WEBVTT NOTE PGD024 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:01.701 --> 00:00:04.307 Ja, hallo zusammen. Wir starten die 24. 00:00:04.307 --> 00:00:09.598 Episode von Peace, genau 3. Thomas hat heute ein Thema vorbereitet. 00:00:09.598 --> 00:00:10.530 Hallo Thomas. 00:00:10.581 --> 00:00:12.433 Hallo Petra. Ich grüß dich. 00:00:12.523 --> 00:00:18.991 Wir sprechen heute über einen Satz von Corksetter, den ich kürzlich gelernt habe. 00:00:18.991 --> 00:00:20.293 Einen etwas unbekannteren. 00:00:20.293 --> 00:00:21.254 Also ich weiß nicht, ob du den kennst, 00:00:21.254 --> 00:00:26.290 wenn wir ihn am Ende haben, dann kannst du ja mal sagen, ob du den kanntest. 00:00:27.226 --> 00:00:29.101 Also du willst tatsächlich über einen mathematischen Satz? 00:00:29.101 --> 00:00:29.601 Genau. 00:00:29.843 --> 00:00:30.926 Ich will versuchen, 00:00:30.926 --> 00:00:35.205 das Podcast-Format an seine Grenzen zu treiben und einen mathematischen Satz zu 00:00:35.356 --> 00:00:36.742 erklären. Mal gucken, ob wir da hinkommen. 00:00:36.742 --> 00:00:38.149 Ja, andere versuchen das ja, ne? 00:00:38.149 --> 00:00:40.729 My Favorite Theorem macht das ja in jeder Episode. 00:00:40.803 --> 00:00:42.912 Ja, genau. Wir kriegen das auch hin. 00:00:42.912 --> 00:00:44.559 Wo wir Mathe-Podcasts haben, können wir auch mal irgendwas reden. 00:00:44.559 --> 00:00:45.212 Die Latte liegt hoch, 00:00:45.212 --> 00:00:46.330 ne? Aber ja. 00:00:47.103 --> 00:00:49.353 Also, aber wir fangen an mit der Sendung mit der Maus. 00:00:49.353 --> 00:00:50.278 Die kennst du ja auch und Magda auch. 00:00:50.278 --> 00:00:54.070 Ja, klar. Und neulich habe ich bei der Sendung mit der Maus einen Film geguckt. 00:00:54.421 --> 00:00:57.948 Über Krankenhausroboter. Im Krankenhaus gibt es so Transportroboter. 00:00:57.948 --> 00:00:59.211 Kennst du die? Die fahren irgendwie so rum. 00:00:59.211 --> 00:01:00.574 Da muss man viel so Zeug transportieren, 00:01:00.574 --> 00:01:03.404 wie irgendwie schmutzige Wäsche oder Essen oder so. 00:01:03.404 --> 00:01:05.961 Ich bin nicht so oft im Krankenhaus, aber ich kann es mir vorstellen. 00:01:05.961 --> 00:01:07.243 Aber jedenfalls haben die so Roboter. 00:01:07.243 --> 00:01:09.136 Das sind so flache Roboter. 00:01:09.226 --> 00:01:12.892 Die sind, also die sehen aus wie so eine Europalette, nur ein bisschen kleiner. 00:01:12.892 --> 00:01:15.737 Und dann können die halt unter so Standardregale drunter fahren 00:01:15.737 --> 00:01:17.745 und dann heben die die hoch und fahren damit irgendwo anders hin. 00:01:17.745 --> 00:01:20.870 Wie so ein Staubsauger quasi. Der alleine rumfährt. 00:01:20.870 --> 00:01:21.370 Ja, genau. Okay. 00:01:21.682 --> 00:01:26.105 Ähm, naja, der Staubsauger, der muss ja irgendwie das ganze Gebiet abfahren. 00:01:26.105 --> 00:01:27.927 Der macht das qua Random Walk, ne? 00:01:28.423 --> 00:01:30.531 Genau, und er will aber irgendwie überall mal gewesen sein, 00:01:30.531 --> 00:01:32.138 damit es auch nirgendwo staubig ist oder sich sammelt. 00:01:32.138 --> 00:01:32.922 Ja, 00:01:32.922 --> 00:01:37.511 aber ich glaube, das geht einfach nach, weiß ich nicht, hat der Detektoren oder so? 00:01:37.511 --> 00:01:38.433 Ich weiß nicht, nach was das geht. 00:01:38.433 --> 00:01:40.577 Hört der einfach zufällig irgendwann auf oder misst der tatsächlich, 00:01:40.577 --> 00:01:42.142 wie dreckig es noch ist, wo er langfährt? 00:01:42.142 --> 00:01:43.528 Nee, ich glaube, der misst nicht, wie dreckig es ist. 00:01:43.528 --> 00:01:45.918 Ich glaube, der will einfach nur so überall mal langgefahren sein. 00:01:45.918 --> 00:01:46.781 Aber es kann er sich… 00:01:46.781 --> 00:01:49.317 Er macht sich so eine Karte. Doch, doch, der macht sich bestimmt so eine Karte. 00:01:49.317 --> 00:01:50.803 Nee, die haben ja nur… 00:01:50.803 --> 00:01:54.180 Die drehen ja einfach nur um, wenn sie anstoßen. 00:01:54.651 --> 00:01:56.876 Und dann gibt es so eine Finde-mein-Zuhause-Ding, 00:01:56.876 --> 00:01:58.727 wo er quasi zu seiner Base wieder zurückkommt. 00:01:58.727 --> 00:02:00.899 Ja, interessant. Also Rasenmäher funktionieren jedenfalls so. 00:02:00.899 --> 00:02:01.883 Ich dachte, die machen irgendwie, 00:02:01.883 --> 00:02:06.072 die erstellen so online irgendwie eine Karte von dem Gebiet so nach und nach 00:02:06.072 --> 00:02:08.076 und schauen dann, wo sie schon waren und wo nicht. 00:02:08.076 --> 00:02:10.110 Aber so genau weiß ich das auch nicht. 00:02:10.141 --> 00:02:13.750 Also bei Rasenmähern, die sind relativ dumm, diese automatischen Rasenmäher. 00:02:13.750 --> 00:02:17.099 Da steckst du den Rand außen ab mit so einer elektrischen Schleife quasi. 00:02:17.099 --> 00:02:17.599 Ah, 00:02:17.161 --> 00:02:19.030 das musst du auch noch alleine machen. 00:02:19.200 --> 00:02:19.341 Ja, 00:02:19.341 --> 00:02:21.573 das muss man selber machen. Das musst du in deiner Wiese vergraben. 00:02:21.743 --> 00:02:24.366 Und dann gibt's eben so das Häuschen. 00:02:24.366 --> 00:02:29.671 Das hat irgendwie noch so eine Antenne, mit der der Rasenmäher merkt, 00:02:29.671 --> 00:02:31.042 dass da die Homebase ist. 00:02:31.232 --> 00:02:33.315 Und dann fährt der wirklich einfach erratisch sozusagen rum, 00:02:33.315 --> 00:02:35.466 bis er an die Schleife anstößt, dreht um und so. 00:02:36.097 --> 00:02:38.900 Also da könnte man noch eigentlich mehr, das ist eigentlich so ein… 00:02:38.900 --> 00:02:41.085 …Poster Child für Mathematik anwenden. 00:02:41.085 --> 00:02:43.490 Mathematik im Alltag könnte man eigentlich noch mehr coolere Sachen machen, 00:02:43.490 --> 00:02:48.159 dass der dann quasi so einen Plan von dem Rasenfläche alleine erstellt oder so. 00:02:48.159 --> 00:02:50.030 Ja, aber… Der müsste doch eigentlich rausfinden können, 00:02:50.030 --> 00:02:51.970 ob er über Rasen ist oder nicht, oder? 00:02:52.085 --> 00:02:53.708 Nö, der mäht einfach alles. 00:02:53.708 --> 00:02:54.394 Mäht einfach alles. Ja. 00:02:54.971 --> 00:02:56.990 Na gut. Ich glaube, das ist zu teuer, also… 00:02:57.021 --> 00:02:58.791 Rasenmäherroboter sind unglaublich teuer. 00:02:58.791 --> 00:02:59.616 Ich habe das kürzlich mal recherchiert. 00:02:59.616 --> 00:03:01.066 Ja, aber es ist noch teurer, 00:03:01.066 --> 00:03:03.656 wenn der noch cleverer wäre und da so Fragen herstellen könnte. 00:03:03.656 --> 00:03:04.543 Stell dir das mal vor. 00:03:04.543 --> 00:03:06.878 Wenn da noch mehr Mathe drin wäre, wäre der viel teurer, meinst du? 00:03:06.878 --> 00:03:08.742 Genau, genau. Und du wolltest eigentlich immer so… 00:03:08.742 --> 00:03:13.010 Also diese Krankenhausroboter, ja, jedenfalls, was haben die für Eigenschaften? 00:03:14.160 --> 00:03:18.035 Die sind, die fahren da irgendwie so rum und die sollen ja nicht zusammenstoßen. 00:03:18.106 --> 00:03:19.528 Also sie sollen nicht mit Menschen zusammenstoßen, 00:03:19.528 --> 00:03:21.881 nicht mit Wänden zusammenstoßen und nicht untereinander zusammenstoßen. 00:03:22.291 --> 00:03:26.447 Und das führt irgendwie auf das mathematische Problem, 00:03:27.519 --> 00:03:31.477 die zu steuern. Und das können wir ja mal ein bisschen vereinfachen. 00:03:31.868 --> 00:03:34.615 Und da gibt es den Begriff des Konfigurationsraums. 00:03:34.615 --> 00:03:36.259 Das hast du vielleicht schon mal gehört. 00:03:36.259 --> 00:03:38.885 Klar. Also hast du irgendwie eine Ebene. 00:03:38.885 --> 00:03:39.606 Wir stellen uns jetzt mal vor, 00:03:39.606 --> 00:03:41.380 das Krankenhaus ist erstmal eine Ebene 00:03:41.531 --> 00:03:42.874 und es gibt jetzt auch keine Hindernisse, 00:03:42.874 --> 00:03:45.770 also irgendwie keine herumlaufenden Menschen oder so. 00:03:45.942 --> 00:03:50.615 Und die Roboter, die fahren da irgendwie rum und die sollen nicht zusammenstoßen. 00:03:50.615 --> 00:03:52.750 Und man fragt sich jetzt sozusagen, in was für… 00:03:53.420 --> 00:03:55.932 Positionen können die überhaupt sein? 00:03:56.803 --> 00:03:57.313 Und das… 00:03:57.964 --> 00:04:01.487 Ja, da kommt es jetzt darauf an, wie man den Roboter selber modelliert. 00:04:01.487 --> 00:04:05.611 Ob du den als kontinuierlich sich bewegenden Punkt interpretierst oder ob 00:04:05.611 --> 00:04:09.785 der nur, sagen wir mal, diskrete Schritte vorwärts, rückwärts, seitwärts kann. 00:04:09.855 --> 00:04:13.438 Ob der in alle Richtungen gehen kann oder nur geradeaus und rechts, links. 00:04:13.438 --> 00:04:14.900 Hier in meiner Welt können die… 00:04:14.900 --> 00:04:19.063 äh einfach sich frei bewegen, kontinuierlich im R2 sozusagen. 00:04:19.063 --> 00:04:21.145 Also wir haben jetzt den R2 und da haben wir, 00:04:21.145 --> 00:04:23.176 die Roboter sind natürlich idealisierte Punkte. 00:04:23.226 --> 00:04:23.647 Ja. 00:04:23.647 --> 00:04:24.147 Die 00:04:25.248 --> 00:04:26.369 sind einfach, die haben keine Ausdehnung. 00:04:26.369 --> 00:04:27.069 Mikroskopisch klein. 00:04:27.069 --> 00:04:28.270 Genau, die haben irgendwelche Koordinaten. 00:04:28.270 --> 00:04:31.333 Im R2 sind wir jetzt unsere, haben wir jetzt unsere K-Roboter oder so. 00:04:31.333 --> 00:04:33.535 Okay, aber der kann sozusagen sich in, 00:04:33.535 --> 00:04:36.597 also komplett im Kreis drehen und in beliebige Richtungen loswerden. 00:04:36.597 --> 00:04:38.779 Ja, ist ja ein Punkt, das heißt, wenn er sich dreht, merkst du gar nichts davon. 00:04:38.779 --> 00:04:40.000 Nee, aber also… 00:04:40.000 --> 00:04:41.462 Wir reden ja immer noch über einen Roboter. 00:04:41.462 --> 00:04:44.364 Also der soll sozusagen in eine beliebige Richtung wandern können. 00:04:44.364 --> 00:04:49.850 Genau. Und der Konfigurationsraum ist jetzt 00:04:49.850 --> 00:04:54.904 der Raum aller möglichen Positionen für die Krankenhausroboter. 00:04:54.974 --> 00:04:55.515 Ja? Also damit… 00:04:55.515 --> 00:04:57.297 Also für einen ist das relativ langweilig, ne? 00:04:57.297 --> 00:05:00.019 Das ist einfach der R2. Da kann einfach irgendwo sein. 00:05:00.019 --> 00:05:00.860 Jetzt nehmen wir mal zwei. Bye. 00:05:01.863 --> 00:05:04.908 Bei zwei hast du halt zwei Punkte im R2. 00:05:05.102 --> 00:05:06.487 Genau, da kommt es halt drauf an, 00:05:06.487 --> 00:05:09.739 sozusagen die relative Position zueinander noch, in welchem Abstand stehen die… 00:05:09.739 --> 00:05:11.088 Wir speichern das einfach absolut. 00:05:11.826 --> 00:05:14.106 Also du merkst ja wirklich die beiden Koordinaten. 00:05:14.106 --> 00:05:14.606 Genau. 00:05:14.106 --> 00:05:17.230 Da ist einfach der A2 kreuzt der R2 dann. 00:05:17.383 --> 00:05:19.136 Aber die können nicht am gleichen Ort sein. 00:05:19.136 --> 00:05:19.829 Ach so, 00:05:19.829 --> 00:05:20.442 okay, das willst du nicht. 00:05:20.442 --> 00:05:23.400 Also R2 kreuzt R2 ohne die Diagonale. 00:05:23.400 --> 00:05:23.864 Ja, 00:05:23.864 --> 00:05:25.381 also ohne die identischen Positionen. 00:05:25.381 --> 00:05:27.535 Ja, ohne sozusagen, also das heißt zwei Punkte, 00:05:28.046 --> 00:05:32.496 x1, y1 und x2, y2 und die sollen halt nicht komplett gleich sein, 00:05:32.496 --> 00:05:34.850 weil die zwei Roboter können nicht am gleichen… 00:05:34.881 --> 00:05:36.544 Punkt sein, wie wir in Physik gelernt haben. 00:05:36.544 --> 00:05:40.151 Und wenn du halt drei Roboter hast, hast du halt die Bedingung, dass halt, 00:05:40.151 --> 00:05:45.110 also hast du drei Punkte und es dürfen nie zwei am gleichen Ort sein. 00:05:45.781 --> 00:05:47.405 Okay, aber was willst du jetzt als Frage haben? 00:05:47.405 --> 00:05:50.151 Jetzt haben wir irgendwie so ein Modell sozusagen, wir sagen, 00:05:50.151 --> 00:05:53.261 die Roboter sind jeweils Punkte und die bewegen sich halt. 00:05:53.261 --> 00:05:53.461 Ja, 00:05:53.461 --> 00:05:54.463 ich will die noch gar nicht steuern. 00:05:54.463 --> 00:05:57.369 Also wir machen jetzt auf eine grundlegende mathematische Frage, 00:05:57.369 --> 00:05:59.072 ist erstmal sozusagen, was ist der, 00:05:59.072 --> 00:06:03.590 was kann man jetzt mathematisch sagen über diesen Raum, in dem… 00:06:03.700 --> 00:06:08.195 diese Konfigurationen von Robotern leben, diesen Konfigurationsraum? 00:06:08.385 --> 00:06:10.347 Und das ist schon ein interessanter mathematischer Raum, 00:06:10.347 --> 00:06:11.748 mit dem sich Leute beschäftigen. 00:06:11.748 --> 00:06:14.361 Also quasi Leute verdienen ihre Brötchen damit, 00:06:14.651 --> 00:06:19.706 dass sie nur sozusagen untersuchen, R2 Kreuz, R2 Kreuz, R2 Kreuz, R2 K Mal, 00:06:19.977 --> 00:06:22.819 ohne die Diagonale. Also sozusagen K Roboter, 00:06:22.819 --> 00:06:25.539 was sind die? Naja, aber die müssen sich ja schon irgendwelche Fragen stellen, 00:06:25.539 --> 00:06:28.010 ne? Ja, was für Fragen würdest du denen für einen Raum stellen? 00:06:28.460 --> 00:06:30.462 Puh, über diesen Raum, ja. 00:06:30.462 --> 00:06:33.985 Also, wenn man überhaupt so Räume anfängt zu untersuchen, 00:06:33.985 --> 00:06:36.448 da gibt es immer so ein paar klassische Fragen, die man sich stellen kann. 00:06:36.448 --> 00:06:38.590 Ist der kontrahierbar? Ist der zusammenhängend? 00:06:38.590 --> 00:06:40.101 Ist der Weg zusammenhängend? 00:06:40.932 --> 00:06:45.196 Wie sehen die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten da drin aus? 00:06:45.196 --> 00:06:48.579 Sowas, ja. Ist der vielleicht kompakt, nicht kompakt? 00:06:48.579 --> 00:06:50.250 Hat der endlich einen Durchmesser? 00:06:50.380 --> 00:06:52.342 Und das ist ja schon mal, also was ja schon mal interessant ist, ist, 00:06:52.342 --> 00:06:56.066 dass sozusagen diese Position von den K-Robotern, 00:06:56.066 --> 00:06:58.929 also unseren endlich vielen Robotern, auch irgendwie dieser Raum, 00:06:58.929 --> 00:07:00.620 wo diese Positionen leben, 00:07:00.871 --> 00:07:04.174 für alle Roboter gleichzeitig, auch wieder eine Geometrie hat. 00:07:04.174 --> 00:07:08.007 Also wir haben jetzt auch so einen Begriff von nahe aneinander 00:07:08.198 --> 00:07:09.500 von einem Roboter oder zwei Robotern. 00:07:09.500 --> 00:07:10.525 Also in dem Fall sieht man das ganz, 00:07:10.525 --> 00:07:14.290 also in dem Fall sieht man das sozusagen naiverweise bei dem… 00:07:14.580 --> 00:07:18.637 Ein Roboterbeispiel, weil das ja derselbe Raum ist wie der, in dem man sich bewegt. 00:07:18.647 --> 00:07:21.141 Also da ist es irgendwie klar, dass das eine Geometrie hat. 00:07:21.592 --> 00:07:23.675 Für zwei ist das schon nicht mehr so klar. 00:07:23.675 --> 00:07:25.859 Da musst du einmal sagen, was du mit Abstand meinst. 00:07:25.859 --> 00:07:26.397 Ja, genau. 00:07:27.442 --> 00:07:29.877 Wie würdest du das jetzt machen für zwei Roboter? 00:07:30.469 --> 00:07:32.273 Wann sind zwei Roboter nah beieinander? 00:07:32.273 --> 00:07:35.383 Miest du tatsächlich nur deren Abstand in der Ebene? 00:07:35.383 --> 00:07:36.085 Das lasse ich offen, 00:07:36.085 --> 00:07:39.697 weil ich das für das weitere, für den Satz von Coxsaiter brauche ich das nicht. 00:07:39.697 --> 00:07:40.228 Aber… 00:07:41.542 --> 00:07:43.546 Also das ist natürlich eine valide Frage, 00:07:43.546 --> 00:07:47.233 die man sich erstmal stellen muss, bevor man die Roboter überhaupt steuert, 00:07:47.233 --> 00:07:50.409 steuern kann oder sowas wie kürzeste Wege, was ist ein kurzer Weg überhaupt, ja? 00:07:50.521 --> 00:07:51.583 Genau, also man muss da, 00:07:51.583 --> 00:07:54.309 also bevor man eigentlich darüber redet, gibt es kürzeste Wege, 00:07:54.309 --> 00:07:56.874 muss man sagen, wie man Abstände messen will. 00:07:56.874 --> 00:08:00.130 Da gibt es auch mehrere sinnvolle Möglichkeiten, das zu tun. 00:08:00.224 --> 00:08:03.428 Aber das ist interessant, das führt, also dieser Begriff des… 00:08:04.580 --> 00:08:08.582 Konfigurationsraums, also diesen Raum nenne ich jetzt den Konfigurationsraum, 00:08:08.794 --> 00:08:10.640 wo die Roboter sind, das nennen wir eine Konfiguration. 00:08:10.640 --> 00:08:13.605 Es ist wie so eine Variante von so einem Modulraum, 00:08:13.605 --> 00:08:16.629 das gibt es ja in der Mathematik noch häufiger, 00:08:16.629 --> 00:08:19.433 dass man irgendwie eine Menge von Objekten hat, 00:08:19.433 --> 00:08:22.397 die irgendwie parametrisiert sind, nenne ich das mal, 00:08:22.397 --> 00:08:24.450 und man tut die alle in einen Raum. 00:08:24.700 --> 00:08:27.423 Und hat dann nicht nur die Menge dieser Objekte, 00:08:27.423 --> 00:08:30.596 sondern auch irgendwie noch eine geometrische Struktur da drauf. 00:08:30.867 --> 00:08:31.958 Zum Beispiel die 00:08:33.770 --> 00:08:37.334 Menge aller Graden im R3 durch den Ursprung, 00:08:37.334 --> 00:08:39.867 die bilden dann die projektive Ebene und so und 00:08:40.477 --> 00:08:43.050 in der algebraischen Geometrie macht man, da gibt's da ganze... 00:08:43.431 --> 00:08:46.681 Ja, nicht nur da. ...Abhandlungen über elliptische Kurven und sowas. 00:08:46.681 --> 00:08:49.663 Das Phänomen gibt's in ganz, ganz vielen Bereichen, dass du, 00:08:49.663 --> 00:08:52.005 wenn du ein Objekt hast, das du untersuchen willst, 00:08:52.005 --> 00:08:53.757 dass es manchmal sinnvoll ist, 00:08:53.947 --> 00:08:58.891 eine ganze Objektklasse mit diesen Eigenschaften gleichzeitig zu untersuchen 00:08:58.891 --> 00:09:03.335 und sich dann eben Gedanken zu machen über Abstände und sowas. 00:09:03.335 --> 00:09:03.845 Also 00:09:05.057 --> 00:09:06.078 das ist, glaube ich, was, 00:09:06.078 --> 00:09:09.030 was in ganz vielen Bereichen der Mathematik wieder auftaucht. 00:09:09.273 --> 00:09:12.748 Okay. Also kommen wir mal zu diesem Konfigurationsraum zurück. 00:09:12.748 --> 00:09:14.773 Jetzt hast du schon gesagt so Invarianten. 00:09:14.773 --> 00:09:17.101 Also hattest du Fundamentalgruppe auch gesagt? 00:09:17.101 --> 00:09:20.234 Nee, das hatte ich nicht. Nee, machte man nicht so ganz. 00:09:20.234 --> 00:09:21.729 Mach man erst nicht so technisch. 00:09:21.925 --> 00:09:23.562 Doch, die ist wichtig. Die brauchen wir jetzt nämlich. 00:09:23.562 --> 00:09:23.683 Ach, 00:09:23.683 --> 00:09:24.589 die brauchen wir für den Satz. 00:09:24.589 --> 00:09:25.173 Okay, dann sage ich, 00:09:25.173 --> 00:09:26.259 was eine Fundamentalgruppe ist. 00:09:26.259 --> 00:09:27.447 Genau, sag mal, was eine Fundamentalgruppe ist. 00:09:27.447 --> 00:09:28.671 Also wir haben jetzt irgendeinen komplizierten Raum, 00:09:28.671 --> 00:09:30.667 den kann man sich erstmal nicht so gut vorstellen, weil… 00:09:30.943 --> 00:09:33.137 Ja, wir nehmen vielleicht mal ein ganz konkretes Beispiel. 00:09:33.137 --> 00:09:35.063 Also eine Fundamentalgruppe… Fundamentalgruppe ist erstmal, 00:09:35.063 --> 00:09:38.109 wie der Name sagt, ist eine Gruppe und diese Gruppe, 00:09:38.109 --> 00:09:40.623 die wollen wir in einem Raum zu sortieren. 00:09:41.174 --> 00:09:44.320 Und als Menge ist diese Gruppe erstmal… 00:09:44.320 --> 00:09:46.924 Also wir müssen in der Lage sein, in diesem Raum Schleifen zu malen. 00:09:46.924 --> 00:09:50.428 Also Schleifen malen heißt mathematisch korrekt S1en einzubetten. 00:09:50.428 --> 00:09:53.281 Also in einem Punkt loszulaufen, Stift anzusetzen, 00:09:53.512 --> 00:09:56.596 einen Weg zu zeichnen, 00:09:56.596 --> 00:09:59.401 der nicht absetzt und am Ende wieder an demselben Punkt anzugelangen. 00:09:59.401 --> 00:10:00.366 Genau. 00:10:00.366 --> 00:10:02.341 Also wir fixieren einen Punkt, sagen wir mal x0 oder… 00:10:02.341 --> 00:10:02.542 Ja, 00:10:02.542 --> 00:10:04.357 müssen wir gar nicht, aber können wir machen. 00:10:05.391 --> 00:10:08.350 Fixieren wir einen Punkt und dann sagen wir, ja, braucht man eigentlich nicht. 00:10:08.581 --> 00:10:10.935 Also, aber das ist vielleicht wirklich zu technisch jetzt. 00:10:11.066 --> 00:10:13.610 Wir fixieren den Punkt und wir sagen, okay, 00:10:13.610 --> 00:10:16.716 wir betrachten jetzt als Menge alle Schleifen, 00:10:16.716 --> 00:10:18.644 die in diesem Punkt starten und wieder aufhören. 00:10:18.644 --> 00:10:18.846 Ja, 00:10:18.846 --> 00:10:20.382 so Wege. So Rundwege. Genau, 00:10:20.382 --> 00:10:23.677 so bezeichnete Rundwege. Die dürfen sich aber selber überschneiden. 00:10:23.788 --> 00:10:25.801 Also man darf die beliebig verknoten und so. 00:10:25.972 --> 00:10:27.275 Also man kann sich zum Beispiel vorstellen, 00:10:27.275 --> 00:10:30.000 wenn man so einen Donut nimmt, so eine Oberfläche von so einem Donut. 00:10:30.000 --> 00:10:32.592 Das ist immer ein schönes Beispiel für Fundamentalgruppe. 00:10:32.763 --> 00:10:34.154 Dann kann man da, 00:10:34.204 --> 00:10:36.727 wenn man eine ganz kleine Schleife zeichnet, 00:10:36.727 --> 00:10:39.079 ich fuchtel gerade hier so mit meinen Händen in der Luft rum, 00:10:39.750 --> 00:10:40.951 sieht natürlich jetzt keiner. 00:10:40.951 --> 00:10:43.574 Aber wenn man an diesem Punkt irgendwie so eine kleine Schleife zeichnet, 00:10:43.574 --> 00:10:46.727 die im Vergleich zu dem Donut irgendwie mini ist, dann 00:10:48.399 --> 00:10:49.020 kann man die die... 00:10:49.420 --> 00:10:52.654 im Prinzip auf der Donut-Oberfläche noch auf den Punkt zusammenziehen. 00:10:52.925 --> 00:10:54.767 Andere Schleifen haben nicht diese Eigenschaft. 00:10:54.767 --> 00:10:57.301 Also man könnte zum Beispiel einmal durch das Innere 00:10:57.852 --> 00:11:02.638 des Donuts laufen oder auch sozusagen einmal außenrum ums Loch obendrauf auf 00:11:02.638 --> 00:11:07.100 der Oberfläche, wo das... Wo der Zuckerguss immer ist, mit den Streuseln. 00:11:07.100 --> 00:11:09.876 Genau. Und diese Schleifen... 00:11:09.876 --> 00:11:11.257 Ich hätte mit Schoko obendrauf vorgestellt, 00:11:11.257 --> 00:11:12.186 aber... Du willst mit Schoko. 00:11:12.186 --> 00:11:15.265 Ich hatte, ich hab so einen, weißt du, so mit pinken Streuseln. 00:11:15.265 --> 00:11:16.497 Pink und oben so bunte Streusel drauf. 00:11:16.497 --> 00:11:18.153 Und so weißer Zuckerguss, ganz eklig. 00:11:18.153 --> 00:11:20.233 Schmeckt nicht, aber... Das ist eigentlich der charakteristische Donut. 00:11:20.233 --> 00:11:21.090 Crispy Cream. 00:11:21.242 --> 00:11:23.568 Ja, der ist ganz, ganz, ich finde den ganz schrecklich, 00:11:23.568 --> 00:11:25.112 aber das ist immer so mein Donut-Bild, ja. 00:11:25.112 --> 00:11:28.350 So weißer Zuckerguss, der schon so runtertropft und dann diese pinken Streusel. 00:11:28.943 --> 00:11:31.492 Okay, also man läuft einmal die pinken Streusel oben lang 00:11:31.492 --> 00:11:34.109 und dann diese Schleife kann man aber nicht zusammenziehen. 00:11:34.283 --> 00:11:36.601 Genau, die Schleifen sind irgendwie aus Gummi und man fragt sich, 00:11:36.692 --> 00:11:38.642 kann man die zu dem Punkt zusammenziehen? 00:11:38.642 --> 00:11:39.445 Genau, also man stellt sich vor, 00:11:39.445 --> 00:11:40.771 man legt da wirklich so einen Faden rum 00:11:40.771 --> 00:11:43.490 und versucht den so zusammen zu knüllen auf den Punkt. 00:11:44.960 --> 00:11:47.255 Und wann immer man, 00:11:47.446 --> 00:11:49.391 also man will nur solche Schleifen jetzt betrachten, 00:11:49.391 --> 00:11:51.336 die man nicht zusammenziehen kann zu so einem Punkt, 00:11:51.336 --> 00:11:53.170 weil sonst sind die ja uninteressant. 00:11:53.280 --> 00:11:55.155 Ja, die sagen einem irgendwie nichts aus. 00:11:55.286 --> 00:11:56.269 Aber die anderen, 00:11:56.269 --> 00:11:58.555 die kann man verknüpfen und zwar kann man sozusagen 00:11:58.555 --> 00:12:01.342 das Ende nochmal lösen bei dem von dem einen, 00:12:01.342 --> 00:12:03.066 man nimmt zwei solche Schleifen und dann kann man 00:12:03.066 --> 00:12:05.392 das Ende nochmal lösen von dem Punkt und den Anfang von 00:12:05.392 --> 00:12:08.743 der nächsten Schleife auch lösen von dem Punkt und die aneinander knoten. 00:12:08.743 --> 00:12:10.619 Dann hat man eine doppelt so lange Schleife, 00:12:11.253 --> 00:12:12.297 die irgendwie einen komplizierteren Weg macht. 00:12:12.297 --> 00:12:12.939 Aber das ist auch wieder eine Schleife. 00:12:12.939 --> 00:12:15.156 Das ist auch wieder eine Schleife, die an dem Punkt anfängt und da aufhört. 00:12:15.156 --> 00:12:18.452 Ja. Und das ist eben das Produkt dieser beiden Schleifen und so kriegen 00:12:18.452 --> 00:12:19.115 wir dann eine Gruppenstruktur. 00:12:19.115 --> 00:12:20.603 Genau, und dann macht das irgendwie eine Gruppenstruktur. 00:12:20.603 --> 00:12:21.145 Also jedenfalls, 00:12:21.145 --> 00:12:24.097 was man irgendwie mitnehmen kann, ist, man hat dieses algebraische Objekt, 00:12:24.097 --> 00:12:29.468 eine Gruppe. Was einem irgendwie was sagt über so Löcher in dem Raum. 00:12:29.468 --> 00:12:30.149 Und das ist irgendwie was, 00:12:30.149 --> 00:12:31.732 was die Topologen, sag ich jetzt mal, 00:12:31.732 --> 00:12:36.189 als erstes über einen Raum wissen wollen, könnte man so sagen, oder? 00:12:36.907 --> 00:12:37.877 Wie sieht die Fundamentalgruppe aus? 00:12:37.877 --> 00:12:38.928 Wie sieht die Fundamentalgruppe aus? 00:12:38.928 --> 00:12:40.677 Also von so einem Konfigurationsraum wäre das vielleicht interessant. 00:12:40.677 --> 00:12:44.066 Als erstes würde man sich vielleicht fragen, ist es zusammenziehbar? 00:12:44.066 --> 00:12:46.449 Das hängt ja zusammen mit der Fundamentalgruppe. 00:12:46.449 --> 00:12:47.481 Also kann man vielleicht, 00:12:48.072 --> 00:12:51.538 kann man das ganze Blatt Papier vielleicht auf den Punkt zusammen grumpeln? 00:12:51.538 --> 00:12:53.170 Ja, da ist die Antwort ja. 00:12:54.080 --> 00:12:59.708 Bei einem Donut geht das faktisch auch, weil man den beliebig klein krümeln kann. 00:12:59.708 --> 00:13:01.510 Aber mathematisch geht das nicht, 00:13:01.510 --> 00:13:04.054 weil man eben dieses Loch nicht wegbekommt in der Mitte. 00:13:04.054 --> 00:13:05.015 Ja, also man darf, 00:13:05.015 --> 00:13:08.710 wenn man jetzt einen Gummi-Donut hätte, den könnte man nicht ohne dieses Loch. 00:13:08.921 --> 00:13:11.129 Ohne den irgendwie aufzuschneiden, 00:13:11.129 --> 00:13:14.310 irgendwie zusammenquetschen auf einen ganz kleinen Haufen. 00:13:15.042 --> 00:13:18.632 Genau, also der wäre nicht zusammenziehbar, aber so ein R-Quadrat, 00:13:18.632 --> 00:13:21.602 also die Ebene, die wäre tatsächlich zusammenziehbar. 00:13:21.602 --> 00:13:23.966 Und das hat eben mit dieser Fundamentalgruppe zu tun, 00:13:23.966 --> 00:13:27.272 also ob diese Gruppe mathematisch gesagt trivial ist, 00:13:27.272 --> 00:13:31.400 also gar nichts außer zusammenziehbare Scheifen enthält. 00:13:31.400 --> 00:13:32.983 Also lauter uninteressante Elemente. 00:13:32.983 --> 00:13:34.805 Wie zum Beispiel beim Nur-R2 wäre. 00:13:34.805 --> 00:13:35.126 Genau. 00:13:35.126 --> 00:13:39.552 Wenn ich im R2 im Nullpunkt anfange und irgendeine Schleife mache, 00:13:39.552 --> 00:13:42.316 kann ich die, wenn ich mir als Gummiband vorstelle, 00:13:42.316 --> 00:13:45.182 was schrumpft, schrumpft die zu einem Punkt zusammen. 00:13:45.182 --> 00:13:47.168 Genau, die schnurrt so zusammen. 00:13:47.168 --> 00:13:50.582 Auf dem Donut geht das nicht. Da bleiben die halt um das Loch rum. 00:13:50.582 --> 00:13:53.784 Was ums Loch, was einmal um den Donut rumgeht, so oder so. 00:13:53.856 --> 00:13:55.210 Gibt es sogar zwei verschiedene. 00:13:55.401 --> 00:13:56.425 Zwei Möglichkeiten. 00:13:56.425 --> 00:14:00.003 Einmal um den kleinen Radius zu wickeln sozusagen und einmal um den großen. 00:14:00.003 --> 00:14:02.500 Okay, so das ist Topologie. Jetzt aber zurück zu unseren Robotern. 00:14:02.500 --> 00:14:04.749 Ja. Jetzt haben wir diesen Konfigurationsraum. 00:14:04.749 --> 00:14:06.588 Also wir haben unsere K-Roboter, sagen wir mal 5. 00:14:07.182 --> 00:14:08.575 Also wir haben unsere 5 Punkte. 00:14:09.368 --> 00:14:14.070 Und jetzt sind wir in dem Konfigurationsraum, machen wir eine Schleife. 00:14:14.981 --> 00:14:18.597 Okay, da will ich jetzt ein Bild malen, ein sprachliches Bild. 00:14:18.828 --> 00:14:20.591 Also wir stellen uns vor eine Ebene, 00:14:20.591 --> 00:14:22.404 auf der unsere 5 Roboter stehen 00:14:22.795 --> 00:14:25.570 und ohne Beschränkung der Allgemeinheit stehen die irgendwie nebeneinander. 00:14:26.247 --> 00:14:28.050 Aber nicht in einer Reihe alle, oder? 00:14:28.783 --> 00:14:32.296 Ja, wir können das gleich ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, 00:14:32.296 --> 00:14:33.670 dass die in einer Reihe stehen. 00:14:33.964 --> 00:14:35.427 Du willst es in einer Reihe haben? 00:14:35.427 --> 00:14:38.464 Nö, erstmal nicht. Okay. Also die stehen irgendwie in der Ebene rum. 00:14:38.464 --> 00:14:41.242 Und jetzt laufen wir in unserem Konfigurationsraum ne Schleife. 00:14:41.242 --> 00:14:45.505 Das heißt, an dem Ende von der Schleife stehen die wieder da, wo sie waren. 00:14:45.505 --> 00:14:48.084 Weil, ist ja der gleiche Punkt im Konfigurationsraum. 00:14:48.084 --> 00:14:51.306 Und zwischendurch stehen die irgendwie an anderen Punkten. 00:14:51.306 --> 00:14:52.882 Aber das ist alles stetig. 00:14:52.882 --> 00:14:58.290 Also die bewegen sich da irgendwie rum und nie kollidieren zwei von den Robotern. 00:14:58.340 --> 00:15:00.522 Und dann kann man sich das so vorstellen, du hast eine Ebene, 00:15:00.522 --> 00:15:03.594 die stellen wir uns jetzt mal oben vor, da geht's los, da stehen die irgendwo. 00:15:03.685 --> 00:15:06.948 Und jetzt, wenn die Zeit sozusagen weiterläuft oder unser Parameter von 00:15:06.948 --> 00:15:09.570 der Schleife, stellen wir uns vor, wie das so nach unten geht. 00:15:09.570 --> 00:15:12.742 Zu jedem Punkt in der Zeit hast du so eine Ebene, 00:15:13.153 --> 00:15:15.064 in der siehst du, wo deine Roboter sind. 00:15:15.255 --> 00:15:15.695 Und irgendwann, 00:15:15.695 --> 00:15:18.197 wenn du am Ende von der Schleife angekommen bist, 00:15:18.197 --> 00:15:21.810 bist du bei einer unteren Ebene und dann sind sie wieder da, wo sie vorher waren. 00:15:22.040 --> 00:15:24.504 Und dann kann man sich das im Dreidimensionalen so vorstellen, 00:15:24.504 --> 00:15:29.282 als ob das wie so jeder Pfad von dem Roboter ist so ein Band, 00:15:29.453 --> 00:15:32.127 was von der oberen Ebene in die untere Ebene geht 00:15:32.317 --> 00:15:33.604 und wieder an dem gleichen Punkt ankommt. 00:15:33.604 --> 00:15:35.341 Willst du jetzt aber nicht erklären, was eine Zopfgruppe ist? 00:15:35.341 --> 00:15:37.615 Doch, genau. Das ergibt nämlich eine Zopfgruppe. 00:15:38.206 --> 00:15:39.599 Und Cox hat das Satz, 00:15:39.689 --> 00:15:43.877 auf den du jetzt schon mega gespannt bist, glaube ich, 00:15:43.877 --> 00:15:45.490 hat auch mit Zopfgruppen zu tun. 00:15:45.982 --> 00:15:50.061 Genau. Also die Dinger sehen irgendwie aus wie Zöpfe 00:15:50.252 --> 00:15:51.725 und da gibt es diese Zopfgruppen. 00:15:52.017 --> 00:15:53.650 Willst du erklären, was eine Zopfgruppe ist? 00:15:53.782 --> 00:15:56.960 Jetzt habe ich dir diese ganze unvorbereitet, diese ganzen Prüfungsfragen. 00:15:56.960 --> 00:15:58.826 Kriege ich hier den schwarzen Pfeil. 00:15:58.826 --> 00:16:01.415 Ich kann ja tatsächlich erklären, was eine Zopfgruppe ist, kein Problem. 00:16:01.415 --> 00:16:02.685 Ich habe über Zopfgruppen… 00:16:02.685 --> 00:16:03.641 Dass ich mir das jetzt gefällt. 00:16:03.641 --> 00:16:05.724 Ja, ich habe über Zopfgruppen ja auch schon geforscht. 00:16:05.724 --> 00:16:10.320 So ist das nicht. Genau. Also eine Zopfgruppe ist eine Gruppe aus Zöpfen. 00:16:10.671 --> 00:16:12.633 Ja, das sagt jetzt erstmal wenig. 00:16:12.633 --> 00:16:14.336 Das ist eine mathematische Gruppe. 00:16:14.336 --> 00:16:17.520 Das ist erstmal eine Ansammlung von Elementen, die man miteinander verknüpfen kann. 00:16:17.520 --> 00:16:21.924 Also man kann irgendwie, wenn man zwei Zöpfe hat, einen neuen Zopf draus machen. 00:16:21.924 --> 00:16:25.086 Und bei Zopf sollte man wirklich tatsächlich an so Haarzöpfe denken, 00:16:25.086 --> 00:16:28.219 die man so pflicht. Ja, also diese, diese, 00:16:29.430 --> 00:16:32.262 okay, vielleicht verknüpfen wir das erstmal mit, die Bilder miteinander. 00:16:32.372 --> 00:16:36.315 Das Bild, was Thomas gerade versucht hat zu erklären, mit diesen Robotern, 00:16:36.315 --> 00:16:39.488