WEBVTT NOTE PGD018 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:01.441 --> 00:00:03.288 Ja, herzlich willkommen. Wir sind wieder da. 00:00:03.288 --> 00:00:06.690 Pi ist genau 3 ist zurück aus der Sommerpause. 00:00:06.786 --> 00:00:08.889 Und Thomas hat Post bekommen. Hallo Thomas. 00:00:08.889 --> 00:00:11.071 Hallo Petra. Ja, 00:00:11.362 --> 00:00:12.846 wir hatten ja aufgerufen, 00:00:12.846 --> 00:00:15.361 Themenvorschläge zu schicken und jemand hat einen Themenvorschlag geschickt. 00:00:15.592 --> 00:00:16.835 Und wir haben den nicht aufgemacht vorher. 00:00:16.835 --> 00:00:19.262 Ich habe jetzt hier diesen Umschlag und mache den jetzt auf. 00:00:19.262 --> 00:00:22.692 Genau, also Nummer 18. Wir haben vergessen, die Nummer zu sagen, ne? 00:00:22.692 --> 00:00:24.577 Folge 18 ist Überraschungsthema. 00:00:24.577 --> 00:00:25.161 Keiner weiß Bescheid. Oh, 00:00:25.161 --> 00:00:27.875 das ist ein vollgeschriebenes A4-Blatt. 00:00:28.026 --> 00:00:30.560 Hallo, wir haben eine Frage, Themenvorschlag für Podcast-Folge. 00:00:30.931 --> 00:00:35.990 Was genau ist eigentlich Algebra, was Geometrie und wie hängen die beiden zusammen? 00:00:36.823 --> 00:00:37.935 Ach du liebe Zeit. 00:00:37.935 --> 00:00:41.204 Okay. Also die Folge heißt dann wohl Algebra und Geometrie. 00:00:41.204 --> 00:00:44.228 Ja, das ist aber schön. Also mag ich Algebra und Geometrie. 00:00:46.104 --> 00:00:48.122 Unterzeichnet ist übrigens von Fans. 00:00:48.122 --> 00:00:50.079 Fans. Oh, das ist ja schön. Wir haben Fans. 00:00:50.573 --> 00:00:52.610 Zwei Fans. Immerhin zwei Fans. 00:00:53.722 --> 00:00:56.061 Okay. Willst du anfangen? Was ist Geometrie? 00:00:56.061 --> 00:00:58.110 Ich muss sagen, was Geometrie ist. 00:00:58.110 --> 00:01:02.802 Okay. Geometrie… …ist ein Teilgebiet der Mathematik. 00:01:02.802 --> 00:01:04.733 Okay, jetzt zögere ich die Antwort raus, ne? 00:01:04.904 --> 00:01:06.025 Es gibt aber viele Sachen wahrscheinlich. 00:01:06.025 --> 00:01:07.726 Geometrie ist das, das, das und das. 00:01:07.726 --> 00:01:08.927 Also erstmal ist es ein Teilgebiet der… 00:01:08.927 --> 00:01:09.228 Ja, 00:01:09.228 --> 00:01:11.990 also ich kann… Wir gucken jetzt nicht auf Wikipedia nebenher, okay? 00:01:11.990 --> 00:01:14.132 Wir gucken mal, ob wir das alles so zusammenkriegen. 00:01:14.132 --> 00:01:18.926 Also Geometrie beschäftigt sich mit Räumen und Objekten, 00:01:19.256 --> 00:01:22.819 die, ich sag mal, figürlicher Natur sind. 00:01:22.819 --> 00:01:28.113 Also… Also... Polyeder, Tetraeder, Würfel, Kreise, solche Dinge. 00:01:28.744 --> 00:01:31.456 Und deren relative Lage zueinander im Raum, 00:01:31.866 --> 00:01:36.410 aber auch ihren Symmetrien und den Gegebenheiten von Räumen. 00:01:36.410 --> 00:01:38.211 Und mit Räumen meine ich jetzt mathematische Räume. 00:01:38.211 --> 00:01:40.593 Das können zum einen tatsächlich so Räume sein, 00:01:40.593 --> 00:01:42.595 die einem physikalisch in der Natur begegnen, 00:01:42.595 --> 00:01:46.788 also dreidimensionale Räume, in denen wir uns begeben, bewegen. 00:01:46.918 --> 00:01:48.870 Das können aber auch ganz abstrakte… 00:01:49.160 --> 00:01:53.448 mathematische Räume sein, wo man bestimmte Zusatzeigenschaften fordert, 00:01:53.448 --> 00:01:57.736 die man zusammenpustelt aus bestehenden Dingen, die schon da sind. 00:01:57.736 --> 00:01:59.800 Das war jetzt nicht besonders erhellend fürchte ich. 00:01:59.800 --> 00:01:59.982 Ich glaube, 00:01:59.982 --> 00:02:01.125 so historisch war das, 00:02:01.125 --> 00:02:04.823 war dieses Anschauliche vielleicht die ganze Mathematik irgendwann mal, oder? 00:02:04.914 --> 00:02:06.603 Wenn man so die Landvermessung oder so… 00:02:06.603 --> 00:02:08.327 Ja. Also ich glaube… Wo kommt das denn her? 00:02:08.783 --> 00:02:10.330 Also ich glaube, bei Euklid war ein großer… 00:02:10.330 --> 00:02:12.941 also alles, was nicht Zahlentheorie war, war Geometrie. 00:02:12.941 --> 00:02:13.383 Ah, 00:02:13.383 --> 00:02:14.669 Zahlentheorie gab es auch noch, okay. 00:02:14.669 --> 00:02:16.801 Also Zahlen und Landvermessen. 00:02:16.801 --> 00:02:17.162 Genau. 00:02:17.162 --> 00:02:18.665 Zählen und das sind Primzahlen und so, 00:02:18.665 --> 00:02:21.672 das wusste man schon relativ früh, als man halt das Zahlsystem hatte, 00:02:21.672 --> 00:02:25.069 das Zehnersystem, konnte man sich mit solchen Fragen beschäftigen. 00:02:25.681 --> 00:02:28.167 Und Geometrie, die halt historisch wirklich aus, 00:02:28.167 --> 00:02:31.275 wenn ich das richtig erinnere, so Landvermessungsfragen entstanden sind. 00:02:31.275 --> 00:02:33.250 Also die älteste… 00:02:34.561 --> 00:02:38.559 Berechnung von Wurzel 2 ist von den Babyloniern schon. 00:02:39.411 --> 00:02:42.918 Da haben die halt versucht, so Diagonalen in irgendwelchen… 00:02:42.918 --> 00:02:43.519 Im rechtwinkligen Dreieck. 00:02:43.519 --> 00:02:46.927 Im rechtwinkligen Dreieck mit zweimal gleicher Seitenlänge irgendwie 00:02:46.927 --> 00:02:47.929 die Länge rauszukriegen, 00:02:47.929 --> 00:02:49.812 weil die das brauchten für Konstruktionen, 00:02:49.812 --> 00:02:54.730 sei es Brückenkonstruktionen oder andere Sachen, die man halt bauen wollte. 00:02:55.781 --> 00:02:58.715 Genau. Und nicht-euklidische Geometrie, 00:02:59.067 --> 00:03:01.952 das hat man ja auch versucht mit Landvermessungen dann zu verifizieren auf 00:03:01.952 --> 00:03:04.136 der Erdoberfläche, dass die eine Krümmung hat, 00:03:04.136 --> 00:03:06.243 also indem man große Dreiecke abgemessen hat. 00:03:06.243 --> 00:03:10.010 Also erst kam Euklid mit seinen Axiomen. 00:03:10.661 --> 00:03:12.034 Oder, ja, das waren irgendwie so, 00:03:12.145 --> 00:03:14.149 er hat das vielleicht noch gar nicht so als Axiomensystem gesehen, 00:03:14.149 --> 00:03:15.171 aber so Grundtat-Sachen, die … 00:03:15.171 --> 00:03:15.733 Doch, hat er. 00:03:15.733 --> 00:03:18.783 Ja, der hat das nicht Axiome genannt, der hat das Postulate genannt. 00:03:18.783 --> 00:03:20.894 Ja, also Grundtat-Sachen, die irgendwie stimmen, sind halt Axiome, ja, genau. 00:03:20.894 --> 00:03:21.699 Aber das waren Axiome im Prinzip, ja, 00:03:21.699 --> 00:03:22.062 genau. 00:03:22.062 --> 00:03:24.890 Und dann hat er diese ganzen Sätze der Geometrie 00:03:24.890 --> 00:03:28.560 der Ebene sozusagen bewiesen, die wir jetzt, euklidische Geometrie … 00:03:28.560 --> 00:03:31.637 Genau. … des nicht gekrümmten Raumes, könnte man auch sagen. 00:03:31.637 --> 00:03:32.137 Ja, 00:03:31.637 --> 00:03:33.487 aber da kam auch dreidimensionale Geometrie vor, 00:03:33.487 --> 00:03:37.890 weil er ja die platonischen Körper da auch klassifiziert hat in den Elementen. 00:03:37.980 --> 00:03:40.522 Genau, also der hat sich mit der Geometrie der Ebene, 00:03:40.522 --> 00:03:43.534 also einer flachen Fläche sozusagen, 00:03:43.845 --> 00:03:48.478 beschäftigt und eben dreidimensionale Fragen sich angeguckt. 00:03:48.708 --> 00:03:50.189 Wobei man ja heute davon ausgeht, 00:03:50.189 --> 00:03:51.691 dass der im Wesentlichen einfach 00:03:51.691 --> 00:03:54.933 das damalige Wissen sozusagen eingesammelt hat und die Denkschulen, 00:03:54.933 --> 00:03:56.424 die es damals gab, einfach 00:03:57.755 --> 00:04:00.117 in einem großen Lehrkompendium aufgeschrieben hat. 00:04:00.117 --> 00:04:01.958 Also der hat sich wahrscheinlich nicht alles ausgedacht, 00:04:01.958 --> 00:04:04.230 was in diesen euklidischen Elementen drinsteht. 00:04:05.061 --> 00:04:09.037 Genau, das war eher sozusagen der große Lehrbuchschreiber und Wissenssammler 00:04:09.037 --> 00:04:09.921 der Zeit. 00:04:09.921 --> 00:04:12.369 Also das sind irgendwie so die flachen Räume, sag ich immer, 00:04:12.369 --> 00:04:15.384 oder stelle ich mir immer so vor, die irgendwie keine Krümmung haben. 00:04:15.384 --> 00:04:17.062 Ja, man kann auch sagen, das sind Krümmungsfreier. 00:04:17.062 --> 00:04:18.687 Und dann gibt es aber noch sozusagen zwei andere, 00:04:18.687 --> 00:04:22.741 eben positive Krümmung und negative Krümmung, also zum Beispiel die Erdoberfläche. 00:04:22.741 --> 00:04:24.285 Na, von den klassischen Geometrien, ne? 00:04:24.285 --> 00:04:26.390 Also es gibt ganz viele andere Spielarten auch, 00:04:26.390 --> 00:04:29.418 aber sozusagen von den klassischen Geometrien gibt es sozusagen positive, 00:04:29.418 --> 00:04:30.022 negative und Krümmung. 00:04:30.022 --> 00:04:32.414 Gibt es diese eine Folge von, ist es Numberphile oder so? 00:04:32.414 --> 00:04:33.640 Wurde das mit Schoko… ach nee, das ist My… 00:04:33.640 --> 00:04:35.422 In My favorite theorem gibt es eine Folge, 00:04:35.422 --> 00:04:37.944 wo die das mit Schoko, Vanille, Erdbeer vergleichen. 00:04:37.944 --> 00:04:41.026 Also, Schoko ist hyperbolisch, ist Schoko… 00:04:41.026 --> 00:04:43.989 Na, wenn es eine Paarung ist, dann ist es My favorite theorem. 00:04:43.989 --> 00:04:44.610 Also, ja, genau. 00:04:44.610 --> 00:04:45.630 Weil die immer sagen, 00:04:45.630 --> 00:04:52.256 in Theoremen zu entweder Musik oder Kultur oder so passend machen. 00:04:52.256 --> 00:04:54.288 Krümmung ist… positiv ist Schoko. 00:04:54.598 --> 00:04:56.690 Nee, nee, nee, positiv ist langweilig, ist Erdbeer. 00:04:57.466 --> 00:04:57.911 Positiv ist langweilig. 00:04:57.911 --> 00:05:00.265 Sphärische Geometrie ist irgendwie langweilig, oder? 00:05:00.265 --> 00:05:01.958 Ja, ich würde sagen, die Ebenen-Geometrie ist die langweiligste. 00:05:01.958 --> 00:05:03.950 Überbolisch ist das alles, und das ist Schoko. 00:05:03.964 --> 00:05:06.080 Na, es ist auf jeden Fall die spielartenreichste. 00:05:06.080 --> 00:05:06.580 Ja. 00:05:07.663 --> 00:05:11.170 Aber kommt drauf an, in welcher Definition, weil… 00:05:12.020 --> 00:05:12.983 Wenn man es klassisch nimmt, 00:05:12.983 --> 00:05:15.698 einfach als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung, 00:05:15.949 --> 00:05:18.203 dann gibt es halt jeweils genau eine. 00:05:18.294 --> 00:05:21.163 Dann sind die in gewisser Weise alle langweilig. 00:05:21.163 --> 00:05:23.592 Aber das sind, ich stelle mir das immer nur so vor, das sind nur so Modelle? 00:05:23.592 --> 00:05:25.701 Also jetzt müssen wir schon ein bisschen abholen. 00:05:25.701 --> 00:05:29.308 Jein, also wenn du wirklich nach Riemannscher Mannigfaltigkeit mit einer festen 00:05:29.308 --> 00:05:31.372 Schnittkrümmung fragst, sind es keine Modelle. 00:05:31.372 --> 00:05:34.888 Dann gibt es halt genau ein Ding, was es gibt in Dimension 2. 00:05:35.259 --> 00:05:36.050 Ja, genau. 00:05:36.381 --> 00:05:38.912 Aber das sind sozusagen eigentlich die Definitionen von negativ gekrümmt, 00:05:39.003 --> 00:05:41.034 flach und positiv gekrümmt. 00:05:41.044 --> 00:05:43.166 Kann man sich auch so vorstellen, dass es wie so eine Äquivalenzklasse, 00:05:43.166 --> 00:05:45.267 die diese Dimension… Naja, 00:05:45.267 --> 00:05:49.270 es gibt ja viele Definitionen von nicht positiv gekrümmt oder negativ gekrümmt. 00:05:49.270 --> 00:05:53.173 Also da gibt es verschiedene Möglichkeiten zu sagen, was das bedeutet. 00:05:53.173 --> 00:05:56.996 Manche sind kombinatorischer Natur, manche vergleichen Dreiecke. 00:05:56.996 --> 00:06:01.510 Da gibt es mehrere, auch nicht äquivalente Beschreibungsmöglichkeiten, was Krümmung… 00:06:01.821 --> 00:06:03.204 …in metrischen Räumen bedeutet. 00:06:03.204 --> 00:06:05.320 Also was man immer braucht, um Krümmung zu sagen, 00:06:05.571 --> 00:06:07.857 ist eine Metrik, also eine Abstands… 00:06:07.857 --> 00:06:10.561 Abstandsbegriff. …Mess… Abstandsbegriff, ja, genau. 00:06:10.561 --> 00:06:12.443 Aber was ist denn jetzt die verrückteste Geometrie? 00:06:12.443 --> 00:06:16.767 Also okay, man hat diese klassische Geometrie, aus der Landschaftsvermessung gibt. 00:06:16.767 --> 00:06:17.488 Aber jetzt mal irgendwas, 00:06:17.488 --> 00:06:21.482 was man vielleicht außerhalb von einem Mathestudium, Promotion oder Forschung 00:06:22.353 --> 00:06:23.645 überhaupt nicht kennt. 00:06:24.235 --> 00:06:28.750 Erzähl mal irgendeine verrückte geometrische Struktur aus deinem… 00:06:28.980 --> 00:06:32.624 Es gibt total viele verrückte geometrische Strukturen, würde ich sagen, 00:06:32.624 --> 00:06:34.506 weil du große Freiheit hast, die zu bauen. 00:06:34.506 --> 00:06:37.699 Es gibt so Konstruktionen, die aus zwei gegebenen eine neue machen. 00:06:37.709 --> 00:06:41.173 Da gibt es Produkte, Verklebungen, Joints und sowas. 00:06:41.173 --> 00:06:44.206 Und da kann man beliebig wilde Sachen einfach basteln. 00:06:44.457 --> 00:06:47.039 Schon allein, wenn man nur mit Dreiecken startet und die an ihren Seiten… 00:06:47.039 --> 00:06:50.664 Also. Gleichseitige Dreiecke, sagen wir mal, machen das Leben wirklich einfach. 00:06:50.664 --> 00:06:54.610 Alle Seiten Länge eins. Und dann verklebt man die an den Seiten. 00:06:54.610 --> 00:06:58.885 Schon allein damit kann man überhaupt selber viele nicht positiv gekrümmte 00:06:59.076 --> 00:07:02.150 oder überhaupt geometrische Strukturen basteln. 00:07:02.761 --> 00:07:04.374 Die alle beliebig verrückt aussehen. 00:07:04.504 --> 00:07:06.789 Und dann kann man natürlich noch die Seitenlängen der Dreiecke variieren 00:07:06.789 --> 00:07:10.485 oder ganz andere Formen nehmen, eine N-Ecke, hohe dimensionale Polyeder. 00:07:10.936 --> 00:07:13.321 Ganz seltsame Sachen. Also da gibt es verrücktes Zeug. 00:07:13.321 --> 00:07:17.906 Was mich als Schüler am meisten fasziniert hat, war, dass es Sachen gibt, 00:07:17.906 --> 00:07:20.049 aber da müssen wir mal eine separate Folge zu machen, 00:07:20.049 --> 00:07:22.662 das werde ich jetzt nicht im Detail erklären, wie das funktioniert, 00:07:23.133 --> 00:07:27.298 dass es Sachen gibt, die nicht ganzteilige Dimensionen haben. 00:07:27.298 --> 00:07:29.390 Das finde ich sehr verrückt, die hier mit drin. 00:07:29.661 --> 00:07:32.664 Ja, also da kriegst du eine Geometrie, die hat dann Dimension 1,42 irgendwas. 00:07:33.504 --> 00:07:35.499 Ja, Dimension ist, ja, okay, Dimension ist guter. 00:07:35.499 --> 00:07:39.289 Aber ja, das ist, glaube ich, eine eigene Folge wert. 00:07:41.084 --> 00:07:42.322 Was ist Algebra? 00:07:42.322 --> 00:07:43.064 Was ist Algebra? 00:07:43.064 --> 00:07:45.560 Ich denke, Algebra fängt, wenn wir auch mal historisch anfangen, ist, 00:07:45.711 --> 00:07:49.143 würde ich immer sagen, das Studium von Gleichungen, das Lösen von Gleichungen. 00:07:49.143 --> 00:07:52.130 Also Zahlen würdest du da gar nicht mit reinfassen? 00:07:53.000 --> 00:07:55.865 Wahrscheinlich erstmal nicht, wobei natürlich, wenn man sich fragt, 00:07:55.865 --> 00:08:00.313 wo will ich denn die Lösung herhaben, kommen halt so Zahlphänomene, 00:08:00.313 --> 00:08:03.839 gibt's die Zahl und was für Zahlen gibt's überhaupt, immer sofort mit rein, ja. 00:08:03.839 --> 00:08:05.395 Ja, also ähm 00:08:07.380 --> 00:08:08.602 heutzutage umfasst das aber mehr. 00:08:08.602 --> 00:08:10.505 Also es fing mal an mit dem Lösen von Gleichungen, ja, 00:08:10.505 --> 00:08:14.391 die Kaufleute mussten irgendwie immer kompliziertere Sachen ausrechnen, 00:08:14.391 --> 00:08:16.074 Optimierungsprobleme lösen und kommen auf… 00:08:16.074 --> 00:08:17.396 Drei Satz erstmal, ne, wahrscheinlich. 00:08:17.396 --> 00:08:19.260 …kritische Gleichungen, drei Satz, genau, Bruchrechnung. 00:08:19.260 --> 00:08:19.760 Ähm 00:08:22.261 --> 00:08:23.844 Sachen, die damit zu tun haben, aber dann, genau, 00:08:23.844 --> 00:08:26.479 wenn wir also zum Beispiel bei der Bruchrechnung sind, 00:08:26.489 --> 00:08:28.273 da kommt man ja direkt da drauf, sich zu fragen, 00:08:28.273 --> 00:08:32.010 was gibt's überhaupt für Zahlen, die in Frage kommen. 00:08:32.261 --> 00:08:33.966 Ähm, und deswegen sind auch diese ganzen, 00:08:33.966 --> 00:08:37.434 was man jetzt algebraische Strukturen vielleicht nennen würde, 00:08:37.434 --> 00:08:39.601 wie die man so im Grundstudium kennenlernt. 00:08:39.601 --> 00:08:41.145 Gibt ja auch algebraische Zahlen, ne. 00:08:41.145 --> 00:08:41.325 Gruppe, 00:08:41.325 --> 00:08:45.163 Körper, algebraische Zahlen, nicht-algebraische Zahlen, reelle Zahlen, 00:08:45.514 --> 00:08:49.511 äh, da natürlich jetzt auch irgendwie mit, äh, drin. 00:08:50.502 --> 00:08:53.704 Warum ist das, äh, mit der Geometrie verbunden? 00:08:53.704 --> 00:08:57.027 Natürlich ist es mit der Geometrie verbunden, weil man Gleichungen, 00:08:57.027 --> 00:08:57.888 ich würde ja immer so sagen, 00:08:57.888 --> 00:09:00.890 berechnende Geometrie, man will ja irgendwelche Geometrie ausrechnen, 00:09:00.890 --> 00:09:04.263 man will ja ausrechnen, wie weit ist, äh, ist jetzt Braunschweig entfernt. 00:09:04.693 --> 00:09:07.596 Und dann, äh, braucht man halt irgendwie eine Methode, 00:09:07.596 --> 00:09:08.997 um das geometrische Problem, 00:09:08.997 --> 00:09:09.617 genau, man hat irgendwie, 00:09:09.617 --> 00:09:11.589 man macht dann irgendwelche geometrischen Begriffe und, 00:09:11.819 --> 00:09:14.332 äh, die, die so, das ist jetzt die, 00:09:14.523 --> 00:09:17.669 also wenn man Algebra verwendet, dann heißt das analytische Geometrie, 00:09:17.669 --> 00:09:20.454 jetzt kommen wir in diese lustigen, äh, Begriffswelten, glaube ich, 00:09:20.454 --> 00:09:22.939 also analytische Geometrie bedeutet Algebra zu verwenden. 00:09:22.939 --> 00:09:23.362 Nee. 00:09:23.362 --> 00:09:24.384 Also Gleichung, ja, 00:09:24.384 --> 00:09:27.291 oder zumindest Gleichung zu verwenden, um geometrische Objekte auszurechnen. 00:09:27.291 --> 00:09:27.612 Ja, ich glaube, 00:09:27.612 --> 00:09:31.170 analytische, ja, vielleicht sollte man jetzt nicht so weit aus dem Fenster lehnen. 00:09:31.741 --> 00:09:32.483 Ich glaube, Algebra, 00:09:32.483 --> 00:09:37.433 analytische Geometrie ist inzwischen ein sehr spezifisches Themengebiet auch, ne? 00:09:37.433 --> 00:09:39.777 Nicht alles, wo eine Gleichung vorkommt, ist analytische. 00:09:39.777 --> 00:09:42.804 Du könntest auch sagen, dass es algebraische Geometrie ist, 00:09:42.804 --> 00:09:43.787 weil eine Gleichung vorkommt. 00:09:43.787 --> 00:09:46.497 Das ist genauso falsch, wie zu sagen, das ist analytische Geometrie, 00:09:46.497 --> 00:09:47.039 weil eine Gleichung vorkommt. 00:09:47.039 --> 00:09:48.411 Also nennen wir es mal Koordinatengeometrie. 00:09:48.411 --> 00:09:49.742 Ich nenne es jetzt mal Koordinatengeometrie. 00:09:49.742 --> 00:09:52.755 Also was man, wie kommen Algebra und Geometrie zuerst zusammen, 00:09:52.755 --> 00:09:59.078 ist halt, man verstattet irgendwie Geometrie mit Koordinaten aus und rechnet dann. 00:09:59.078 --> 00:10:00.218 Das ist eine Möglichkeit, ja. 00:10:00.218 --> 00:10:02.529 Das rechnet auf Gleichungen und die muss man lösen. 00:10:02.529 --> 00:10:06.389 Also es ist ein Teilgebiet der Geometrie, was irgendwie sehr nah an der 00:10:07.421 --> 00:10:08.382 Algebra dran ist. 00:10:08.382 --> 00:10:10.835 Ist nicht so die Geometrie, die mich am meisten interessiert. 00:10:11.286 --> 00:10:12.588 Tatsächlich. So Kombinatengeometrie. 00:10:12.588 --> 00:10:13.859 Ja, das ist eher sozusagen 00:10:14.650 --> 00:10:16.172 die nützliche Geometrie, 00:10:16.172 --> 00:10:18.175 die so Einsichten liefert. 00:10:18.175 --> 00:10:21.990 Also eine große Fortschritte in der Mathematik kam ja oft durch Abstraktion. 00:10:22.941 --> 00:10:25.344 gerade in der Geometrie ist es halt auch sehr extrem wichtig, 00:10:25.344 --> 00:10:28.667 diese koordinatenfreie Geometrie zu machen, also intrinsisch, 00:10:28.667 --> 00:10:31.260 also die Definition so zu machen, 00:10:31.391 --> 00:10:34.114 dass sie nicht von irgendwelchen Wahlen abhängen, 00:10:34.114 --> 00:10:36.296 wie zum Beispiel der Wahl eines Koordinatensystems, 00:10:36.296 --> 00:10:39.790 der Wahl eines Ursprungs oder ähnlichen. 00:10:40.404 --> 00:10:42.161 Wahlen, die irgendwie arbiträr sind. 00:10:42.161 --> 00:10:45.366 Das ist ja, genau, aber das ist ja nochmal eine grundsätzliche Sache, wo, ah, 00:10:45.366 --> 00:10:46.728 das wollte ich vorhin noch sagen, 00:10:46.728 --> 00:10:49.331 wo der Begriff der Symmetrie noch eine große Rolle spielt, ja. 00:10:49.331 --> 00:10:53.297 Also oft sind solche geometrischen Objekte oder Räume symmetrisch, 00:10:53.297 --> 00:10:55.150 in dem Sinne, dass man die 00:10:56.161 --> 00:11:00.005 ganz platt drehen und wenden kann und dann nicht mehr sieht, dass man das getan hat. 00:11:00.005 --> 00:11:02.137 Also wenn man jetzt zum Beispiel die Ebenen nimmt, 00:11:02.167 --> 00:11:05.951 die normale oder den Zahlenstrahl schon alleine, abgesehen davon, 00:11:05.951 --> 00:11:09.185 dass wir die eine Zahl plus 1 nennen und die andere minus 1, 00:11:09.295 --> 00:11:14.110 ist das halt einfach eine Linie, die in zwei Richtungen unendlich lang ist. 00:11:14.200 --> 00:11:17.904 Und die kann ich aber auch umdrehen und die sieht optisch noch genauso aus. 00:11:17.904 --> 00:11:19.986 Ich müsste jetzt die Zahlen umbenennen, 00:11:19.986 --> 00:11:21.968 aber ob sozusagen die plus 1, plus 2, 00:11:21.968 --> 00:11:25.140 plus 3 nach links geht oder nach rechts, das ist eine Wahl, 00:11:25.831 --> 00:11:29.255 die jemand getroffen hat, weil man sich irgendwie mal geeinigt hat, 00:11:29.255 --> 00:11:31.657 dass ins Positive besser nach rechts geht. 00:11:31.657 --> 00:11:34.319 Wahrscheinlich, weil wir von links nach rechts schreiben, würde ich mal vermuten. 00:11:34.319 --> 00:11:34.819 Ja. 00:11:36.620 --> 00:11:39.433 Ja, und die Zahlen dann halt in die Richtung wachsen, in die wir auch schreiben. 00:11:40.284 --> 00:11:43.107 Aber abgesehen davon gibt es keinen Grund, 00:11:43.107 --> 00:11:45.709 wieso das jetzt die präferierte Orientierung sein sollte. 00:11:45.709 --> 00:11:47.431 Und genauso könnte man die einfach umdrehen und 00:11:47.431 --> 00:11:50.203 das würde noch dasselbe mathematische Objekt darstellen. 00:11:50.314 --> 00:11:51.915 Man könnte die auch vertikal zeichnen und 00:11:51.915 --> 00:11:54.658 das würde dasselbe mathematische Objekt darstellen. 00:11:54.658 --> 00:11:56.280 Ist natürlich nicht so praktisch, ja, braucht viel Platz. 00:11:56.280 --> 00:11:56.780 Vielen Dank. 00:11:57.361 --> 00:12:00.881 Oder x und y vertauschen, also auch sozusagen so Spiegelungen und andere... 00:12:00.881 --> 00:12:04.128 Genau, und deshalb muss man halt irgendwie sagen, was die reellen Zahlen sind, 00:12:04.128 --> 00:12:07.977 die eben, wenn man das macht, dass das nicht abhängig davon ist, 00:12:07.977 --> 00:12:09.602 wie ich die aufs Blatt schreibe. 00:12:09.602 --> 00:12:10.573 Ja. 00:12:10.603 --> 00:12:11.044 Aber sozusagen, 00:12:11.044 --> 00:12:12.807 wenn du jetzt an die ebene Geometrie denkst, 00:12:12.807 --> 00:12:16.734 dann sind ja diese, sogar bei Euklid sind diese Symmetrien schon drin, ja. 00:12:16.734 --> 00:12:20.630 Also da gibt es ja die Konkurrenz-Abbildung, also der hat ja dann sozusagen die... 00:12:20.681 --> 00:12:22.205 ...kongruente Dreiecke definiert, 00:12:22.205 --> 00:12:24.551 als welche die sozusagen durch so Symmetrien der Ebenen... 00:12:24.551 --> 00:12:27.158 Alklid macht aber koordinatenfrei Geometrie zum Beispiel auch, ne? 00:12:27.158 --> 00:12:29.193 Genau, genau. Also der hat keine... 00:12:29.383 --> 00:12:31.847 nicht dieses System, was man in der Schule lernt, x- 00:12:31.847 --> 00:12:35.061 und y-Achse und dann heißt der Punkt irgendwie 1,3 oder so, 00:12:35.633 --> 00:12:37.926 sondern da sind es einfach Punkte, p, 00:12:38.497 --> 00:12:40.483 in der Ebene und die haben dann irgendeine Eigenschaft. 00:12:40.483 --> 00:12:44.142 Man kann die sozusagen woanders hin transformieren und es gibt nicht... 00:12:44.142 --> 00:12:46.841 Die Null in der Ebene, die irgendeine spezielle Rolle spielt. 00:12:46.841 --> 00:12:51.294 In der Axiomatik brauchst du halt so eine Gruppe von Symmetrie, 00:12:51.294 --> 00:12:52.681 von Konkurrenz-Abbildungen. 00:12:52.681 --> 00:12:58.900 Das ist eigentlich ganz interessant, dass die Koordinaten ersetzt werden können. 00:12:58.900 --> 00:12:59.261 Ja. 00:12:59.261 --> 00:13:01.202 Also wenn man keine Koordinaten hat, 00:13:01.202 --> 00:13:04.614 wie es jetzt in dieser euklidischen Geometrie erstmal axiomatisch ist, 00:13:04.645 --> 00:13:07.487 dass man dann die ersetzen kann durch eine Konkurrenz-Abbildung. 00:13:07.487 --> 00:13:09.368 Also man muss sich nur merken für alle Dreiecke, 00:13:09.368 --> 00:13:13.331 die es da irgendwie gibt, welche sind Konkurrent zueinander, so ungefähr. 00:13:13.331 --> 00:13:14.992 Die Konkurrenz-Abbildungen müssen irgendwie eine Gruppe bilden, 00:13:14.992 --> 00:13:15.853 eine algebraische Struktur. 00:13:15.853 --> 00:13:17.694 Ja, nur sagt das Euklid halt so nicht. 00:13:17.694 --> 00:13:19.826 Also würdest du sagen, Gruppentheorie ist Teil der Algebra? 00:13:22.858 --> 00:13:24.614 Ja, das verschwimmt. Und... 00:13:25.401 --> 00:13:26.308 Kann man nicht so klar machen. 00:13:26.308 --> 00:13:28.230 Ja, das kann man nicht so ganz sagen. 00:13:28.342 --> 00:13:32.813 Weil auf die Weise werden zum Beispiel algebraische Strukturen 00:13:32.813 --> 00:13:35.419 und Geometrie auch eben eng miteinander verknüpft, ne? 00:13:35.419 --> 00:13:38.914 Wenn man sich die Menge aller Symmetrien eines geometrischen Objektes anguckt, 00:13:38.914 --> 00:13:40.690 also zum Beispiel der Würfel. 00:13:41.724 --> 00:13:46.030 Die bilden eine Gruppe und somit zumindest eine algebraische Struktur. 00:13:46.301 --> 00:13:50.992 Und ganz oft, also das ist so das Mantra in dem Gebiet, 00:13:50.992 --> 00:13:53.157 in dem ich am meisten unterwegs bin, forschungsmäßig, 00:13:53.157 --> 00:13:54.489 in der geometrischen Gruppentheorie, 00:13:54.923 --> 00:13:56.979 ganz oft gibt es enge Bezüge zwischen den 00:13:57.611 --> 00:13:59.801 geometrischen Eigenschaften des Objektes, was man sich anguckt. 00:13:59.801 --> 00:14:02.635 Also der Würfel, wie viele Ecken hat der, wie viele Seiten hat der, 00:14:02.635 --> 00:14:03.870 wie groß sind die? 00:14:04.901 --> 00:14:07.438 Und der Gruppe der Symmetrien. 00:14:08.031 --> 00:14:10.280 Und da gibt es ganz enge Wechselbeziehungen. 00:14:10.280 --> 00:14:14.073 Das ist ja ein ganz zentrales Dogma sozusagen in der Mathematik, 00:14:14.073 --> 00:14:16.370 dass man ein Objekt versucht zu verstehen. 00:14:16.523 --> 00:14:18.058 Indem man ein anderes Objekt versteht, was ihm dazugehört. 00:14:18.058 --> 00:14:19.745 Indem man ein anderes Objekt versteht oder sozusagen versteht, 00:14:19.745 --> 00:14:21.108 wie das Objekt transformiert werden kann, 00:14:21.108 --> 00:14:23.462 was Abbildungen sind und dann Symmetrien so als 00:14:23.994 --> 00:14:26.640 Spezialfall von Selbst-Abbildungen, die irgendwie was erhalten. 00:14:26.640 --> 00:14:30.798 Also daran kann man ja so Eigenschaften von dem Objekt irgendwie ablesen. 00:14:30.928 --> 00:14:34.304 Und dadurch, dass man es in Algebra, also Algebra stellt, 00:14:34.575 --> 00:14:37.570 wie ich das so sehe, irgendwie dann auch so einen Werkzeugkasten. 00:14:37.741 --> 00:14:38.743 Ja, und umgekehrt. 00:14:38.743 --> 00:14:41.669 Also in der geometrischen Gruppentheorie ist es tatsächlich wechselseitig. 00:14:41.669 --> 00:14:44.254 Da wird manchmal die Geometrie als Werkzeugkasten benutzt, 00:14:44.254 --> 00:14:47.110 um algebrasche Aussagen über die Gruppen zu beweisen. 00:14:47.481 --> 00:14:50.314 Und umgekehrt. Also man benutzt irgendwie 00:14:50.785 --> 00:14:53.308 die Gruppen und rechnet da irgendwas aus, 00:14:53.308 --> 00:14:56.781 dass es irgendwelche Dinge nicht gibt oder doch gibt oder viele gibt, 00:14:56.912 --> 00:14:59.615 um dann irgendwas über das geometrische Objekt zu lernen. 00:14:59.615 --> 00:15:02.548 Also da wird es tatsächlich in beide Richtungen benutzt. 00:15:02.898 --> 00:15:05.922 Aber das stimmt, oft gibt es so Invarianten, 00:15:05.922 --> 00:15:10.219 wo man einem Knoten ein Polynom zuordnet und dann, 00:15:10.410 --> 00:15:13.606 wenn man weiß, das Polynom ist null, dann ist der Knoten trivial oder so. 00:15:14.177 --> 00:15:15.890 Da geht es immer nur in eine Richtung. 00:15:16.902 --> 00:15:19.106 Da will man nichts über die Polynome lernen jetzt aufgrund 00:15:19.106 --> 00:15:20.428 der Knotentheorie, 00:15:20.428 --> 00:15:24.316 aber da benutzt man halt auch irgendwie ein algebraisches Objekt, 00:15:24.316 --> 00:15:26.039 um eine geometrische Aussage zu treffen. 00:15:26.039 --> 00:15:26.681 Das ist auch schön. 00:15:26.681 --> 00:15:28.053 Also Polynome sind auch, 00:15:28.224 --> 00:15:30.437 also ich würde sagen, 00:15:30.869 --> 00:15:35.907 zentrale Objekte in der Algebra und close to my heart, sozusagen. 00:15:36.137 --> 00:15:37.710 Liegen mir am Herzen, muss ich auf Deutsch sagen. 00:15:39.361 --> 00:15:40.482 Die sind, ja genau, 00:15:40.482 --> 00:15:44.977 also sozusagen Invarianten oder zu einem mathematischen Objekt ein Polynom 00:15:45.068 --> 00:15:48.512 zuzuordnen, das ist auch ein Thema, was man relativ häufig findet, wo man dann, 00:15:48.512 --> 00:15:50.515 wenn man bestimmte Zahlen in das Polynom einsetzt, 00:15:50.515 --> 00:15:54.930 wird irgendwas gezählt oder so, da kommt dann kombinatorische Theorie mit rein. 00:15:55.561 --> 00:15:58.410 Ja, das ist eigentlich ein wiederkehrendes Thema, denke ich. 00:15:58.410 --> 00:16:01.060 Da gibt es viele Beispiele, die auf ähnliche Weise funktionieren. 00:16:01.060 --> 00:16:04.447 Und diese zentrale Rolle von dem Polynom, 00:16:04.447 --> 00:16:07.874 die kommt eben von diesen Grundrechenoperationen, so stelle ich mir das vor. 00:16:07.874 --> 00:16:10.249 Also warum tauchen Polynome so oft auf? 00:16:10.381 --> 00:16:13.617 Weil ein Polynom ist eigentlich eine Rechenvorschrift für 00:16:13.828 --> 00:16:15.552 die Grundrechenoperationen anwenden. 00:16:15.552 --> 00:16:19.409 Du hast irgendwelche Größen, die sind in dem Polynom dann die Variablen x1 bis xn. 00:16:20.040 --> 00:16:21.862 Und jetzt gibt es irgendeine Rechenvorschrift. 00:16:21.862 --> 00:16:24.874 Multipliziere x1 mit nochmal x1 und 00:16:25.604 --> 00:16:30.498 nochmal x2 und addiere es dann zu x3 mal x4 und mach das fünfmal. 00:16:31.209 --> 00:16:33.730 Also ein Polynom kodiert eigentlich so eine Rechenvorschrift. 00:16:33.730 --> 00:16:36.933 Und deswegen kommt es eigentlich überall vor, 00:16:36.933 --> 00:16:38.774 wo mit Zahlen irgendwie gerechnet wird. 00:16:38.774 --> 00:16:39.995 Genau, wo man auch Sachen zählen kann. 00:16:39.995 --> 00:16:42.637 Also wenn man zum Beispiel zu diesem Knotenbeispiel zurückgeht. 00:16:42.637 --> 00:16:46.270 Also ein mathematischer Knoten ist nichts anderes als tatsächlich das, was man sich… 00:16:46.300 --> 00:16:48.409 … physisch unter einem Knoten vorstellt. 00:16:48.409 --> 00:16:50.959 Also man nimmt einen Faden, wurschtelt den in ein Bild. 00:16:50.959 --> 00:16:53.113 Man nimmt seine Kopfhörer und tut die kurz in die Tasche 00:16:53.113 --> 00:16:54.402 und dann nimmt man sie wieder raus und schon hat man… 00:16:54.402 --> 00:16:56.670 Ja, nee, du musst die Enden identifizieren nachher. 00:16:56.670 --> 00:16:59.019 Also die beiden Teile, die ins Ohr gehen, die müssen identisch sein. 00:16:59.019 --> 00:17:00.985 Das ist nicht nötig. Nee, sonst ist mathematisch kein Knoten. 00:17:00.985 --> 00:17:02.198 Meiner Erfahrung nach sind die nicht nötig. 00:17:02.198 --> 00:17:06.208 Also mathematischer Knoten ist eine Einbettung der S1 in den R hoch 3. 00:17:06.464 --> 00:17:08.345 Ja, der Kopfhörer hat auch drei Enden, aber okay. 00:17:08.345 --> 00:17:10.320 Ja, der hat drei Enden. Aber du brauchst halt was mit… 00:17:10.320 --> 00:17:12.789 zwei Enden, wo am Ende die beiden Enden miteinander verklebt werden, 00:17:12.789 --> 00:17:14.415 sonst ist es mathematisch kein Knoten. 00:17:14.415 --> 00:17:15.965 Das ist nur eine Verschlingung sonst. 00:17:15.965 --> 00:17:17.178 Okay, also jetzt habe ich so einen Knoten? 00:17:17.178 --> 00:17:20.067 Genau, du hast so einen Knoten und dann kann man den sozusagen, 00:17:20.067 --> 00:17:21.409 du projizierst den auf die Ebene, 00:17:21.409 --> 00:17:23.013 das heißt im Prinzip legst du den einfach auf den Tisch, 00:17:23.013 --> 00:17:26.923 drückst ihn ein bisschen platt und dann siehst du halt so einen Graph aufgemalt. 00:17:26.923 --> 00:17:31.930 Und dann gibt es bestimmte Stellen, wo eben diese Kurve sich selbst überkreuzt. 00:17:32.221 --> 00:17:37.851 Und dann läuft man im Prinzip diese Kurve ab und merkt sich, 00:17:37.851 --> 00:17:42.201 bin ich jetzt über einer anderen Schlinge drüber gelaufen oder drunter gelaufen. 00:17:42.201 --> 00:17:44.069