 niedrigdimensionalen Unterraum, in dem die meiste Schwankung passiert, 00:10:16.890 --> 00:10:19.935 in dem die Varianz irgendwie liegt bis auf einen kleinen Fehler 00:10:19.935 --> 00:10:22.118 und dann machst du deine Analyse in diesem Unterraum und hast 00:10:22.118 --> 00:10:23.269 die Dimension reduziert. 00:10:23.661 --> 00:10:27.528 Das wäre jetzt ein Beispiel auch für Komplexitätsreduktion in der Mathematik. 00:10:27.528 --> 00:10:29.902 Also Projektion auf eine niedrigere Dimension. 00:10:30.133 --> 00:10:33.261 Was auch ein Beispiel ist, ist Lift in eine höhere Dimension. 00:10:33.261 --> 00:10:37.047 Genau. Also wenn man Polyeder untersucht, macht es manchmal Sinn, 00:10:37.047 --> 00:10:43.248 die als Schatten von einem größeren dimensionalen Polyeder zu sehen 00:10:43.599 --> 00:10:47.602 und sozusagen... dadurch, dass man eben diese Projektionen auf kleinere... 00:10:47.602 --> 00:10:49.094 also wenn man sich einen Würfel anguckt, 00:10:49.564 --> 00:10:52.567 gibt es ja drei Richtungen, in denen ich den Würfel projizieren kann. 00:10:52.567 --> 00:10:54.128 Das sieht immer aus wie ein Quadrat. 00:10:54.128 --> 00:10:57.801 Ich kann den aber auch so projizieren, dass es eben nicht aussieht wie ein Quadrat. 00:10:58.212 --> 00:11:03.947 Und durch die Projektion des Würfels auf kleinere Flächen, also Ebenen, 00:11:04.317 --> 00:11:07.690 kann man sozusagen rekonstruieren, dass das ein Würfel ist. 00:11:09.302 --> 00:11:13.330 Also da kann man sozusagen mit den niedrigdimensionaleren Bildern wieder 00:11:13.330 --> 00:11:14.593 das Große rekonstruieren. 00:11:14.593 --> 00:11:18.310 Aber unter Umständen ist es leichter, dieses große Objekt zu untersuchen. 00:11:18.342 --> 00:11:21.039 Als die kleinen Projektionen. Also manchmal macht man das so. 00:11:21.039 --> 00:11:24.555 Ja, also will man eigentlich von dem Kleinen aufs Große gehen, 00:11:24.555 --> 00:11:25.543 um da was zu vereinfachen. Genau. 00:11:25.543 --> 00:11:27.603 Über das Große was beweisen und dann wieder zur Schicht. 00:11:27.603 --> 00:11:31.540 Also ist Dimension eigentlich auch nicht geeignet als Beispiel für eine Komplexität. 00:11:31.540 --> 00:11:32.256 Doch, das ist ein super Beispiel. 00:11:32.256 --> 00:11:33.790 Aber es misst nicht Komplexität. 00:11:33.790 --> 00:11:35.921 Also hohe Dimension heißt nicht hohe Komplexität. 00:11:35.921 --> 00:11:40.000 Nee, genau. Also ich glaube, so einfach ist es nicht. 00:11:40.070 --> 00:11:42.435 Also, ja. Sammeln wir mal noch weiter. 00:11:42.435 --> 00:11:44.761 Was gibt's noch so Sachen? Anteil Variablen? 00:11:44.761 --> 00:11:48.609 Erhöhen oder erniedrigen ist auch so ein Tool für Komplexitätsreduktion. 00:11:48.685 --> 00:11:49.980 Und beides kann die Komplexität reduzieren? 00:11:49.980 --> 00:11:54.661 Genau. Eliminieren von Variablen oder eben zusätzlich hinzufügen, ja? 00:11:54.661 --> 00:11:56.044 Genau. Manchmal gibt's Probleme, 00:11:56.044 --> 00:11:59.350 die leichter werden, indem man eine neue Variable hinzufügt, 00:11:59.350 --> 00:12:03.077 das vermeintlich schwierigere Problem mit einer Variable mehr bearbeitet 00:12:03.077 --> 00:12:04.721 und später diese Variable auf… 00:12:04.721 --> 00:12:05.885 eins setzt oder null. Ich glaube, 00:12:05.885 --> 00:12:08.182 es gibt auch so was in der Optimierung oder auch Numerik. 00:12:09.280 --> 00:12:12.197 Gibt's in der Algebra aber auch, in der Darstellungstheorie. 00:12:12.629 --> 00:12:16.220 Da ist es auch so ein Ding, das läuft meistens unter Q-analogon. 00:12:16.220 --> 00:12:20.769 Da gibt's halt noch so einen Parameter Q, der irgendwie zusätzlich eingeführt wird. 00:12:22.224 --> 00:12:25.229 Damit kann man zum Beispiel Sachen homogenisieren oder so. 00:12:25.229 --> 00:12:25.729 Ja. 00:12:28.381 --> 00:12:31.647 Probleme symmetrischer machen, dadurch, dass man… 00:12:33.687 --> 00:12:36.550 eben eine zusätzliche Variable einführt. 00:12:37.671 --> 00:12:38.507 Was auch… 00:12:40.603 --> 00:12:44.910 Was auch noch so ein Prinzip ist, ist Lokal-Global-Prinzipien. 00:12:46.662 --> 00:12:48.475 Also manchmal gibt es, 00:12:48.726 --> 00:12:55.309 gerade in der Geometrie, so globale Phänomene oder Eigenschaften von Räumen, die… 00:12:56.241 --> 00:12:57.545 die man nachweisen kann, 00:12:57.545 --> 00:13:02.430 indem man nur in kleinen Umgebungen von einzelnen Punkten Dinge untersucht. 00:13:02.941 --> 00:13:07.873 Also lokale Untersuchungen macht und daraus Rückschlüsse ziehen kann auf 00:13:07.873 --> 00:13:10.890 das Gesamtverhalten von einem geometrischen Raum. 00:13:11.144 --> 00:13:12.993 Ja, oder auch Differenzialgeometrie, oder? 00:13:12.993 --> 00:13:15.227 Also so da… Ja, genau. Kennt man das irgendwie… 00:13:15.227 --> 00:13:18.148 Ich finde so der Begriff der Mannigfaltigkeit ist vielleicht der erste, den… 00:13:18.620 --> 00:13:21.243 wo man das im Studium so kennenlernt, dieses Prinzip. 00:13:21.243 --> 00:13:24.326 Man hat irgendwie ein globales Objekt, was lokal aussieht wie was, 00:13:24.326 --> 00:13:25.907 was man schon kennt, so ein R hoch N oder so, 00:13:25.907 --> 00:13:28.070 zumindest von einer analytischen Struktur. 00:13:28.070 --> 00:13:28.600 Und dann 00:13:29.871 --> 00:13:33.585 überdeckt man eben so ein Möbiusband oder so mit kleinen Stücken vom R2. 00:13:33.635 --> 00:13:34.896 Genau, und dann weiß man lokal… 00:13:34.896 --> 00:13:38.390 Stellt dann aber fest, ja, also die Orientierung, diese… 00:13:39.000 --> 00:13:42.323 positiv orientierten drei Beine, die ich hier einmal rum… 00:13:42.323 --> 00:13:46.948 Nicht kompatibel. …passt nicht mehr und dann sieht man so globale Effekte daran, 00:13:46.948 --> 00:13:50.200 wie sich die ganzen lokalen Beschreibungen zusammenpassen oder eben nicht. 00:13:50.411 --> 00:13:52.322 Ja. Also was dann… 00:13:52.733 --> 00:13:55.905 genau, das ist eins von Dingen, was da halt auch reinspielt, ist Symmetrie. 00:13:55.936 --> 00:13:58.087 Ja, also das kann ich halt vor allem dann machen, 00:13:59.059 --> 00:14:00.950 dann gut machen, wenn ich… 00:14:01.440 --> 00:14:05.383 Wenn das Ding hier, das ich mir angucke, hochgradig symmetrisch ist auch, ja, 00:14:05.383 --> 00:14:06.934 wenn ich zum Beispiel weiß, 00:14:09.187 --> 00:14:10.568 ich kann das beliebig drehen, 00:14:10.568 --> 00:14:13.480 spiegeln oder sonst wie und das sieht immer gleich aus, 00:14:13.630 --> 00:14:16.082 dann muss ich mir gar nicht das Ganze angucken. 00:14:16.693 --> 00:14:20.636 Oder wenn ich überhaupt die Menge aller Symmetrien betrachte von einem Objekt, 00:14:20.636 --> 00:14:24.239 dann muss ich mir gar nicht Umgebungen aller Punkte angucken, 00:14:24.239 --> 00:14:25.730 sondern dann reicht es. 00:14:26.481 --> 00:14:30.264 Von den vielen, die man durch Symmetrie aufeinander abbilden kann, 00:14:30.475 --> 00:14:32.030 einen davon zu verstehen. 00:14:33.145 --> 00:14:35.668 Das ist auf jeden Fall eine Technik der Komplexitätsreduktion. 00:14:38.109 --> 00:14:39.187 Jetzt fällt mir gerade noch etwas ein. 00:14:40.082 --> 00:14:42.029 Vielleicht ist es eine Technik der Komplexitätsreduktion, 00:14:42.029 --> 00:14:45.410 auch so verschiedene Beschreibungen für das Gleiche zu haben. 00:14:47.122 --> 00:14:49.250 Also da hast du so ein Beispiel, 00:14:49.250 --> 00:14:51.097 was mir jetzt so nahe liegt, ist in der algebraischen Geometrie. 00:14:51.097 --> 00:14:51.597 hat man 00:14:53.300 --> 00:14:55.412 die gleiche Menge oft, 00:14:55.703 --> 00:14:58.867 wenn in guten Situationen, auf verschiedene Art und Weise beschrieben. 00:14:58.867 --> 00:15:01.430 Einmal als die Lösungsmenge von einem Polynom-Gleichungssystem 00:15:01.430 --> 00:15:03.361 oder als die Lösungsmenge von irgendwas. 00:15:03.772 --> 00:15:05.875 Und das nennt man dann eben die Blitzbeschreibung. 00:15:05.875 --> 00:15:09.399 Oder eben parametrisch als das Bild von einer Parametrisierung, 00:15:09.399 --> 00:15:10.690 als das Bild von einer Abbildung. 00:15:11.261 --> 00:15:13.416 Und dann, wenn man so eine doppelte Beschreibung hat, 00:15:13.547 --> 00:15:15.091 ist man irgendwie in einer besseren Situation, 00:15:15.091 --> 00:15:17.819 weil man verschiedenartige Aufgaben damit bearbeiten kann. 00:15:17.819 --> 00:15:21.241 Wenn ich zum Beispiel wissen will, ob ein Punkt in der Menge drin ist, 00:15:21.653 --> 00:15:23.318 dann ist es einfach, 00:15:23.318 --> 00:15:25.884 wenn ich die implizite Beschreibung kenne, 00:15:25.884 --> 00:15:28.109 dann habe ich die Menge geschrieben als Lösungsmenge von 00:15:28.109 --> 00:15:29.433 irgendeinem Gleichungssystem. 00:15:29.433 --> 00:15:32.650 Dann muss ich den Punkt nur einsetzen und sehe, ob der drauf ist. 00:15:32.742 --> 00:15:35.017 Und wenn ich aber Punkte produzieren will, neue, 00:15:35.167 --> 00:15:36.811 dann ist die Parametrisierung besser, 00:15:36.811 --> 00:15:40.462 weil dann nehme ich einfach Parameterwerte, verschiedene, und produziere welche. 00:15:40.462 --> 00:15:43.533 Und jeweils das Produzieren ist das andere. 00:15:43.533 --> 00:15:45.530 Die andere Beschreibung hilft wenig. 00:15:45.740 --> 00:15:46.581 Das stimmt. 00:15:46.581 --> 00:15:50.064 Also das ist ja auch so einfach so ein Beispiel von diesem generellen Prinzip, 00:15:50.064 --> 00:15:56.879 dass das Übersetzen in eine andere Sprache oder Formulierung auch Komplexität 00:15:57.249 --> 00:15:58.050 reduzieren kann, 00:15:58.050 --> 00:16:01.442 weil vielleicht so eine algebraische Frage in einem 00:16:01.472 --> 00:16:04.835 kombinatorisch umformulierten Setting viel einfacher zu lösen ist. 00:16:04.835 --> 00:16:05.785 Oder umgekehrt. 00:16:05.856 --> 00:16:09.398 Ich habe irgendein kombinatorisches geometrisches Problem und übersetze das in 00:16:09.398 --> 00:16:11.610 was Algebraisches, Gruppentheoretisches. 00:16:12.002 --> 00:16:14.207 Und das wird dadurch leichter verständlich. 00:16:15.403 --> 00:16:17.610 Aber das heißt ja, also wir haben jetzt einige Beispiele gesammelt, 00:16:17.610 --> 00:16:20.829 das heißt ja, dass in der Mathematik nicht immer weniger mehr ist, ne? 00:16:21.192 --> 00:16:21.930 Ne. 00:16:24.560 --> 00:16:26.503 Also dieses Minimalismus 00:16:26.503 --> 00:16:31.508 und auch was man so unter Komplexitätsreduktion findet, 00:16:31.508 --> 00:16:33.411 wenn man so ein bisschen sucht, dann zielt es oft ab, 00:16:33.411 --> 00:16:35.433 irgendwelche Wirtschaftssysteme zu vereinfachen 00:16:35.433 --> 00:16:38.887 oder soziale Systeme zu beschreiben und deren Beschreibung zu strukturieren. 00:16:39.057 --> 00:16:41.790 Da geht es tatsächlich darum, Dinge einfacher zu machen. 00:16:41.840 --> 00:16:43.882 Es ist auch so eine Methode im Storytelling, 00:16:43.882 --> 00:16:44.683 dass man sagt, okay, 00:16:44.683 --> 00:16:45.734 man will jetzt irgendwie 00:16:46.065 --> 00:16:49.739 Wissenschaftskommunikation machen und da komplexe wissenschaftliche Sachverhalte 00:16:50.069 --> 00:16:54.144 möglichst simpel darstellen, sodass sie aber trotzdem noch möglichst richtig sind. 00:16:54.535 --> 00:16:56.096 Da verwenden die auch 00:16:56.096 --> 00:16:59.650 in dem Kontext ganz oft dieses Stichwort Komplexitätsreduktion. 00:17:00.180 --> 00:17:02.044 Weiß nicht, da würde ich sagen, 00:17:02.044 --> 00:17:05.000 vielleicht stimmst du mir dazu oder auch nicht, da ist weniger mehr. 00:17:05.071 --> 00:17:09.100 Ja, also da muss man es möglichst simpel machen, dass man mehr Ergebnis erzielt. 00:17:09.100 --> 00:17:12.114 Also irgendwie auch so Modellbildung spielt da irgendwie mit rein, ja? 00:17:12.304 --> 00:17:14.777 Also sozusagen, wenn ich ein Modell von irgendwas machen will, 00:17:14.867 --> 00:17:17.440 dann frage ich mich ja genau, welche Teile kann ich weglassen, 00:17:18.251 --> 00:17:21.865 um, dass mein Modell die essentiellen Sachen abbildet und das 00:17:22.636 --> 00:17:23.937 nicht Wichtige weglässt, ja? 00:17:23.937 --> 00:17:26.750 Also das ist eher so ein Komplexitätsreduktion, nicht weglassen, ja. 00:17:27.341 --> 00:17:29.362 Ja, genau. Also Modellbildung ist, glaube ich, ein gutes Stichwort. 00:17:29.362 --> 00:17:30.703 Das ist ja auch was Mathematisches, ne? 00:17:30.703 --> 00:17:34.846 Du kannst, du willst irgendwie, keine Ahnung, Straßenverkehr modellieren. 00:17:34.846 --> 00:17:37.048 Da ist halt auch die Frage, welche Aspekte sind wichtig. 00:17:37.048 --> 00:17:39.790 Es ist jetzt nicht wichtig, dass der Baum, der an der Seite steht, grün ist. 00:17:39.790 --> 00:17:41.681 Das muss man jetzt vielleicht nicht berücksichtigen. 00:17:43.093 --> 00:17:46.145 Ob jetzt Winter ist oder Sommer, spielt vielleicht auch nur marginal eine Rolle. 00:17:48.877 --> 00:17:53.030 Da ist es, glaube ich, auch eher die Reduktion durch weglassen. 00:17:56.120 --> 00:17:59.498 Aber könnte man da nicht, wenn man jetzt diesen mathematischen Begriff so 00:18:00.851 --> 00:18:04.850 auffasst, welche Mathematik ist denn da nicht Komplexitätsreduktion? 00:18:05.062 --> 00:18:06.235 Mal provokant gefragt. 00:18:06.346 --> 00:18:07.630 Ist da nicht irgendwie alles, 00:18:07.630 --> 00:18:11.390 was wir in der Mathematik machen, ist irgendwie so eine Informationsbeschaffung? 00:18:11.502 --> 00:18:13.255 Und ein besser Verstehen, 00:18:13.647 --> 00:18:16.193 was sozusagen für mich jetzt objektiv die Komplexität reduziert, 00:18:16.193 --> 00:18:19.430 weil wenn ich es besser verstanden habe, dann ist es für mich weniger komplex. 00:18:22.473 --> 00:18:23.027 Ähm, ach so. 00:18:25.162 --> 00:18:27.095 Also wenn du es so breit fasst, dann 00:18:28.789 --> 00:18:30.372 könnte man wahrscheinlich fast sagen, 00:18:30.372 --> 00:18:34.370 die komplette Mathematik besteht aus Komplexitätsreduktion. 00:18:34.984 --> 00:18:38.210 Na wobei, vielleicht auch nicht, weil... 00:18:39.322 --> 00:18:40.626 Also Grund, es wäre zu sagen, Grund, 00:18:40.626 --> 00:18:43.314 die Kette Komplexitätsreduktion beschrieben ist, 00:18:43.314 --> 00:18:45.670 kann man jetzt auch nicht so richtig sagen. 00:18:45.682 --> 00:18:48.912 Nee, genau. Also manchmal will man ja auch mehr Struktur generieren 00:18:48.912 --> 00:18:51.630 und man will ja auch manchmal mit kleinen Sachen... 00:18:52.522 --> 00:18:56.810 neue Strukturen schaffen. 00:18:59.522 --> 00:19:05.410 Dann reduzierst du ja nicht unbedingt die Komplexität von deinem Ausgangsobjekt. 00:19:05.482 --> 00:19:08.168 Ja, also der Aufbau von neuen Theorien 00:19:08.168 --> 00:19:13.390 oder so ist nicht unbedingt Komplexitätsreduktion, sondern eher so das Lösen. 00:19:13.963 --> 00:19:16.430 Lösen konkreter Fragestellungen vielleicht, ja. 00:19:16.430 --> 00:19:19.690 Das ist eher so Ableiten. 00:19:20.441 --> 00:19:22.345 Aber Finden von Datenstrukturen, ja. 00:19:22.345 --> 00:19:25.101 Finden von guten Datenstrukturen ist ja doch wieder 00:19:27.357 --> 00:19:28.449 Komplexitätsreduktion. 00:19:28.627 --> 00:19:30.122 Was für Datenstrukturen? 00:19:30.122 --> 00:19:32.448 Naja, wie speichere ich was effizient ab? 00:19:32.448 --> 00:19:35.025 Wie stelle ich was effizient dar? 00:19:35.076 --> 00:19:36.503 Was sind verschiedene Möglichkeiten? 00:19:36.503 --> 00:19:38.962 Zum Beispiel meine implizite und parametrische Beschreibung 00:19:39.294 --> 00:19:40.602 von algebraischen Mengen. 00:19:40.602 --> 00:19:43.781 Die ist halt dadurch besser geworden, dass ich zwei, eine neue 00:19:44.735 --> 00:19:46.550 Datenstruktur zur Verfügung hatte. 00:19:47.522 --> 00:19:51.980