WEBVTT NOTE PGD037 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.000 --> 00:00:04.470 Ja, hallo zusammen. Hier ist wieder Pi ist genau 3 mit der Nummer 37. 00:00:04.680 --> 00:00:08.330 37 ist eine Primzahl, oder? Ich glaube, 37 ist eine Primzahl. 00:00:09.944 --> 00:00:11.844 Gibt es sonst noch was Spannendes über 37 zu sagen? 00:00:12.822 --> 00:00:14.316 Ich habe mir jetzt nichts überlegt. 00:00:14.628 --> 00:00:18.643 Und ja, ich bin Thomas Kahle und Petra ist auch wieder mit dabei. 00:00:18.643 --> 00:00:21.110 Ja, genau. Petra Schwer hier auf der anderen Seite. 00:00:21.262 --> 00:00:23.482 Hallo Petra. Heute hast du das Thema vorbereitet. 00:00:23.482 --> 00:00:26.709 Genau. Ich habe heute ein Thema mitgebracht, ein mathematisches Thema heute. 00:00:27.303 --> 00:00:28.077 Haben wir 00:00:28.491 --> 00:00:29.661 nicht viele mathematische Themen? 00:00:29.661 --> 00:00:30.924 Wir haben viele mathematische Themen. 00:00:30.924 --> 00:00:32.056 Ich würde gerne so ein bisschen 00:00:32.488 --> 00:00:35.524 Erklärbär heute spielen und tatsächlich ein bisschen Inhalt erzählen. 00:00:35.735 --> 00:00:37.703 Und zwar zum Thema platonische Körper. 00:00:37.703 --> 00:00:40.281 Platonische Körper. Aha. Ich weiß, es gibt fünf. 00:00:40.281 --> 00:00:41.365 Genau, wollte ich gerade nämlich fragen, 00:00:41.365 --> 00:00:43.292 was fällt dir denn ein zum Thema platonische Körper? 00:00:43.292 --> 00:00:44.917 Es gibt genau fünf. Das ist eins. 00:00:44.917 --> 00:00:45.689 Es gibt fünf, ja. 00:00:45.727 --> 00:00:46.314 Fällt dir noch was ein? 00:00:46.314 --> 00:00:48.561 Und die, ähm, soll ich die jetzt sagen? 00:00:48.713 --> 00:00:49.778 Ist das jetzt wie ein bisschen Prüfung? 00:00:49.778 --> 00:00:50.278 Ja, 00:00:49.864 --> 00:00:51.335 sag mal die fünf, es ist Prüfung. 00:00:51.335 --> 00:00:52.635 Wir machen jetzt Prüfung. Also, lass mich mal kurz überlegen. 00:00:53.309 --> 00:00:55.837 Also, es gibt den Tetraeder. Genau. 00:00:56.502 --> 00:01:00.018 Ähm, es gibt, der ist, naja, Dualität kommst du bestimmt gleich noch drauf. 00:01:00.018 --> 00:01:01.331 Genau, das ist das einzige Thema, 00:01:01.331 --> 00:01:02.462 das ich auf meiner Liste habe hier. 00:01:02.462 --> 00:01:06.950 Dann gibt's den Oktaeder, den Ikosaeder und den Dodekaeder. 00:01:07.161 --> 00:01:09.483 Und diese 5 kommen in 3 Paaren. 00:01:09.534 --> 00:01:10.359 Genau, diese 5 kommen in 3 Paaren. 00:01:10.359 --> 00:01:12.557 Aber wie 5 3 Paare sind, erklärst du dann bestimmt gleich. 00:01:12.557 --> 00:01:13.413 Soll ich das gleich mal erklären? 00:01:13.413 --> 00:01:15.852 Ja. Ne, ich würde eigentlich tatsächlich gerne erstmal erklären, 00:01:15.852 --> 00:01:19.231 was platonische Körper sind. Also gesehen hat die bestimmt jeder schon mal, ne? 00:01:19.231 --> 00:01:21.370 Insbesondere den Würfel kennt jeder. 00:01:21.383 --> 00:01:23.993 Auch so ein Tetraeder hat jeder gesehen, das ist diese Pyramide, 00:01:23.993 --> 00:01:26.210 die mit Dreiecksbasis. 00:01:26.303 --> 00:01:27.306 Und auch so ein Oktaeder, 00:01:27.306 --> 00:01:30.357 mit dem kann man begriffsmäßig tatsächlich meistens am wenigsten anfangen, 00:01:30.357 --> 00:01:31.088 aber das sind 2. 00:01:31.822 --> 00:01:36.110 Pyramiden mit Quadratseite, die an der Quadratseite aneinandergeklebt sind. 00:01:36.110 --> 00:01:36.950 Genau. 00:01:37.422 --> 00:01:41.956 Genau. Allgemein muss man vielleicht erst mal sagen, was ein Polyeder ist. 00:01:41.956 --> 00:01:45.733 Also mathematisch kann man das grob beschreiben als Teilmenge des R hoch 3, 00:01:45.733 --> 00:01:46.981 die von flachen Seiten beschränkt ist. 00:01:46.981 --> 00:01:50.696 Und diese flachen Seiten haben die Form von gleichseitigen N-Ecken. 00:01:50.696 --> 00:01:52.956 Ja, so ein N-Eck, wo jede Kante genau die gleiche Länge hat. 00:01:52.956 --> 00:01:58.583 Mhm. Und, ähm, so ein Polyeder nennt man regulär, 00:01:58.583 --> 00:02:00.165 wenn alle Seiten gleich sind. 00:02:00.165 --> 00:02:02.667 Ja, also zum Beispiel alle Seiten sind gleichseitige Dreiecke, 00:02:02.667 --> 00:02:05.340 alle Seiten sind wie beim Würfel zum Beispiel Quadrate 00:02:05.770 --> 00:02:08.363 oder beim Dodekaeder Fünfecke. 00:02:09.254 --> 00:02:12.137 Und, ähm, was das noch regulär macht, braucht man zusätzlich, 00:02:12.137 --> 00:02:15.381 dass an jeder Ecke sich immer die gleiche Anzahl solcher Seiten trifft. 00:02:15.381 --> 00:02:20.555 Ja, also man klebt jetzt so zweidimensionale Polygonfiguren so zusammen, 00:02:20.555 --> 00:02:22.264 also man nimmt immer nur die gleichen. 00:02:22.264 --> 00:02:24.020 Genau, dann nimmt man Kopien von der gleichen Figur. 00:02:24.020 --> 00:02:26.206 Und die an jeder Ecke, 00:02:26.206 --> 00:02:27.749 also ich kleb die jetzt dreidimensional zusammen, 00:02:27.749 --> 00:02:29.523 ich bau mir die so wie aus Holz oder so, 00:02:29.674 --> 00:02:31.719 und an jeder Ecke sieht das immer gleich aus. 00:02:31.719 --> 00:02:35.042 Genau. Also jede Ecke ist eigentlich genau wie jede andere Ecke. 00:02:35.042 --> 00:02:35.303 Genau, 00:02:35.303 --> 00:02:37.591 also beim Würfel zum Beispiel sieht man es genauso, 00:02:37.591 --> 00:02:39.979 ne? Also beim Würfel sieht man es am einfachsten, finde ich. 00:02:39.979 --> 00:02:43.430 Ja, das sind 6 gleiche Seiten, 6 mal so ein Quadrat. 00:02:44.001 --> 00:02:45.815 Gleich groß auch, gleiche Kantenlänge. 00:02:45.926 --> 00:02:49.334 Die werden immer so zusammengeklebt, dass sie so rechte Winkel bilden an den Ecken. 00:02:49.334 --> 00:02:51.379 Und es treffen sich immer genau 3 Seiten an einer Ecke. 00:02:51.379 --> 00:02:54.566 Ja. Ja, genau. Und bei dem Tetraeder, 00:02:54.566 --> 00:03:00.619 also bei der Pyramide, sind es halt 4 Seiten, 4 mal das gleiche Dreieck sozusagen. 00:03:00.619 --> 00:03:01.666 4 mal ein Dreieck, ja. 00:03:01.666 --> 00:03:03.347 Und es treffen sich an jeder Ecke auch 3. 00:03:04.822 --> 00:03:06.316 Jetzt nicht mehr im rechten Winkel, 00:03:07.048 --> 00:03:11.169 sonst würde man irgendwie was Würfeliges produzieren, aber es treffen sich halt 3. 00:03:11.561 --> 00:03:14.366 Und was reicht, um diese regulären Polyeder zu charakterisieren, 00:03:14.366 --> 00:03:19.744 sind 2 Kennzahlen, nämlich welches N-Eck die Seiten sind 00:03:20.837 --> 00:03:23.130 und wie viele sich an einer Ecke treffen. 00:03:23.421 --> 00:03:24.065 Heißt das nicht, 00:03:24.065 --> 00:03:26.863 hat das nicht irgendwie so einen Namen, Schläfly, irgendwas mit Schläfly oder so? 00:03:26.863 --> 00:03:29.120 Genau, das gibt es noch allgemeiner, das heißt dann irgendwie Schläfly-Symbol. 00:03:29.120 --> 00:03:33.740 Ja. Also genau, was wir aber wirklich nur brauchen, sind diese zwei Parameter. 00:03:33.740 --> 00:03:36.256 Ja. Ganz simpel jetzt. 00:03:36.568 --> 00:03:40.942 Und jetzt möchte man halt erstmal wissen, wie viele reguläre Polyeder gibt es. 00:03:40.942 --> 00:03:46.389 Ja, kann ich mir, weiß ich jetzt nicht, warum es nur diese 5 sein können. 00:03:46.741 --> 00:03:48.267 Genau, also das muss man jetzt halt beweisen. 00:03:48.267 --> 00:03:50.737 Also 5 mindestens, das haben wir jetzt schon aufgezählt. 00:03:50.737 --> 00:03:51.601 Ja, 5 kennen wir ja schon, genau. 00:03:51.601 --> 00:03:56.052 Genau, man kann eben beweisen, dass es nur genau diese 5 gibt. 00:03:56.052 --> 00:03:58.297 Können wir entweder gleich über einen Beweis reden, wenn du Lust hast, 00:03:58.297 --> 00:03:59.841 oder wir reden erstmal über Dualität. 00:03:59.841 --> 00:04:02.226 Ich habe gerade überlegt über 2 Dimensionen. 00:04:02.226 --> 00:04:04.440 Also was ist jetzt in 2 Dimensionen? 00:04:04.590 --> 00:04:09.019 Wären das dann die regulären n-Ecke, alle regulären n-Ecke, so das Analogon davon? 00:04:09.019 --> 00:04:11.684 Genau, also für das Analogon… Analogon für Dimension 2. 00:04:11.684 --> 00:04:14.090 Wir reden auch nachher noch über höhere Dimensionen, ja. 00:04:14.090 --> 00:04:17.119 Aber okay, erstmal in kleineren Dimensionen, also in Dimension 2. 00:04:17.119 --> 00:04:18.786 Ja. Wären das halt einfach… 00:04:19.401 --> 00:04:21.546 Okay, da muss man nicht wirklich was verkleben, 00:04:21.546 --> 00:04:23.732 aber da könnte man sich halt fragen, 00:04:23.732 --> 00:04:27.030 die sind aus Kanten gleicher Länge zusammengesetzt. 00:04:27.324 --> 00:04:30.210 Und dann, da muss man es über die Innenwinkel machen. 00:04:30.284 --> 00:04:32.917 Ja, da müssen sich immer zwei treffen mit den Innenwinkeln. 00:04:32.917 --> 00:04:33.670 Okay. 00:04:33.766 --> 00:04:35.082 Dann hat man die regulären n-Ecke. 00:04:35.082 --> 00:04:38.087 Dann gibt es aber sozusagen für jedes n ja eins. 00:04:38.087 --> 00:04:38.742 Genau, da gibt es unendlich viele. 00:04:38.742 --> 00:04:42.076 Also gibt es unendlich viele. Und dann gibt es in drei Dimensionen nur noch fünf. 00:04:42.076 --> 00:04:43.210 Das ist ja schräg. 00:04:43.231 --> 00:04:46.206 Genau. Also das ist tatsächlich spannend. 00:04:46.206 --> 00:04:48.211 Also in Dimension 2 gibt es unendlich viele 00:04:48.211 --> 00:04:51.502 und in allen anderen Dimensionen gibt es nur endlich viele. 00:04:51.502 --> 00:04:53.447 Ja, und jetzt denke ich an dreidimensional. 00:04:53.447 --> 00:04:54.490 Und jetzt überlege ich – 00:04:54.490 --> 00:04:56.515 ich kann den Beweis nicht, ich will den natürlich wissen – 00:04:56.515 --> 00:04:58.442 aber ich versuche noch einmal kurz nachzudenken. 00:04:58.442 --> 00:05:03.163 Also es kommen jetzt vor bei dem Tetraeder Dreiecke, beim Würfel Vierecke, 00:05:03.395 --> 00:05:05.603 beim Dodekaeder Fünfecke. 00:05:05.603 --> 00:05:06.702 Genau, und sonst gibt es nichts. 00:05:06.702 --> 00:05:08.348 Und beim, also was haben wir noch, 00:05:08.348 --> 00:05:11.060 Oktaeder sind es auch Dreiecke und beim Ikosaeder auch Dreiecke. 00:05:11.060 --> 00:05:13.520 Genau. Also es gibt keinen mit 6-Ecks-Flächen. 00:05:13.520 --> 00:05:14.874 Nee. Ja, okay. 00:05:14.874 --> 00:05:18.426 Es gibt keinen mit anderen Flächen außer 3-, 4- oder 5-Ecke. 00:05:18.426 --> 00:05:19.115 Okay, na gut. 00:05:19.115 --> 00:05:21.480 Also das ist ein Ding, was aus dem Beweis rauspurzelt. 00:05:21.480 --> 00:05:25.216 Ja. Das ist schon mal sehr erstaunlich eigentlich. 00:05:25.467 --> 00:05:28.513 Genau. Für höhere Dimensionen muss man sich erstmal überlegen – 00:05:28.513 --> 00:05:30.498 vielleicht machen wir das später, weil da brauchen wir noch Eigenschaften, 00:05:30.498 --> 00:05:31.299 die wir noch nicht haben. Okay. 00:05:32.263 --> 00:05:33.267 Da muss man sich erstmal überlegen, 00:05:33.267 --> 00:05:36.910 was das höher dimensionale Analogon von so einem regulären Polyeder ist. 00:05:37.644 --> 00:05:38.146 Ja. 00:05:38.146 --> 00:05:39.412 Ja, da reden wir aber noch drüber. 00:05:39.412 --> 00:05:40.901 Ist nicht so schwer, aber kommen wir noch drauf. 00:05:40.901 --> 00:05:44.432 Okay. Genau. Da müssen wir noch mal über Symmetrie reden. 00:05:44.432 --> 00:05:47.250 Haben wir schon mal, aber müssen wir auch mal über Symmetrie reden. 00:05:47.421 --> 00:05:47.921 Okay. 00:05:48.205 --> 00:05:50.255 Okay, erstmal Dualität. 00:05:50.255 --> 00:05:51.430 Dualität, genau. 00:05:51.823 --> 00:05:53.214 Dualität heißt, die kommen in Paaren. 00:05:53.214 --> 00:05:53.678 Hast du schon gesagt. 00:05:53.678 --> 00:05:54.365 Ja, die kommen in Paaren, genau. 00:05:54.365 --> 00:05:58.522 Und es sind 5. Also das liegt daran, dass einer mit sich selbst dual ist. 00:05:58.522 --> 00:06:00.276 Und so wie ich mir die Paare vorstelle, 00:06:00.627 --> 00:06:06.270 ist die vertauschen die flachen Seiten mit den Ecken. 00:06:06.422 --> 00:06:07.908 Also wenn ich zum Beispiel, 00:06:07.908 --> 00:06:09.011 fangen wir mal an mit dem Würfel, 00:06:09.011 --> 00:06:11.670 den kann sich vielleicht jeder und jede vorstellen. 00:06:11.890 --> 00:06:14.963 Wenn ich jetzt irgendwie so eine geometrische Figur nehme, 00:06:14.963 --> 00:06:19.893 die statt jeder Ecke eine Fläche hat, eine Dreiecksfläche in diesem Fall, 00:06:19.893 --> 00:06:24.241 weil sich drei Seiten treffen an der Ecke und Und... 00:06:24.241 --> 00:06:27.716 statt jeder... Kanten werden wieder Kanten. 00:06:27.716 --> 00:06:29.533 Kanten werden Kanten, genau. Aber ein bisschen anders. 00:06:29.643 --> 00:06:33.601 Und die, was vorher die Flächen waren, werden jetzt Ecken. 00:06:33.711 --> 00:06:35.584 Und dann kriege ich eben diesen Dodekaeder, 00:06:35.655 --> 00:06:38.570 äh, nicht den Dodekaeder, den Oktaeder heraus. 00:06:38.782 --> 00:06:41.309 Man kann es sich tatsächlich grafisch versuchen vorzustellen. 00:06:41.309 --> 00:06:45.770 Also man nimmt sich so einen Würfel und malt in die Mitte jeder Seite einen Punkt. 00:06:46.381 --> 00:06:48.014 Das sind die neun Ecken. 00:06:48.205 --> 00:06:53.074 Und dann verbindet man zwei dieser neun Mittelpunkte genau dann, 00:06:53.074 --> 00:06:56.170 wenn die beiden Seiten sich an einer Kante treffen. 00:06:56.742 --> 00:07:01.879 Also die Oberseite vom Würfel trifft sich mit den vier Außenseiten. 00:07:02.310 --> 00:07:04.583 Also geht von dieser oberen Mittelpunkt, 00:07:04.653 --> 00:07:09.570 neun Ecke, vier Kanten weg zu jeder Seitenfläche. 00:07:09.905 --> 00:07:13.630 Und diese Seitenflächen sind wiederum mit der Bodenfläche verbunden. 00:07:14.041 --> 00:07:15.442 Mit dem Mittelpunkt der Bodenfläche. 00:07:15.442 --> 00:07:19.197 Und da sieht man schon, wie das diese beiden Pyramiden ergibt mit der Viereckseite. 00:07:19.548 --> 00:07:20.829 Ja, weil die vier Seiten, 00:07:20.829 --> 00:07:24.323 die sozusagen außen sitzen am Würfel, außenrum als Banderole, 00:07:24.774 --> 00:07:29.730 die sind meine, die liefern mir nachher meine Quadratgrundfläche von den Pyramiden. 00:07:30.221 --> 00:07:31.362 Die miteinander verklebt werden. 00:07:31.362 --> 00:07:34.146 Deshalb kriegt man da auch wirklich so optisch, 00:07:34.146 --> 00:07:36.339 sozusagen einer sitzt in dem anderen drin und die 00:07:36.870 --> 00:07:40.475 Mittelpunkte der Seiten liefern eben genau die Ecken des Neuen. 00:07:40.475 --> 00:07:42.558 Wenn man das iteriert, kommt dann auch wieder der Würfel raus, 00:07:42.558 --> 00:07:43.821 nur kleiner innen drin. 00:07:43.821 --> 00:07:46.777 Also eine Dualität ist ja was, was man, wenn man zweimal anwendet, ist es wieder, 00:07:47.108 --> 00:07:48.671 erwartet man zumindest nicht immer so, 00:07:48.671 --> 00:07:53.170 aber dass es dann wieder das Ursprüngliche rauskommt, zweimal dualisieren sollte. 00:07:53.407 --> 00:07:53.922 Nichts machen. 00:07:53.922 --> 00:07:54.905 Wenn man das so grafisch macht, 00:07:54.905 --> 00:07:56.430 wie ich das gerade erzählt habe mit den Mittelpunkten, 00:07:56.430 --> 00:07:58.878 wird der Würfel einfach nur verkleinert, in die Mitte reingeschrumpft sozusagen. 00:07:58.878 --> 00:07:59.304 Ja, ja, okay, 00:07:59.304 --> 00:08:01.774 da habe ich keine Probleme. Also komme ich, zoome ich ein bisschen rein. 00:08:01.774 --> 00:08:03.116 Zoomst du ein bisschen rein. 00:08:03.168 --> 00:08:05.281 Genau, beim Tetraeder kommt eben der Tetraeder wieder raus. 00:08:05.281 --> 00:08:09.477 Genau, da kommt der Tetraeder und dann Dodekaeder und Ikosaeder 00:08:09.688 --> 00:08:10.449 vertauschen sich, 00:08:10.449 --> 00:08:14.305 also die sind dual zueinander und dann kann man immer sozusagen abzählen, 00:08:14.536 --> 00:08:17.450 ich mag ja auch Kombinatorik, kann man immer abzählen, wie viele Ecken. 00:08:17.963 --> 00:08:20.996 Wie viele Kanten, wie viele Flächen und das wird dann auch vertauscht. 00:08:20.996 --> 00:08:25.927 Genau. Genau, da hat der, wie war das, der, so jetzt muss ich überlegen, 00:08:25.927 --> 00:08:31.680 der Ikosaeder, der hat Dreiecksflächen und dünnes Eis 20, ne der Ikosaeder. 00:08:31.680 --> 00:08:33.606 Es treffen sich immer 5 an jeder Ecke. 00:08:33.606 --> 00:08:37.928 Hat 20 Dreiecke, war so. Und der Dodekaeder hat 5. 00:08:39.040 --> 00:08:40.561 Ne, hat 12 Fünfecke oder irgend so was. 00:08:40.561 --> 00:08:43.493 Dode, das klingt doch irgendwie nach 12. 00:08:43.564 --> 00:08:48.367 Also 12 Fünfecke. Genau und Fünfecke, weil sich im 5-Treffen an den… 00:08:48.367 --> 00:08:52.630 Genau, bei dem Ikosaeder treffen sich 5 Dreiecke an jeder Ecke. 00:08:52.630 --> 00:08:55.793 Und bei dem Dodekaeder treffen sich 3 Fünfecke an jeder Ecke. 00:08:55.793 --> 00:08:57.354 Ah ja, genau, das ist auch diese Dualität. 00:08:57.354 --> 00:08:58.595 Genau, das ist auch die Dualität. 00:08:58.595 --> 00:09:01.277 Also wenn man über diese beiden Parameter nochmal nachdenkt, 00:09:01.277 --> 00:09:05.700 wo ich vorhin gesagt habe, N-Ecke als Seiten und es treffen sich… 00:09:05.700 --> 00:09:07.814 … also K-Stück an jeder Ecke. 00:09:08.044 --> 00:09:12.402 Dann hat man eben dieses N und das K, was das vollständig charakterisiert. 00:09:12.653 --> 00:09:16.550 Und dann hat man immer ein PNK und ein PKN. 00:09:16.601 --> 00:09:21.549 Also einen Polyeder, der durch NK bestimmt ist und einen, der durch KN bestimmt ist. 00:09:21.862 --> 00:09:25.452 Und der Tetraeder, der ist eben 3,3 und wenn man diese 3 mit der 3 vertauscht, 00:09:25.452 --> 00:09:26.384 kommt wieder 3,3 raus. 00:09:28.261 --> 00:09:29.173 Ok, sehr schön. 00:09:29.204 --> 00:09:30.668 Genau. Also hier ist die Dualität. 00:09:30.668 --> 00:09:35.250 Und das ist halt super schön, weil die halt so geschachtelt ineinander sitzen. 00:09:36.142 --> 00:09:39.750 Und hilft uns das jetzt, zu sehen, dass es nur die geben kann? 00:09:39.920 --> 00:09:42.944 Das hilft uns, diese Dualität hilft uns nicht. 00:09:42.944 --> 00:09:46.637 Die ploppt da sozusagen automatisch raus aus dem Beweis. 00:09:47.108 --> 00:09:50.652 Die Hauptzutat für den Beweis ist nämlich der sogenannte Euler'sche Polyeder-Satz. 00:09:50.652 --> 00:09:55.327 Das ist so eine Abzählform, wo man einfach die Ecken zählt, 00:09:55.678 --> 00:09:57.970 die Kanten zählt und die Flächen zählt. 00:09:58.241 --> 00:10:03.221 Und dann ausrechnet Anzahl Ecken minus Anzahl Kanten plus Anzahl Flächen ist 2. 00:10:03.221 --> 00:10:05.090 Da kommt 2 raus, genau. 00:10:05.182 --> 00:10:08.211 Genau. Man kann das noch allgemeiner fassen 00:10:08.211 --> 00:10:10.320 und kann damit auch so Flächen mit Löchern und so charakterisieren. 00:10:10.320 --> 00:10:12.347 Also den Torus mit einem Loch, 00:10:12.347 --> 00:10:16.023 der hat eine bestimmte, da kommt dann eine 0 raus, wenn man diese Formel ausrechnet. 00:10:16.023 --> 00:10:20.310 Oder andere Flächen mit mehr Löchern kommen eben andere Zahlen. 00:10:20.381 --> 00:10:23.569 Also es ist tatsächlich so eine topologische Invariante, die einem hilft, 00:10:23.569 --> 00:10:27.889 das zu charakterisieren. Und 2 bedeutet eben, es ist im Prinzip eine Kugel. 00:10:28.785 --> 00:10:29.659 Mhm, 00:10:29.691 --> 00:10:30.191 ja. 00:10:30.214 --> 00:10:31.490 Bis auf die Ecken. 00:10:33.001 --> 00:10:35.245 Genau. Und topologisch ist es eine Kugel. 00:10:35.245 --> 00:10:36.707 Ich stelle mir das immer so vor, 00:10:36.707 --> 00:10:38.030 man pustet da so ein bisschen Luft rein 00:10:38.030 --> 00:10:40.543 und dann kriegt man tatsächlich so eine Paketierung der Sphäre. 00:10:40.874 --> 00:10:44.541 Mit so sphärischen 5 Ecken und 3 Ecken und 4 Ecken. 00:10:44.541 --> 00:10:47.100 Ist ein bisschen krumm gebogen dann, zugegeben. 00:10:47.100 --> 00:10:50.137 Ok, also diesen Satz, den braucht man, 00:10:51.049 --> 00:10:52.552 den Eulerschen Polyeder-Satz, 00:10:52.552 --> 00:10:55.379 weil dann kann man nämlich abzählen, sozusagen, 00:10:55.379 --> 00:11:01.064 welche Konfigurationen an Ecken und Kanten da überhaupt auftreten können. 00:11:01.064 --> 00:11:03.147 Das ist eine kleine Rechnung, die will ich jetzt nicht hier reinpacken. 00:11:03.147 --> 00:11:03.587 Aha, 00:11:03.587 --> 00:11:04.578 aha, okay, ich 00:11:05.549 --> 00:11:07.431 starte, fange an zu erahnen. 00:11:07.431 --> 00:11:10.174 Also ich weiß, so noch ein platonischer Körper, den es noch, 00:11:10.174 --> 00:11:12.957 wenn es noch einen gibt, dann erfüllt er auch diese Formel. 00:11:12.957 --> 00:11:13.237 Genau, 00:11:13.237 --> 00:11:15.660 der muss stehen. Und dann stecke ich, setze ich in die Formel ein. 00:11:15.660 --> 00:11:18.661 Nein. Ja, nicht die Dualität, sondern diese Regelmäßigkeit. 00:11:18.661 --> 00:11:19.082 Genau, 00:11:19.082 --> 00:11:24.101 du setzt ein, dass du die Zusammenhänge kennst zwischen Anzahl Ecken, Anzahl Kanten. 00:11:24.101 --> 00:11:25.988 Weil wenn man jetzt anfängt, Flächen zu, 00:11:25.988 --> 00:11:29.338 Kanten und Ecken und Flächen zu zählen, hat man Sachen doppelt und dreifach gezählt. 00:11:29.338 --> 00:11:31.034 Ah, so doppelt, Double Counting. 00:11:31.034 --> 00:11:31.782 Hm, ja, okay. 00:11:31.782 --> 00:11:35.273 Genau, weil wenn ich jetzt die Ecken zähle, dann weiß ich automatisch schon, 00:11:35.273 --> 00:11:37.522 wie viele Kanten es insgesamt gibt. 00:11:37.522 --> 00:11:42.969 Ja, weil zwischen, also zwischen, also jede Kante sitzt an zwei Ecken. 00:11:44.061 --> 00:11:49.209 Ja, also wenn ich die Anzahl der Kanten kenne, weiß ich, wie viele Ecken es gibt. 00:11:50.045 --> 00:11:50.287 Ja, ja, 00:11:50.287 --> 00:11:51.777 bis auf, wie die sich nochmal treffen. 00:11:51.777 --> 00:11:52.476 Bis auf, wie die sich eben treffen. 00:11:52.476 --> 00:11:53.919 Das ist aber sozusagen auch nochmal irgendwo kodiert. 00:11:53.919 --> 00:11:55.457 Genau, aber das ist ja kodiert in den Seiten. 00:11:55.457 --> 00:11:56.810 In dieser Zahl, ja. 00:11:56.903 --> 00:12:00.204 In den N-Ecken der Seiten ist ja kodiert sozusagen, 00:12:00.214 --> 00:12:02.494 weil die alle immer das gleiche N haben, 00:12:02.886 --> 00:12:07.350 ist eben auch kodiert, dass man weiß, wie viel man überzählt hat. 00:12:07.941 --> 00:12:11.893 Und wenn man das sozusagen ausnutzt, dass man weiß, wie man doppelt zählt, 00:12:11.893 --> 00:12:14.290 wenn man Ecken, Kanten und Flächen zählt, 00:12:15.561 --> 00:12:17.172 kann man dann durch eben 00:12:17.262 --> 00:12:19.984 Einsetzen in diesen Eulerschen Polyedersatz ausrechnen, 00:12:19.984 --> 00:12:23.447 dass die einzigen Integerpaare n und k, 00:12:23.447 --> 00:12:29.511 die diesen Eulerschen Polyedersatz erfüllen, eben die Paare 3, 3, 3, 4, 00:12:29.511 --> 00:12:32.273 4, 3, 5, 3 und 3, 5 sind. 00:12:32.273 --> 00:12:34.595 Aha, ok. Und dann… Das ist Bruchrechnung. 00:12:34.595 --> 00:12:35.796 Also es ist wirklich nicht schwierig. 00:12:35.796 --> 00:12:38.348 Man muss da so ein bisschen ausmultiplizieren und Bruchrechnen. 00:12:39.439 --> 00:12:43.810 Ok. Und dann findet man… Eins und dann für jedes von diesen Paaren kann es… 00:12:43.810 --> 00:12:46.984 Ist es klar, dass es nur eins geben kann für jedes von diesen Paaren? 00:12:46.984 --> 00:12:49.983 Ja, eins bis auf Reskalieren der Seitenlänge. 00:12:49.983 --> 00:12:53.115 Ja, das ist ja genau. Das ist wieder Schlefli oder so. 00:12:53.115 --> 00:12:54.550 Das ist festgelegt dadurch. 00:12:55.081 --> 00:12:56.264 Genau. Also dieses Ding kann ich… 00:12:56.264 --> 00:12:57.005 Ich habe da halt… 00:12:57.005 --> 00:12:59.050 Also das muss man sich tatsächlich einmal noch überlegen, 00:12:59.050 --> 00:13:03.889 dass wenn man das baut im R hoch 3 konkret realisiert, dass es starr ist. 00:13:03.889 --> 00:13:06.842 Also dass man nicht… Ein reguläres N-Eck ist… 00:13:06.842 --> 00:13:10.916 Da habe ich keine Wahl, wenn ich mir die Kantenlänge festlege, wie das aussieht. 00:13:10.927 --> 00:13:13.079 Dann habe ich das N-Eck komplett bestimmt. 00:13:13.509 --> 00:13:16.753 Und dann ist eben durch dieses Verkleben der Anzahl an einer Ecke, 00:13:16.753 --> 00:13:19.786 es sind diese Innenwinkel starr und festgelegt. 00:13:19.876 --> 00:13:21.478 Das heißt, es kann kein zweites geben, 00:13:21.478 --> 00:13:24.010 was durch die gleichen Parameter bestimmt ist. 00:13:24.162 --> 00:13:26.840 Außer es ist einfach aufgebläht und die Seitenkantenlänge wird halt länger. 00:13:26.840 --> 00:13:27.340 Ja. 00:13:28.182 --> 00:13:34.246 Genau, das ist aber quasi dann ein bisschen neukletische Geometrie im R³. 00:13:34.417 --> 00:13:35.790 Das ist nicht schwierig. 00:13:37.084 --> 00:13:41.590 Ja, also soweit. Weißt du, warum die Dinger platonische Körper heißen? 00:13:41.784 --> 00:13:44.910 Naja, wird ja schon irgendwas mit Plato zu tun haben. 00:13:46.015 --> 00:13:46.983 Ja. Aber … 00:13:47.988 --> 00:13:49.207 Also die eigentliche Antwort ist nein. 00:13:50.301 --> 00:13:51.083 Ich wusste es auch nicht. 00:13:51.083 --> 00:13:53.487 Ich habe es aber gegoogelt, weil ich mir dachte, es ist irgendwie doof, 00:13:53.487 --> 00:13:54.990 wenn wir darüber reden und ich nicht sagen kann, 00:13:54.990 --> 00:13:57.043 warum diese Dinger platonische Körper heißen. 00:13:57.174 --> 00:14:00.590 Also Plato hat irgendeine Arbeit geschrieben, wo er darüber geschrieben hat. 00:14:01.603 --> 00:14:03.694 War aber anscheinend nicht der erste, der die entdeckt hat. 00:14:03.694 --> 00:14:04.500 Ich will jetzt auch gar nicht lange. 00:14:04.500 --> 00:14:07.345 Aber weißt du, wie rekonstruiert man denn sowas? 00:14:07.345 --> 00:14:09.458 Also er hat so eine Arbeit darüber geschrieben, 00:14:10.771 --> 00:14:13.896 also da gibt es dann irgendwelche Abschriften aus dem Mittelalter, 00:14:13.896 --> 00:14:16.060 die es abgeschrieben haben, aus der Bibliothek von Alexandria. 00:14:16.060 --> 00:14:20.005 Und die haben es abgeschrieben von einer Papyrusrolle und dann denkt man, 00:14:20.197 --> 00:14:21.922 ah ja, Plato. Aber das könnte ja, 00:14:21.922 --> 00:14:24.826 ich denke dann immer so 1000 Jahre, 2000 Jahre, 00:14:24.826 --> 00:14:27.240 37 Mal abgeschrieben, Bibliothek abgebrannt und so, 00:14:27.270 --> 00:14:30.496 dass es dann auch einfach so wie, einfach alles Plato zugeschrieben wird. 00:14:30.496 --> 00:14:33.061 Alles, was irgendwie an Weisheit rauskam, das war bestimmt Plato. 00:14:33.061 --> 00:14:34.480 So ungefähr. 00:14:34.512 --> 00:14:35.467 Alles war Euclid. 00:14:36.365 --> 00:14:40.009 Ja, okay, aber das ist schon okay, so wie er seinen Ruhm kriegen ist. 00:14:40.242 --> 00:14:42.993 Nein, nein, das ist okay, aber ja, das ist glaube ich gar nicht so einfach, 00:14:42.993 --> 00:14:44.960 aber da gibt es halt so Geschichtswissenschaftler. 00:14:44.960 --> 00:14:48.555 Die dann sich besser mit so alter Dokumentensuche auskennen. 00:14:48.585 --> 00:14:52.030 Was man wusste und das fand ich wiederum sehr erstaunlich, 00:14:52.030 --> 00:14:55.364 man hat bei irgendwelchen Ausgrabungen in Italien bei Padua 00:14:56.516 --> 00:14:59.470 Dodekaeder gefunden aus der Etrusker Zeit. 00:15:00.883 --> 00:15:03.084 Genau, die Etrusker waren vor den Römern. 00:15:03.084 --> 00:15:03.915 Die waren vorher, 00:15:03.915 --> 00:15:04.550 ja. 00:15:04.827 --> 00:15:05.697 Jedenfalls. So 500 vor Christus. 00:15:06.426 --> 00:15:07.100 Die waren auch vor Plato. 00:15:07.100 --> 00:15:11.309 Also Plato war so 430 vor Christus, ist der geboren anscheinend. 00:15:11.445 --> 00:15:13.416 Und Etrusker waren so 500 vor Christus. 00:15:13.416 --> 00:15:15.999 Also die kannten zumindest manche der platonischen Körper. 00:15:15.999 --> 00:15:18.562 Also die Frage ist sozusagen, genau, was ist jetzt die Leistung? 00:15:18.562 --> 00:15:22.015 Die Leistung ist doch eigentlich der Beweis, dass es nur die 5 gibt, 00:15:22.015 --> 00:15:24.220 weil erst dann ist es irgendwie ausgezeichnet. 00:15:24.220 --> 00:15:26.330 Ansonsten hat man ja, okay, ich habe hier so ein schönes Objekt, 00:15:26.330 --> 00:15:28.810 was irgendwie schön symmetrisch ist, konstruiert. 00:15:29.463 --> 00:15:31.993 Genau, also bei den Ägyptern, da weiß man auch, dass sie 3 davon kannten, 00:15:31.993 --> 00:15:33.420 weil man da halt Zeichnungen von gefunden hat. 00:15:33.420 --> 00:15:34.950 Ja, Würfel, Quader, 00:15:34.950 --> 00:15:36.949 dann kommst du ja ziemlich schnell zum Würfel. 00:15:38.041 --> 00:15:42.648 Genau und ja, die Leistung ist halt zu sagen, es gibt genau diese 5 zum einen. 00:15:42.648 --> 00:15:45.412 Was lustig bei Platon noch, weil da komme ich nachher nochmal drauf zurück, 00:15:45.412 --> 00:15:47.204 der hat diese einzelnen Dinger dann 00:15:48.897 --> 00:15:50.399 den Naturbausteinen zugeordnet. 00:15:50.399 --> 00:15:51.045 Stimmt, 00:15:51.045 --> 00:15:53.441 da gibt es noch eins ist Feuer und eins ist Wasser oder so? 00:15:53.441 --> 00:15:54.485 Genau, ich habe mir das mal aufgeschrieben. 00:15:54.485 --> 00:15:56.270 Feuer ist der Tetraeder, Erde ist Würfel. 00:15:56.270 --> 00:15:57.394 Ah, welches ist dein Lieblingsding? 00:15:57.394 --> 00:15:58.840 Dann kann ich dir sagen, zu was das korrespondiert. 00:15:58.840 --> 00:16:00.500 Dodekaeder. Dodekaeder ist der Kosmos. 00:16:00.500 --> 00:16:01.464 Der Kosmos. 00:16:02.102 --> 00:16:05.281 Ich habe die irgendwie 3D gedruckt irgendwo rumliegen, aber… 00:16:05.914 --> 00:16:07.258 Also ich finde den Ikosaeder ja am schönsten. 00:16:07.258 --> 00:16:07.833 Ja, die... 00:16:10.546 --> 00:16:11.910 Der ist Wasser. So, warte, was gibt's noch? 00:16:12.145 --> 00:16:14.275 Also Ikosaeder ist Wasser und Oktaeder ist Luft. 00:16:14.275 --> 00:16:14.818 Den hatte ich auch noch nicht. 00:16:14.818 --> 00:16:15.682 Oktaeder ist Luft. 00:16:15.682 --> 00:16:17.067 Genau. Und damals ist man eben ausgegangen, 00:16:17.067 --> 00:16:19.758 dass die ganze physikalische Realität aus diesen fünf Bausteinen besteht. 00:16:19.758 --> 00:16:20.258 Ja. 00:16:20.862 --> 00:16:22.404 Also ich weiß nicht, die Einsicht, würde ich sagen, 00:16:22.404 --> 00:16:26.410 die schwierigste Einsicht ist irgendwie diese Konzeptionalisierung. 00:16:26.410 --> 00:16:30.455 Also erstmal darauf zu kommen, dass man da was beweisen kann. 00:16:30.455 --> 00:16:34.010 Also so die… auf die Idee zu kommen… 00:16:34.560 --> 00:16:37.423 …dass es da nur endlich viele von irgendwas Bestimmten gibt und dann 00:16:37.423 --> 00:16:39.164 das Bestimmte auszudrücken. 00:16:39.164 --> 00:16:43.167 Also was ist es denn, was wir eigentlich jetzt von diesen Objekten… 00:16:43.167 --> 00:16:47.080 …wollen. …wollen. Und warum sind die besonders? 00:16:47.311 --> 00:16:48.952 Ja, das ist ja genau der Punkt, wieso ich vorhin gesagt habe, 00:16:48.952 --> 00:16:49.973 wir müssen uns erstmal überlegen, 00:16:49.973 --> 00:16:52.905 was das höherdimensionale Analogon davon eigentlich sein soll. 00:16:53.296 --> 00:16:55.357 Genau, jetzt hätte ich jetzt keine Ahnung. 00:16:55.357 --> 00:16:58.550 Also ein vierdimensionales Polyeder, was irgendwie… 00:16:59.041 --> 00:17:04.130 Wo jede dreidimensionale Seite also erstmal gleich ist wahrscheinlich. 00:17:04.541 --> 00:17:06.205 Ja, man kann so rekursiv anfangen. 00:17:06.205 --> 00:17:07.427 Man kann es mal viel einfacher sagen, 00:17:07.427 --> 00:17:09.371 wenn man eine besondere Eigenschaft noch benutzt, 00:17:09.371 --> 00:17:11.504 die wir noch nicht angesprochen haben, nämlich, 00:17:12.156 --> 00:17:13.919 dass diese Dinger extrem symmetrisch sind. 00:17:13.919 --> 00:17:14.419 Ja. 00:17:15.362 --> 00:17:16.665 Und zwar kann man folgendes machen, 00:17:16.665 --> 00:17:19.031 wenn man sich eine Kette vorgibt von einer Ecke, 00:17:19.031 --> 00:17:22.139 die in einer Kante enthalten ist, die in einer Seite enthalten ist. 00:17:22.139 --> 00:17:22.639 Ja. 00:17:22.642 --> 00:17:23.347 Ja, 00:17:23.347 --> 00:17:24.733 so ein Ding nennt man Fahne. Ja. 00:17:27.744 --> 00:17:31.735 Eine solche Fahne kann man auf eine beliebige andere gewählte Fahne abbilden. 00:17:31.735 --> 00:17:33.521 Jede Fahne ist sogar gleich, genau. 00:17:33.521 --> 00:17:34.752