WEBVTT NOTE PGD019 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.461 --> 00:00:01.604 Ja, hallo zusammen. 00:00:01.604 --> 00:00:07.378 Hier ist Pi ist genau 3 mit Folge 19 und heute ist auch Petra wieder dabei. 00:00:07.378 --> 00:00:08.191 Hallo Petra. 00:00:08.191 --> 00:00:08.504 Hallo Thomas. 00:00:08.504 --> 00:00:09.981 Und hat ein Thema vorbereitet. 00:00:09.981 --> 00:00:12.305 Ich habe ein Thema vorbereitet, genau. 00:00:12.305 --> 00:00:13.887 Eins noch zu Pi ist genau 3, 00:00:13.887 --> 00:00:19.366 da hat irgendwie das University College in London, glaube ich war es, 00:00:19.676 --> 00:00:21.399 auf Twitter gepostet gehabt, 00:00:21.399 --> 00:00:25.066 dass Pi gleich 3 tatsächlich eine lustige Geschichte hat, 00:00:25.066 --> 00:00:28.673 die mit Eskimos zu tun hat. Also Inuit muss man ja sagen. 00:00:28.673 --> 00:00:30.697 Pi gleich 3 mit Inuit? 00:00:30.697 --> 00:00:32.350 Genau, guck mal bei Twitter. 00:00:33.203 --> 00:00:38.170 Wie guck mal bei Twitter? Weil ich bei Twitter gucke, ach Twitter, ach. 00:00:38.201 --> 00:00:39.665 Googelt es mal, googelt es mal. 00:00:39.665 --> 00:00:42.772 Pi gleich 3 Eskimos. Es ist halt Eskimo number. 00:00:42.772 --> 00:00:46.290 Es ist politisch nicht korrekt, das zu sagen, aber so findet man es über Google. 00:00:47.122 --> 00:00:51.410 Genau, das hat irgendwas damit zu tun mit distorted metrics, 00:00:51.410 --> 00:00:53.274 also vertretenen Metriken, die, 00:00:53.274 --> 00:00:55.418 wenn man nach Norden geht, irgendwie die Abstände schrumpfen. 00:00:55.418 --> 00:00:55.918 Ähm 00:00:57.440 --> 00:00:58.761 ja, musst du mal schauen. 00:00:58.761 --> 00:01:03.144 Da gab's ein Gesetz in einem, in den USA, in einem der Staaten, 00:01:03.144 --> 00:01:05.526 die das erlassen hatten. Das hab ich auch mal gehört. 00:01:05.526 --> 00:01:07.548 Ah, das rings a bell. Ja, aber ich kann mich ja nicht. 00:01:07.548 --> 00:01:09.849 Genau, Google das weiß. Sehr lustige Sache. 00:01:09.849 --> 00:01:10.349 Aha. 00:01:10.350 --> 00:01:12.511 Genau, jedenfalls ähm ja, ich wusste ja schon immer, 00:01:12.511 --> 00:01:14.272 dass Magdeburg relativ weit nördlich liegt, 00:01:14.272 --> 00:01:15.874 aber dass wir so weit im Norden sind, 00:01:15.874 --> 00:01:20.337 dass hier tatsächlich schon gleich drei greift wegen Metrikschrumpfung, 00:01:20.337 --> 00:01:25.250 war mir nicht klar. Okay, das vorweg, es hat nix mit dem heutigen Thema zu tun. 00:01:26.082 --> 00:01:28.457 Ich habe aber ein inhaltliches Thema heute mitgebracht. 00:01:28.688 --> 00:01:33.830 Wir reden über Dimensionen oder den Begriff der Dimension. 00:01:34.441 --> 00:01:37.466 Und da hat wahrscheinlich jede und jeder, 00:01:37.466 --> 00:01:40.481 der jetzt zuhört, irgendwie so eine sehr naive Vorstellung, 00:01:40.932 --> 00:01:45.402 die wahrscheinlich relativ nah dran ist an dem, was Euclid zur Dimension gesagt hat. 00:01:45.402 --> 00:01:49.903 Der hat es nicht explizit als Begriff definiert, aber hat in seinen ... 00:01:50.901 --> 00:01:56.688 Schriften ja auch schon über ein-, zwei-, dreidimensionale Objekte geredet. 00:01:56.688 --> 00:01:59.882 Es fängt ja an mit ein Punkt ist, was keine Teile hat. 00:02:00.253 --> 00:02:03.126 Ein Gerade ist eine Länge ohne Breite. 00:02:03.697 --> 00:02:06.090 Und so beschreibt er ja die ersten drei Dimensionen. 00:02:06.304 --> 00:02:08.227 Dimension, ersten drei Dimensionen. 00:02:10.101 --> 00:02:12.234 Ohne das mathematisch präzise zu machen. 00:02:12.385 --> 00:02:14.188 Ich würde jetzt aber gerne mit dir heute mal drüber reden. 00:02:14.188 --> 00:02:17.583 Erstens, was ist das? Dimension, mathematisch. 00:02:17.954 --> 00:02:20.798 Und dann, weiß ich nicht, gucken wir uns Beispiele an und reden über Sachen, 00:02:20.798 --> 00:02:22.190 die damit zu tun haben. 00:02:22.361 --> 00:02:25.106 Ja, da hat die Mathematik, glaube ich, 00:02:25.106 --> 00:02:29.182 schon viel mit gerungen in ihrer Geschichte, was das ist. 00:02:29.473 --> 00:02:33.709 Zum Beispiel, was würde Euclid, wie würde Euclid auf was Vierdimensionales kommen? 00:02:33.709 --> 00:02:35.199 Gar nicht. Weil da 00:02:35.734 --> 00:02:38.682 noch keine... Probleme hatte, die das irgendwie... 00:02:38.682 --> 00:02:40.023 keine Probleme lösen wollte, 00:02:40.023 --> 00:02:44.516 die in der Viergrößen unabhängig voneinander variieren können oder so. 00:02:44.786 --> 00:02:46.488 Genau, also ich glaube, das ist ein gutes Stichwort. 00:02:46.488 --> 00:02:50.551 Also Dimension hat was zu tun mit Unabhängigkeitsgraden. 00:02:50.551 --> 00:02:55.815 Also das ist glaube ich so ganz allgemein das, 00:02:55.815 --> 00:03:02.890 was Dimension greift. Euclid hat tatsächlich nur bis Dimension 3 Sachen beschrieben. 00:03:03.662 --> 00:03:07.951 Es gibt einen Artikel von Manin, wo der das als Küchenphysik bezeichnet, 00:03:07.951 --> 00:03:11.769 was Euclid da macht, weil der eigentlich nur mit Anschauung operiert. 00:03:11.841 --> 00:03:14.196 Ja, genau. Aber sie versucht 00:03:15.348 --> 00:03:17.663 zu verabstrahieren und 00:03:18.214 --> 00:03:20.468 das machen wir doch jetzt eigentlich auch in der Mathematik etc. Genau. 00:03:21.004 --> 00:03:23.910 Schauen uns so ein bisschen um und abstrahieren. 00:03:24.825 --> 00:03:27.383 In welchem Kontext ist dir denn Dimension geläufig? 00:03:27.383 --> 00:03:30.810 Naja, also wenn ich jetzt mal wieder an das Studium denke. 00:03:30.821 --> 00:03:35.530 Dann kommt Dimension ja in der linearen Algebra schon im ersten Semester vor. 00:03:35.785 --> 00:03:38.168 Und da diskutiere ich auch immer gern so 00:03:38.761 --> 00:03:41.128 Also das kommt einem dann relativ einfach vor. 00:03:41.128 --> 00:03:43.555 Also macht man so einen Dimensionsbegriff ist jetzt auch nicht so wichtig wie 00:03:43.555 --> 00:03:44.799 das genau geht. 00:03:44.799 --> 00:03:45.784 Der irgendwie das ausdrückt, 00:03:45.784 --> 00:03:49.684 dass es im R3 drei unabhängige Richtungen gibt und das irgendwie so 00:03:50.056 --> 00:03:51.363 verallgemeinert auf Vektorräume. 00:03:51.363 --> 00:03:54.640 Aber dann denkt man also ja, ist ja ganz logisch und ganz einfach. 00:03:54.640 --> 00:03:58.170 Aber dann versuche ich dem immer so ein bisschen eine Wendung zu geben, 00:03:58.170 --> 00:04:01.890 indem ich halt auch sage, dass es so raumfüllende Kurven gibt. 00:04:02.821 --> 00:04:06.386 Bei denen man halt irgendwie Schwierigkeiten hat, eine Dimension zu ordnen. 00:04:06.386 --> 00:04:10.002 Und das ist das, was besonderes ist an der linearen Algebra in dem Fall, 00:04:10.092 --> 00:04:12.616 dass man halt den Dimensionsbegriff so festnageln kann. 00:04:12.616 --> 00:04:14.128 Also was ist so eine raumfüllende Kurve? 00:04:14.358 --> 00:04:15.700 Eine Kurve... Ja. Ja, 00:04:15.700 --> 00:04:17.462 warte mal, warte mal, du greifst da schon ein bisschen... 00:04:17.462 --> 00:04:19.123 Gehen wir nochmal zurück zu den Vektorräumen. 00:04:19.123 --> 00:04:21.285 Also raumfüllende Kurven will ich auf jeden Fall auch noch zukommen. 00:04:21.285 --> 00:04:23.487 Das ist eine coole Sache, weil da muss man nämlich aufpassen, 00:04:23.487 --> 00:04:26.269 wie man dann Dimensionen... 00:04:26.269 --> 00:04:28.471 Kann man trotzdem sinnvoll einordnen. 00:04:28.471 --> 00:04:31.393 Das ist schwierig. Das kommt aber im Studium erst wie später. 00:04:31.393 --> 00:04:33.836 Also solche raumfüllenden Kurven, je nach Curriculum, 00:04:33.836 --> 00:04:37.519 kommt das wahrscheinlich in Analysis 3 oder... 00:04:37.519 --> 00:04:39.321 Irgendwie so, ja. Also man braucht wahrscheinlich... 00:04:39.321 --> 00:04:44.776 so Lebesgue-integrale Maßtheorie, um da zu beweisen, 00:04:44.776 --> 00:04:46.690 dass das tatsächlich dann... 00:04:46.921 --> 00:04:48.946 Aber ich kann das doch eigentlich auch mit einem Mängel. 00:04:48.946 --> 00:04:51.192 Ich kann ja einfach... das ist doch nur so... 00:04:51.192 --> 00:04:52.615 man gibt halt diese Vorschrift an. 00:04:52.615 --> 00:04:54.481 Ich glaube, das kann man schon am Anfang machen. 00:04:54.481 --> 00:04:58.776 Na, es... du kannst, je nachdem, was du da konkret beweisen willst, 00:04:59.347 --> 00:05:01.911 wenn du das mit einem Dimensionsbegriff paaren willst, 00:05:01.911 --> 00:05:04.134 dass du tatsächlich was Eindimensionales hast, 00:05:04.134 --> 00:05:07.098 was überschneidungsfrei auf was Zweidimensionales, musst du ja sagen, 00:05:07.098 --> 00:05:10.823 wie du die Dimensionen misst. Das macht man wahrscheinlich nicht immer. 00:05:10.823 --> 00:05:12.465 Man könnte aber sozusagen so Objekte nehmen, 00:05:12.465 --> 00:05:16.029 die man schon von denen man schon weiß, was die Dimension sein soll. 00:05:16.029 --> 00:05:18.962 Also wenn ich über die Definition rede, wie will ich das definieren? 00:05:19.033 --> 00:05:22.117 Dann kann ich ja so ein paar so Kandidaten hernehmen, von denen ich weiß, 00:05:22.117 --> 00:05:23.628 was die für eine Dimension haben sollen. 00:05:23.659 --> 00:05:25.090 Zum Beispiel das Quadrat. 00:05:25.221 --> 00:05:29.061 Das Einheitsquadrat im R2, das soll irgendwie ein zweidimensionales Objekt sein. 00:05:29.061 --> 00:05:30.344 Genau, also man hat so eine Anschauung, 00:05:30.344 --> 00:05:33.570 so eine naive Anschauung von Dimensionen und möchte natürlich, 00:05:33.570 --> 00:05:35.514 dass die abstrakten mathematischen Konzepte, 00:05:35.514 --> 00:05:38.561 die man sich jetzt bastelt, da möglichst mit übereinstimmen. 00:05:38.561 --> 00:05:40.245 Und jetzt kann ich jetzt mit dieser Kurve sagen? 00:05:40.245 --> 00:05:42.791 Also jetzt nehme ich eine Kurve ist was Eindimensionales, 00:05:42.791 --> 00:05:45.778 weil das ist eine Abbildung von der reellen Linie irgendwo hin. 00:05:45.778 --> 00:05:49.450 Eine stetige. Und jetzt kann man diese Hilbert-Kurve machen, 00:05:49.450 --> 00:05:51.882 die trifft halt jeden Punkt von diesem Quadrat. 00:05:51.882 --> 00:05:52.143 Genau, 00:05:52.143 --> 00:05:54.735 aber die ist ja so ein Limit-Prozess, da musst du erstmal weisen, 00:05:54.735 --> 00:05:55.618 dass das existiert und so. 00:05:55.618 --> 00:05:58.268 Auf jeden Fall geht da mehr ein, als zu sagen, 00:05:58.268 --> 00:06:00.956 ich definiere was eine Dimension von einem Vektorraum ist und zeige, 00:06:00.956 --> 00:06:02.309 dass das wohl definiert ist. 00:06:02.583 --> 00:06:03.943 Ja, ja. 00:06:03.943 --> 00:06:06.750 Also da muss man glaube ich schon ein bisschen härter für. 00:06:07.060 --> 00:06:08.021 Arbeiten. Okay, 00:06:08.021 --> 00:06:10.263 vielleicht kann man kann es wahrscheinlich auch im ersten Semester machen, 00:06:10.263 --> 00:06:12.895 aber es ist jetzt wahrscheinlich nichts, was man da kanonisch trifft. 00:06:12.985 --> 00:06:14.046 Bei einem Vektorraum, 00:06:14.046 --> 00:06:16.988 wenn wir da nochmal bleiben, bei einem Dimensionsbegriff da, 00:06:16.988 --> 00:06:18.309 was ich da spannend finde, ist, 00:06:18.309 --> 00:06:22.873 dass da die Dimension oft die erste Invariante ist, 00:06:22.873 --> 00:06:25.996 die man kennenlernt und wenn man den Körper festlegt, 00:06:25.996 --> 00:06:29.438 eigentlich einem auch eine Klassifikation an die Hand gibt. 00:06:29.438 --> 00:06:31.670 Also das sind auch so zwei Aspekte. 00:06:31.840 --> 00:06:34.644 Die der Dimensionsbegriff so mit sich bringt, 00:06:34.644 --> 00:06:37.668 die ich ganz spannend finde, die aber auch nicht immer funktionieren. 00:06:37.668 --> 00:06:40.562 Also nicht in allen Kontexten reicht dann die Dimension, 00:06:41.173 --> 00:06:43.396 um eine Klassifikation zu liefern. 00:06:43.396 --> 00:06:46.330 Es ist manchmal einfach eine sehr viel gröbere Invariante. 00:06:46.823 --> 00:06:52.262 Ja, da diskutiere ich auch immer viel drüber oder versuche das irgendwie, 00:06:52.262 --> 00:06:55.066 das ist ein schwieriger Punkt im ersten Semester so zu verstehen, 00:06:55.066 --> 00:06:57.410 wenn man dann irgendwie sieht, es gibt irgendwie nur einen, 00:06:57.410 --> 00:07:01.726 über K jetzt, nur einen Vektorraum der Dimension n bis auf Isomorphie. 00:07:01.837 --> 00:07:03.536 Was dieses bis auf Isomorphie Und... 00:07:04.121 --> 00:07:07.416 bedeuten soll. Also wenn es nur einen gibt, dann ist es ja, 00:07:07.427 --> 00:07:09.420 hört sich ja eigentlich an, als ob es ganz langweilig ist. 00:07:09.731 --> 00:07:10.502 Das ist sozusagen, 00:07:10.873 --> 00:07:11.675 es gibt zwar ganz viele, 00:07:11.675 --> 00:07:13.980 aber eigentlich sind die alle nur Umbenennungen von einem einzelnen. 00:07:13.980 --> 00:07:14.572 Genau, 00:07:14.684 --> 00:07:17.041 es sind eigentlich alle gleich in einem gewissen Sinne. 00:07:17.041 --> 00:07:19.185 Ja, und dass das sozusagen dann 00:07:19.185 --> 00:07:23.083 die ganze Action sozusagen nur in der Umbenennung liegt 00:07:23.394 --> 00:07:26.169 oder halt eben noch auf Zusatzstrukturen, die man noch 00:07:26.920 --> 00:07:29.023 Naja, es beruht eigentlich auf der Vektorraumstruktur, 00:07:29.023 --> 00:07:32.477 die du als Zusatzinformation in dem Fall zur Hand hast. 00:07:32.548 --> 00:07:34.120 Wenn du jetzt mal den R² nimmst, 00:07:34.570 --> 00:07:35.792 der ist ja nicht nur Vektorraum, 00:07:35.792 --> 00:07:39.097 sondern du kannst den auch als topologischen Raum sehen, 00:07:39.097 --> 00:07:41.960 also als Menge mit offenen Teilmengen. 00:07:41.960 --> 00:07:44.155 Du kannst den als metrischen Raum sehen, 00:07:44.427 --> 00:07:47.555 du kannst den aber auch als differenzierbare Mannigfaltigkeit sehen, 00:07:47.555 --> 00:07:49.890 du kannst den als algebraische Varietät sehen. 00:07:49.902 --> 00:07:54.153 In jedem dieser Kontexte gibt es einen Dimensionsbegriff oder mehrere, 00:07:54.153 --> 00:07:56.910 die sind nicht identisch. 00:07:58.464 --> 00:08:01.313 Da kommt aber in den allermeisten Fällen, ich habe gleich noch ein Beispiel, 00:08:01.313 --> 00:08:03.470 wo es nicht so ist, zwei raus. 00:08:05.067 --> 00:08:06.728 aus ja also zum beispiel als 00:08:07.920 --> 00:08:11.793 Also wenn du es als Mannigfaltigkeit nimmst, also Riemannsche Mannigfaltigkeit, 00:08:12.304 --> 00:08:15.346 da guckt man sich ja, um Dimensionen anzugucken, 00:08:15.346 --> 00:08:17.678 kleine Umgebungen von Punkten an und schaut, 00:08:18.269 --> 00:08:22.522 wie sieht, wie welcher R hoch N sieht diese Umgebung aus. 00:08:22.833 --> 00:08:24.234 Genau, also ist ja bei der Definition, 00:08:24.234 --> 00:08:27.546 wenn du eine Mannigfaltigkeit definierst, musst du schon die Dimension mitgeben. 00:08:27.697 --> 00:08:30.069 Genau, die ist da quasi mit reingefüttert 00:08:31.280 --> 00:08:37.247 und Und, ähm ... dann ist sozusagen trivialerweise der R² zweidimensional. 00:08:37.247 --> 00:08:40.612 Aber da ist es tatsächlich nicht ganz so leicht zu zeigen, 00:08:40.612 --> 00:08:42.715 dass die R hoch ns nicht alle diffeom, 00:08:42.715 --> 00:08:47.532 also dass die paarweise nicht diffeomorf sind für verschiedene n und ms. 00:08:48.263 --> 00:08:54.302 Also dass der R Quadrat eben nicht diffeomorf zum R hoch 1, also zu einer Kurve ist. 00:08:54.453 --> 00:08:56.436 Das ist dann schon ein richtiger Satz, 00:08:56.436 --> 00:08:58.961 während bei Vektorräumen ist das relativ simpel nachzurechnen. 00:08:58.961 --> 00:09:02.503 Ja, man muss, es ist die, man muss ja zeigen, dass alle Baar sind die gleiche, 00:09:03.056 --> 00:09:03.949 also die Dimension ist die 00:09:04.601 --> 00:09:06.263 Ja, wenn du über Mannigfaltigkeit reden willst, 00:09:06.263 --> 00:09:09.028 hast du eben diese Basis nicht mehr zur Verfügung, ne? 00:09:09.028 --> 00:09:12.073 Also wenn du den R-Quadrat jetzt einfach als Mannigfaltigkeit aufpasst 00:09:12.073 --> 00:09:13.555 und eben nicht mehr als Vektorraum, 00:09:13.555 --> 00:09:16.930 also wenn du ihn ja formal gesagt in einer anderen Kategorie betrachtest. 00:09:17.023 --> 00:09:19.803 Aber die Kategorie ist doch dann zwei Mannigfaltigkeiten, oder? 00:09:19.874 --> 00:09:22.720 Es gibt doch sozusagen die Nö, das sind einfach N-Mannigfaltigkeiten. 00:09:22.720 --> 00:09:26.217 Bei Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist die Dimension doch, 00:09:26.268 --> 00:09:27.130 die ist eingebaut, 00:09:27.130 --> 00:09:30.176 die Dimension, die Mannigfaltigkeit weiß ihre eigene Definition, 00:09:30.176 --> 00:09:32.390 weil die in der, oder? 00:09:33.901 --> 00:09:36.475 Erstmal weißt du nicht, ob nicht zwei… 00:09:36.926 --> 00:09:37.707 Ich dachte in der Mannigfalt, 00:09:37.707 --> 00:09:39.430 also ich, vielleicht haben wir auch unterschiedliche Definitionen. 00:09:39.430 --> 00:09:41.875 Ich dachte irgendwie so eine Riemannschen Mannigfaltigkeit ist irgendwie so ein 00:09:41.875 --> 00:09:44.780 topologischer Raum, der überdeckt wird mit R hoch n für 00:09:44.780 --> 00:09:45.845 ein fixes n. Ja, aber es ist nicht klar, 00:09:45.845 --> 00:09:49.797 dass du nicht trotzdem einen Diffirmorphismus angeben kannst zwischen R hoch 1 00:09:49.797 --> 00:09:51.945 und R Quadrat. Ja. Das muss man beweisen. 00:09:51.945 --> 00:09:56.370 Ja, die haben erstmal so lokale Karten, es ist lokal eingebaut. 00:09:56.981 --> 00:09:59.896 In dem Objekt, aber es kann natürlich trotzdem sein, 00:10:00.127 --> 00:10:03.074 dass es global noch eine Abbildung gibt, 00:10:03.074 --> 00:10:05.360 die diese lokale Dimension sozusagen ignoriert. 00:10:05.360 --> 00:10:05.860 Mhm. 00:10:06.822 --> 00:10:09.632 Ja, also du hast sozusagen nur in den Umgebungen von Punkten diese Dimension 00:10:09.632 --> 00:10:12.149 fest verdrahtet in der Definition. 00:10:12.942 --> 00:10:16.619 Das ist mit den sogenannten Karten eben da eingebaut, 00:10:16.950 --> 00:10:18.894 die das alles überdecken, aber es könnte ja passieren, 00:10:18.894 --> 00:10:21.970 dass das sozusagen auf einem makroskopischen Level kaputt geht. 00:10:22.301 --> 00:10:25.419 Und du trotzdem irgendwas Dreidimensionales, 00:10:25.430 --> 00:10:28.829 diffeomorph, auf was Eindimensionales abbilden kannst. 00:10:29.664 --> 00:10:33.430 Und das will man aber nicht, weil sonst der Dimensionbegriff natürlich blöd wäre. 00:10:33.501 --> 00:10:37.000 Man hat immer eine ganze Menge von Sätzen, 00:10:37.070 --> 00:10:40.770 das ist vielleicht bei all diesen Begriffen so, die das erstmal 00:10:41.820 --> 00:10:45.704 zeigen, dass die Definition sinnvoll ist oder so geht und das ist das Ringen mit 00:10:45.704 --> 00:10:46.554 der Definition. 00:10:46.805 --> 00:10:51.048 Man muss erstmal ganz schön Menge arbeiten, bevor man sehen kann, dass das, 00:10:51.048 --> 00:10:53.010 was man vielleicht hinschreiben möchte oder das, 00:10:53.010 --> 00:10:56.102 was einem natürlich vorkommt, dass es auch so geht. 00:10:56.352 --> 00:10:58.594 Genau, dass das rauskommt, was man eigentlich haben will. 00:10:58.594 --> 00:11:00.115 Das ist genau das, was du vorhin gesagt hast, 00:11:00.115 --> 00:11:01.537 dass das Quadrat tatsächlich Dimension 2 hat. 00:11:01.537 --> 00:11:03.508 Oder einfach keine Widersprüche rauskommen. 00:11:04.239 --> 00:11:05.600 Und was ist jetzt eine äh 00:11:07.400 --> 00:11:10.046 Darstellung, in der das nicht Dimension 2 hat? 00:11:10.046 --> 00:11:14.785 Ja, das gibt eine ganz lustige Dimensionszahl für metrische Räume, 00:11:14.856 --> 00:11:15.940 also Menge mit Abstandsfunktion. 00:11:15.940 --> 00:11:16.440 Ja. 00:11:17.922 --> 00:11:20.760 Die heißt Equilateral Dimension auf Englisch 00:11:21.092 --> 00:11:23.810 und ist angelehnt an die gleichzeitigen Dreiecke. 00:11:23.983 --> 00:11:26.839 Und zwar sagt die, dass man, 00:11:26.910 --> 00:11:30.890 also Dimension ist erstmal eine Menge an Freiheitsgraden, ja. 00:11:30.922 --> 00:11:36.823 Und ich sage jetzt, okay, das hat Dimension n, wenn ich n Punkte nehmen kann, 00:11:37.215 --> 00:11:40.030 die paarweise alle denselben Abstand haben. 00:11:42.561 --> 00:11:44.268 n Punkte, ich kann aber 3 Punkte nehmen. 00:11:44.268 --> 00:11:44.468 Genau, 00:11:44.468 --> 00:11:47.609 dann kann ich mehr Quadrat eben 3 Punkte nehmen, nicht 2. 00:11:49.101 --> 00:11:52.381 Warum würde man die Definition nicht so machen, dass man da irgendwie 00:11:52.733 --> 00:11:55.130 noch eins absieht? Minus eins hinschreibt, keine Ahnung. 00:11:56.141 --> 00:11:59.088 Also dann ist die Equilateral Dimension von r dann auch 2. 00:11:59.381 --> 00:12:03.367 Genau. Also für r² und r hoch n kann man es ganz leicht reparieren. 00:12:03.367 --> 00:12:06.471 Ich nehme an, dass der Grund irgendwo anders begraben liegt, 00:12:06.471 --> 00:12:09.376 dass man Graphen, irgendwelche singulären Räume damit betrachten will, 00:12:09.376 --> 00:12:12.550 wo das dann zu oft 0 wäre, wo man es nicht haben will. 00:12:15.101 --> 00:12:17.455 Aber das habe ich gefunden als eine Definition. 00:12:17.455 --> 00:12:20.046 Leute machen komische Sachen. Ich weiß nicht, wo die tatsächlich benutzt wird. 00:12:20.046 --> 00:12:23.513 Ich fand es nur lustig, dass es tatsächlich einen Dimensionsbegriff gibt, 00:12:23.513 --> 00:12:26.079 der verwendet wird, wo der R² eben nicht Dimension 2 hat. 00:12:26.079 --> 00:12:26.579 Hm. 00:12:29.026 --> 00:12:30.948 Ja, wie stellst du dir Dimensionen vor? 00:12:32.503 --> 00:12:33.627 Schon so als Ausdehnung, 00:12:33.627 --> 00:12:37.670 also wie viele Richtungen gibt es da, in wie vielen Richtungen ist es ausgedehnt. 00:12:38.104 --> 00:12:41.330 Aber natürlich kommt man da schnell in irgendwelche … 00:12:42.240 --> 00:12:48.085 Probleme. Zum Beispiel könnte ja sozusagen diese Richtungen, 00:12:48.085 --> 00:12:49.606 die können unterschiedliche Interpretationen haben. 00:12:49.606 --> 00:12:52.428 In der Physik hat man ja dann mit der, wenn man da so Raumzeit, 00:12:52.428 --> 00:12:55.821 also spezielle Relativitätstheorie, da gibt es diese Zeitdimension. 00:12:56.131 --> 00:12:56.632 Also das, was ich … 00:12:56.632 --> 00:12:58.253 Die hat eine andere, spielt eine andere Rolle als die anderen, ne? 00:12:58.253 --> 00:12:59.514 Ja, die spielt irgendwie eine andere Rolle, 00:12:59.514 --> 00:13:01.516 wenn man Abstände ausrechnet zum Beispiel. 00:13:01.516 --> 00:13:04.158 Also dann geht dieses Quadrat mit negativen Vorzeichen ein. 00:13:04.158 --> 00:13:06.900 Und das sind aber eben Zusatzstrukturen auf dem … 00:13:06.900 --> 00:13:07.400 Ähm 00:13:08.600 --> 00:13:09.662 auf dem Vektorraum, 00:13:09.662 --> 00:13:12.365 die einem dann also auch irgendwie sein, die Vorstellung, 00:13:12.365 --> 00:13:15.710 die man hat, so ein bisschen verhageln, verhageln können. 00:13:15.710 --> 00:13:20.045 Oder auch andere Begriffe von Orthogonalität, also so Skalarprodukte oder ja, 00:13:20.076 --> 00:13:22.128 also andere Metriken, andere Skalarprodukte. 00:13:22.779 --> 00:13:24.222 Ähm Die eben dann, 00:13:24.222 --> 00:13:27.390 dann zwei dreidimensionale Vektorräume doch ganz unterschiedlich machen können. 00:13:27.390 --> 00:13:30.860 Also obwohl es sozusagen nur einen gibt, bis auf Isomorphie von Vektorräumen. 00:13:30.860 --> 00:13:31.204 Genau, 00:13:31.204 --> 00:13:32.438 ist halt eine andere Kategorie dann. 00:13:32.438 --> 00:13:33.163 Betrachten wir halt, 00:13:33.163 --> 00:13:35.910 betrachten wir halt dann sozusagen Vektorräume mit Zusatzstrukturen 00:13:35.910 --> 00:13:39.769 und dann äh sind die, können die halt äh da noch ganz unterschiedlich sein. 00:13:40.383 --> 00:13:41.777 Da brauchen wir noch mehr Invarianten. 00:13:41.989 --> 00:13:45.110 Ja, also in der Algebraischen Geometrie für Varietäten. 00:13:45.401 --> 00:13:46.241 Ja, da ist es ja auch. 00:13:46.241 --> 00:13:48.804 Also da gibt es auch so verschiedene, also da ist es in den Ringen, 00:13:48.804 --> 00:13:50.825 also da wenn man in der Kommutativen Algebravorlesung, 00:13:50.825 --> 00:13:52.637 die man vielleicht erst im Master macht oder so, 00:13:53.247 --> 00:13:56.931 hat man da Mühen nach innerhalb des ersten Semesters zu einem Dimensionsbegriff 00:13:56.931 --> 00:13:57.291 zu kommen. 00:13:57.291 --> 00:13:58.132 Ja, das wird nicht funktionieren. 00:13:58.132 --> 00:14:00.914 Also da gibt es die Krull-Dimension, die völlig algebraisch definiert ist. 00:14:00.914 --> 00:14:01.134 Ja, genau. 00:14:01.134 --> 00:14:04.477 Das geht über so Ringe, die aufsteigen, Ideale, die aufsteigen, geschachtelt sind. 00:14:04.477 --> 00:14:07.240 Genau, und um die Ketten von Primidealen. 00:14:07.240 --> 00:14:09.830 Das Das... bildet eigentlich sowas ab wie... 00:14:10.124 --> 00:14:12.437 Du fragst dich... In der linearen Algebra gibt es auch sowas. 00:14:12.437 --> 00:14:13.868 Na, das ist wie die Fahnen in der linearen Algebra. 00:14:13.868 --> 00:14:16.642 Du kannst die Dimensionen charakterisieren durch die Länge von Fahnen. 00:14:16.642 --> 00:14:20.315 Und da nimmt man eben sozusagen Algebraische Untervarietäten und fragt sich, 00:14:20.315 --> 00:14:21.769 wie die ineinander enthalten sein können. 00:14:21.862 --> 00:14:24.448 Das ist wiederum relativ nah an Euclid eigentlich, ne? 00:14:24.448 --> 00:14:27.536 Der sagt, okay, du hast einen Punkt und dann dehnst du dich aus in die Länge, 00:14:27.536 --> 00:14:31.510 in die Breite, in die Höhe. Und das ist im Prinzip so eine Fahne. 00:14:32.401 --> 00:14:36.829 Es kann halt noch ganz viele Restriktionen innerhalb des Objekts geben. 00:14:36.829 --> 00:14:37.660 Also zum Beispiel, 00:14:37.731 --> 00:14:42.890 wenn die reduzibe ist, so eine Varietät, da ist die Dimension dann wirklich lokal. 00:14:42.944 --> 00:14:45.380 Kann anders aussehen an dem einen Punkt als an dem anderen. 00:14:45.380 --> 00:14:47.849 Also zum Beispiel eine Vereinigung von einem Punkt und einer Kurve, 00:14:47.849 --> 00:14:51.170 und der Punkt liegt nicht auf der Kurve, ist auch eine algebraische Varietät. 00:14:51.461 --> 00:14:54.128 Und der Punkt alleine soll ja wohl Dimension 0 haben und 00:14:54.128 --> 00:14:56.475 die Kurve soll wohl Dimension 1 haben, wenn es irgendwie funktioniert. 00:14:56.475 --> 00:14:58.228 Und das hängt halt davon ab, wo ich bin. 00:14:58.902 --> 00:15:01.607 Da hast du halt ein Objekt, was in gewisser Weise nicht zusammenhängend ist. 00:15:01.607 --> 00:15:04.192 Und solange du halt verschiedene Komponenten hast, 00:15:04.192 --> 00:15:06.858 kann das einfach komponentenweise nur sinnvoll sein, zu sagen, 00:15:06.858 --> 00:15:07.599 was eine Dimension ist. 00:15:07.599 --> 00:15:07.862 Aber ich könnte auch 00:15:07.862 --> 00:15:09.367 eine Fläche nehmen und eine Kurve, 00:15:09.367 --> 00:15:12.303 die irgendwie durch die Fläche geht, dann ist es schon mal zusammenhängend. 00:15:12.303 --> 00:15:12.766 Das auch. 00:15:12.766 --> 00:15:14.477 Man kann auch so singuläre Räume basteln, 00:15:14.477 --> 00:15:16.622 wenn du so simple Simplizialkomplexe nimmst zum Beispiel, 00:15:16.622 --> 00:15:19.045 kannst ja auch eine Ebene mit einer Halbgeraden verkleben, 00:15:19.045 --> 00:15:20.997 indem du die einfach an irgendeinem Punkt dranpappst. 00:15:21.247 --> 00:15:23.269 Da ist auch nicht so klar, was man da als Dimension nennen würde. 00:15:23.269 --> 00:15:25.192 Genau, also es ist auch so in der Mathematik ja oft, 00:15:25.192 --> 00:15:29.646 dass man auch der Teufelsadvokat sein kann und für jeden, 00:15:30.117 --> 00:15:32.200 für jede Vorstellung, die man irgendwie von Dimension hat. 00:15:32.200 --> 00:15:35.893 hat. Kann man dann wieder irgendwas konstruieren, wo das eben nicht, 00:15:35.893 --> 00:15:37.870 wo die Vorstellung eben nicht funktioniert. 00:15:38.041 --> 00:15:40.666 Naja, bei Simplizialkomplexen ist das ja ganz simpel behoben. 00:15:40.666 --> 00:15:41.547 Da sagt man einfach, 00:15:41.547 --> 00:15:44.913 das ist eben die Dimension des größten auftretenden Simplex und wenn es 00:15:44.913 --> 00:15:45.474 das nicht gibt, 00:15:45.474 --> 00:15:48.441 wenn die sozusagen immer größer werden, dann ist es halt unendlich Dimension. 00:15:48.441 --> 00:15:51.227 So macht man es in der Algebraischen Geometrie eigentlich auch. 00:15:51.227 --> 00:15:53.372 Wenn es verschiedene Komponenten gibt, nimmt man das Maximum. 00:15:53.372 --> 00:15:55.245 Wenn man jetzt, wenn jemand fragt, was ist, 00:15:55.637 --> 00:15:57.149 was soll man machen, nimmt man halt das Maximum. 00:15:57.500 --> 00:16:00.183 Man kann Dimension aber auch extrinsisch fassen, 00:16:00.183 --> 00:16:02.674 das ist auch noch ein Punkt, den ich ganz spannend finde. 00:16:03.185 --> 00:16:06.328 Dann stimmen die Begriffe unter Umständen auch nicht miteinander überein, 00:16:06.328 --> 00:16:09.340 wenn wir jetzt gerade mal noch bei Simplizialkomplexen zum Beispiel bleiben. 00:16:09.610 --> 00:16:11.652 Könnte man sich ja fragen, man bastelt irgendwas, ja, 00:16:11.652 --> 00:16:15.075 klebt so Simplizis zusammen, Kanten, Dreiecke, Tetraeder, 00:16:15.075 --> 00:16:16.646 identifiziert irgendwie Seiten. 00:16:17.197 --> 00:16:18.998 Dann kann irgendwas Kompliziertes rauskommen, 00:16:18.998 --> 00:16:21.290 sodass das nicht mehr in den R hoch 3 passt. 00:16:22.901 --> 00:16:23.341 Überschneidungsfrei. 00:16:23.341 --> 00:16:24.582 Ja, wenn man das unendlich macht. 00:16:24.582 --> 00:16:26.894 Also man klebt unendlich viele Dreiecke und Kanten. 00:16:27.085 --> 00:16:30.988 Das Problem tritt schon auf, wenn man nur Kanten verklebt bei Graphen. 00:16:30.988 --> 00:16:32.150 Die sind manchmal nicht planar. 00:16:32.150 --> 00:16:34.031 Die kann man nicht auf einem Blatt Papier zeichnen. 00:16:34.031 --> 00:16:35.793 Da braucht man den dreidimensionalen Raum, 00:16:35.793 --> 00:16:38.686 um tatsächlich diesen Graphen irgendwie zu realisieren. 00:16:39.036 --> 00:16:41.478 Und da kann man eben auch nach dem kleinsten n fragen, 00:16:41.478 --> 00:16:43.170 also nach dem kleinsten R hoch n. 00:16:43.780 --> 00:16:47.526 in das dann eben so ein Simplizialkomplex überschneidungsfrei eingebettet 00:16:47.526 --> 00:16:50.000 werden kann. Das ist die Einbettungsdimension. 00:16:50.331 --> 00:16:54.247 Die ist oft sehr viel größer als die tatsächliche intrinsische 00:16:54.357 --> 00:16:56.310 Dimension des größten Simplex. 00:16:57.481 --> 00:17:00.089 Die, die da vorhanden ist in dem Simplizialkomplex. 00:17:00.089 --> 00:17:03.222 Das finde ich auch spannend. Und dann sagt natürlich diese Differenz was aus. 00:17:03.222 --> 00:17:05.018 Ja, Grafentheorie, da gibt es viele Dimensionen. 00:17:05.170 --> 00:17:07.060 Ein Doktorand von mir hat sogar mal eine erfunden. 00:17:07.060 --> 00:17:09.243 Ja? Die Faserdimension. Was ist das denn? 00:17:09.243 --> 00:17:10.149 Der hört das auch manchmal hier. 00:17:10.149 --> 00:17:12.030 Also, hallo Tobias. 00:17:13.264 --> 00:17:16.082 Es wird die Faserdimension noch berühmt über den Podcast. 00:17:16.082 --> 00:17:18.420 Ja, genau. Sollten mehr Leute damit beschäftigen. 00:17:18.591 --> 00:17:21.110 Das war ganz witzig. Ja. 00:17:21.140 --> 00:17:23.963 Muss man sich was Endimensionales vorstellen können? 00:17:23.963 --> 00:17:26.826 Das werde ich manchmal gefragt so von Nicht-Mathematikerinnen 00:17:26.826 --> 00:17:29.088 und Nicht-Mathematikern so, boah, wie stellst du dir das vor? 00:17:29.088 --> 00:17:34.603 N gleich 17 oder so. Wie macht, wie arbeitet man da? 00:17:35.174 --> 00:17:36.956 Technisch, so wie man es immer macht. 00:17:36.956 --> 00:17:39.078 Man hat halt seine Techniken. Ja. 00:17:39.078 --> 00:17:41.130 Ich sag dann auch, man muss sich das nicht vorstellen. 00:17:41.701 --> 00:17:44.641 Man soll es vielleicht sich auch gar nicht versuchen visuell vorzustellen. 00:17:44.641 --> 00:17:46.445 Ja, ich meine, also man kann sich viele Sachen nicht vorstellen. 00:17:46.445 --> 00:17:49.561 Also wenn eine Technik weit genug entwickelt ist, 00:17:50.453 --> 00:17:53.481 dann kommt sie Leuten, die das nicht kennen, vor wie Magie. 00:17:53.481 --> 00:17:55.445 Das ist halt bei Mathe so, aber es ist, 00:17:55.445 --> 00:17:57.900 also ich würde sagen Herz-OP am ungeborenen Kind 00:17:58.552 --> 00:18:00.195 kommt für mich auch wie Magie vor, ja. 00:18:00.195 --> 00:18:02.810 Und es ist irgendwie Technik, die… 00:18:04.820 --> 00:18:05.592 entwickelt wurde. 00:18:05.622 --> 00:18:08.228 Das ist halt so standing on the shoulders of giants, 00:18:08.228 --> 00:18:10.673 also man fügt halt immer noch was dazu 00:18:10.673 --> 00:18:13.479 und dann entsteht halt aus vielen kleinen Teilen so ein Gebäude, 00:18:13.479 --> 00:18:16.731 dass wenn man dann auf einmal zurücktritt und das ganze Gebäude sieht, 00:18:16.731 --> 00:18:18.769 dann kommt es einem doch wie 00:18:19.141 --> 00:18:19.942 Also was ich finde, 00:18:19.942 --> 00:18:23.991 was schon manchmal hilft, ist eben Anschauungen in kleinen Dimensionen zu haben. 00:18:23.991 --> 00:18:28.230 Ja, also 0, 1, 2, 3 funktioniert einigermaßen gut noch für Menschen. 00:18:28.802 --> 00:18:31.811