WEBVTT NOTE PGD038 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.301 --> 00:00:05.791 Ja, herzlich willkommen, liebe Menschen da draußen zu Nummer 38 von Pi ist genau 3. 00:00:05.791 --> 00:00:08.226 Wie immer ist hier Petra Schwer und mein Co-Host 00:00:08.577 --> 00:00:10.082 Thomas Kahle. Hallo Petra. 00:00:10.082 --> 00:00:11.334 Hi Thomas. Na? 00:00:12.227 --> 00:00:13.410 So, ich bin dran. 00:00:13.410 --> 00:00:14.493 Du hast ein Thema mitgebracht heute. 00:00:14.493 --> 00:00:17.310 Genau. Und mein Thema... 00:00:18.141 --> 00:00:20.196 Ich gebe es noch nicht gleich weg, 00:00:20.367 --> 00:00:22.112 sondern ich sage dir erstmal die Definition von dem Thema 00:00:22.112 --> 00:00:24.658 und du musst sagen, was das Thema ist, ob du es erkennst. 00:00:24.658 --> 00:00:27.474 Absolut. An der Definition wirst du bestimmt nicht, aber vielleicht doch. 00:00:27.925 --> 00:00:31.159 Also das Thema ist total angeordnet, 00:00:32.311 --> 00:00:34.424 hat die dedekentrische Schnitteigenschaft, 00:00:34.975 --> 00:00:38.410 eine absehbare dichte Teilmenge und ist unbeschränkt. 00:00:39.269 --> 00:00:39.896 Das erkenne ich nicht. 00:00:39.896 --> 00:00:42.096 Was ist unser Thema? 00:00:42.187 --> 00:00:47.327 Frage ich eine kombinatorische Algebraikerin mit geometrischen Interessen. 00:00:47.327 --> 00:00:47.731 Sag mal, 00:00:47.731 --> 00:00:48.542 rück mal raus. 00:00:48.542 --> 00:00:52.953 Also unser Thema heute ist das Kontinuum. 00:00:52.953 --> 00:00:54.698 Lass uns mal alles über das Kontinuum besprechen. 00:00:54.698 --> 00:00:56.882 Gibt's das? Leben wir in einem? 00:00:56.882 --> 00:00:58.044 Oh, naja. 00:00:58.044 --> 00:00:59.322 Die wichtigen Fragen. 00:01:00.882 --> 00:01:04.250 Genau. Meine Definition eben war eine Definition aus der Mitte des 20. 00:01:04.250 --> 00:01:05.383 Jahrhunderts von 00:01:06.356 --> 00:01:08.684 Raymond Wilder. Okay. 00:01:09.462 --> 00:01:13.870 Und der hat halt versucht zu definieren mit diesen vier Eigenschaften, 00:01:13.870 --> 00:01:15.443 die wir gleich nochmal ein bisschen besprechen können, 00:01:16.015 --> 00:01:18.921 was bedeutet das, was ein Kontinuum ist. 00:01:18.921 --> 00:01:20.033 Aber was würdest du denn 00:01:20.444 --> 00:01:24.363 so aus dem Bauch heraus vielleicht jetzt ohne große mathematische 00:01:25.215 --> 00:01:27.309 Präzision sagen, was ein Kontinuum ist? 00:01:27.504 --> 00:01:30.102 Etwas, das immer weiter geht und nie aufhört. 00:01:30.102 --> 00:01:31.606 Immer weiter geht und nie aufhört, genau. 00:01:31.606 --> 00:01:35.266 Das ist also Eigenschaft 4. Es ist unbeschränkt. 00:01:35.377 --> 00:01:36.140 Also es geht irgendwie immer weiter. 00:01:36.140 --> 00:01:36.659 Es hat auch keine Löcher so. 00:01:38.346 --> 00:01:40.130 Genau, es hat keine Löcher. 00:01:40.602 --> 00:01:41.087 So ohne 00:01:41.087 --> 00:01:43.346 Anfang und ohne Ende. Ja, genau. 00:01:43.346 --> 00:01:47.461 Was heißt keine Löcher? Also es besteht zum Beispiel nicht aus zwei Teilen oder so. 00:01:47.461 --> 00:01:49.145 Ne, genau. Es besteht nicht aus zwei Teilen. 00:01:49.145 --> 00:01:50.688 Du kannst auch sozusagen, 00:01:50.688 --> 00:01:53.233 wenn du irgendwie das mikroskopisch kleine Partikelchen bist, 00:01:53.233 --> 00:01:56.563 das sich da drin herumbewegt, stößt du nie an eine Grenze. 00:01:56.563 --> 00:02:00.062 Ja. Also es hat auch keine mikroskopisch kleinen Löcher. 00:02:00.062 --> 00:02:04.310 Ne, genau. Also es ist sozusagen voll zusammenhängend. 00:02:05.240 --> 00:02:07.458 Wegzusammenhängend, würde ich tatsächlich sagen. 00:02:07.509 --> 00:02:10.304 Also du kannst da drin herumlaufen und alle Plätze erreichen. 00:02:10.304 --> 00:02:12.486 Aber dieses Herumlaufen, das könnte ich ja... 00:02:13.063 --> 00:02:13.524 Könntest du auch, 00:02:13.524 --> 00:02:17.002 wenn es höher dimensional wäre, könntest du es natürlich auch, wenn es Löcher hätte. 00:02:17.002 --> 00:02:20.408 Wenn ich zum Beispiel so Schritte, aber wenn ich so Schritte machen würde... 00:02:20.408 --> 00:02:22.031 Also irgendwie... Es muss irgendwie noch so... 00:02:22.031 --> 00:02:23.150 Ich muss rollen, ja. Ja, du rollst. 00:02:23.150 --> 00:02:27.073 Aber jetzt definierst du kontinuierlich, Kontinuum mit kontinuierlich oder so, ja. 00:02:27.073 --> 00:02:29.410 Da muss man aufpassen. 00:02:30.441 --> 00:02:31.365 Also die anderen Sachen... 00:02:31.365 --> 00:02:33.894 Also wenn man so einen Stift nimmt und anfängt das zu zeichnen, 00:02:33.894 --> 00:02:35.309 dann setzt man nie ab, ne? 00:02:35.821 --> 00:02:38.489 Genau, also wenn du einen Stift nimmst 00:02:38.489 --> 00:02:41.437 und eine Linie aufs Blatt malst mit deinem Stift, dann würdest du sagen, 00:02:41.437 --> 00:02:42.544 die ist kontinuierlich. 00:02:42.544 --> 00:02:44.421 Nein, weil die hat ja einen Anfang, das ist das Problem. 00:02:44.421 --> 00:02:44.782 Ah ja genau, 00:02:44.782 --> 00:02:45.705 wenn die unbeschränkt wäre, 00:02:45.705 --> 00:02:50.017 also wenn du wirklich ganz ganz links anfangen würdest und bis ganz ganz rechts, 00:02:50.017 --> 00:02:50.909 so wirklich, dass du... 00:02:51.244 --> 00:02:53.714 Ja oder ich setze zwei Stifte am selben Punkt in der Mitte an 00:02:53.714 --> 00:02:54.739 und gehe in zwei Richtungen, 00:02:54.739 --> 00:02:58.095 ne? Ja genau und wenn du dann ohne dich lang gemalt hast, 00:02:58.095 --> 00:02:59.729 hast du es kontinuum gemalt. Genau, 00:02:59.729 --> 00:03:00.384 so ungefähr. 00:03:00.384 --> 00:03:01.960 Okay, das ist also das Bild vom Kontinuum. 00:03:01.960 --> 00:03:02.460 Ja. 00:03:03.507 --> 00:03:04.624 Okay und diese… 00:03:05.044 --> 00:03:08.258 Hat auch viel zu tun mit dieser Schuldefinition von Stetigkeit, ne? 00:03:08.258 --> 00:03:12.549 Dass man es mit einem Stift durchzeichnen kann. 00:03:12.844 --> 00:03:17.470 Genau. Also was hier noch für Eigenschaften waren, war die Anordnung. 00:03:17.788 --> 00:03:19.120 Also es gibt irgendwie so… Reihenfolge. 00:03:19.120 --> 00:03:20.886 Es gibt so Reihenfolge, ja. 00:03:20.886 --> 00:03:25.710 Links, also eine totale Anordnung, links und rechts sozusagen in deinem Bild. 00:03:26.200 --> 00:03:28.584 Und dann gibt es die Dedekinsche Schnitteigenschaft. 00:03:28.584 --> 00:03:29.755 Das ist so eine… 00:03:31.749 --> 00:03:34.162 das Fehlen von diesen infinitesimalen Löchern. 00:03:34.613 --> 00:03:37.858 Und das kann man sich so vergegenwärtigen. 00:03:37.858 --> 00:03:38.912 Also wenn ich jetzt die… Ähm... 00:03:41.221 --> 00:03:43.476 Linke Hälfte und die rechte Hälfte nehme. 00:03:43.487 --> 00:03:46.263 Nicht Hälfte, einen linken Teil und einen rechten Teil an irgendeiner Stelle. 00:03:46.354 --> 00:03:47.497 Also ich schneide deine Linie einfach… 00:03:47.497 --> 00:03:48.445 ich schneide die durch. 00:03:48.445 --> 00:03:49.694 Also nimmst du dir so einen Punkt, okay? 00:03:49.694 --> 00:03:50.816 Schneidest du durch? Ja, ich nehme so… 00:03:50.970 --> 00:03:51.877 ich weiß ja noch nicht, was ein Punkt ist. 00:03:51.877 --> 00:03:55.436 Ah, okay. Ja, aber ich nehme mein Kontinuum, meine Linie und schneide die durch. 00:03:55.687 --> 00:04:00.717 Und dann gibt es immer sozusagen einer von den Teilen, der… 00:04:00.717 --> 00:04:04.881 also entweder der… So stellen wir uns jetzt links als klein vor und rechts als groß. 00:04:04.881 --> 00:04:06.953 Okay. Angeordnet ist es ja schon. 00:04:06.953 --> 00:04:10.330 Das wissen wir schon. Ja, deswegen wissen wir schon, dass es kleine und große gibt. 00:04:10.403 --> 00:04:12.149 Und das teile ich jetzt so, 00:04:12.149 --> 00:04:15.383 dass der eine Teil immer aus kleineren besteht als der andere. 00:04:15.383 --> 00:04:19.370 Dann ist entweder von dem kleineren Teil der rechte Endpunkt dabei. 00:04:19.572 --> 00:04:20.024 Okay. 00:04:20.024 --> 00:04:23.150 In der Menge. Oder von dem größeren Teil der linke Endpunkt. 00:04:23.421 --> 00:04:25.215 Also ich kann es nicht so durchschneiden, 00:04:25.466 --> 00:04:30.819 dass der Schnittpunkt nicht in einem von den beiden dabei ist. 00:04:30.819 --> 00:04:35.065 Okay. Also eins von den beiden hat sozusagen ein kleinstes Element 00:04:35.116 --> 00:04:37.611 oder ein größtes Element. Und 00:04:38.683 --> 00:04:44.743 dann soll es noch separabel sein, dass es eine abzählbare Menge hat. 00:04:45.014 --> 00:04:48.750 Also so eine, die genauso viel wie die natürlichen Zahlen hat. 00:04:48.953 --> 00:04:52.974 die aber dicht drin liegt. 00:04:53.725 --> 00:04:55.407 Und dicht bedeutet jetzt so, 00:04:55.407 --> 00:04:57.900 dass man halt beliebig nah rankommen kann 00:04:58.431 --> 00:05:01.335 an so einen Punkt von dieser speziellen Menge. 00:05:01.335 --> 00:05:03.778 Also wenn du dich irgendwo umguckst, dann findest du immer welchen Manel. 00:05:03.778 --> 00:05:04.639 Findest du immer ganz nah dran. 00:05:04.639 --> 00:05:05.139 daran. 00:05:06.182 --> 00:05:09.725 Einen von diesen eigentlich ganz wenigen, nur abzählbar vielen 00:05:10.298 --> 00:05:12.392 Punkten. Aber woher weißt du denn schon, dass das überabzählbar viele... 00:05:12.392 --> 00:05:13.297 hattest du das gesagt als einer der... 00:05:13.297 --> 00:05:13.797 Nee, 00:05:13.361 --> 00:05:14.494 das hab ich noch nicht gesagt. 00:05:14.705 --> 00:05:16.711 Aber jetzt sag ich's, weil die charakterisieren, 00:05:16.711 --> 00:05:19.750 die vier Eigenschaften charakterisieren dann auch die reellen Zahlen. 00:05:20.307 --> 00:05:21.140 Also die reellen Zahlen... 00:05:21.140 --> 00:05:23.721 Aber wo kriegt man da jetzt die Überabzählbarkeit her? 00:05:24.094 --> 00:05:25.400 Von diesen Eigenschaften? 00:05:25.400 --> 00:05:28.530 Hmm... Ähm... 00:05:31.027 --> 00:05:32.308 Bestimmt aus der Schnitteigenschaft. 00:05:32.582 --> 00:05:33.483 Ähm... 00:05:35.221 --> 00:05:39.329 Sorry. War zu naheliegend die Frage gerade, aber ja. 00:05:40.182 --> 00:05:45.266 Ja, genau. Also das ist sozusagen die Konstruktion der reellen Zahlen. 00:05:45.266 --> 00:05:47.004 Hast du eine Vorstellung von den reellen Zahlen? 00:05:47.076 --> 00:05:48.265 Also... Naja, 00:05:48.265 --> 00:05:51.889 abgesehen von dieser naiven Zahlenstrahlvorstellung, ne? 00:05:52.181 --> 00:05:53.675 Ja, aber wie eine Linie, ja? 00:05:53.867 --> 00:05:58.002 Die haben ja schon sozusagen seltsame Eigenschaften, die reellen Zahlen. 00:05:58.002 --> 00:05:59.948 Schon wie so eine Linie. Ja, klar. 00:05:59.948 --> 00:06:02.636 Also die sind ehrlich gesagt ziemlich komisch, die reellen Zahlen, 00:06:02.636 --> 00:06:04.163 wenn man da länger drüber nachdenkt. 00:06:04.163 --> 00:06:08.141 Wir können uns ja mal versuchen, so ein bisschen den Unterschied zwischen Q und R... 00:06:08.141 --> 00:06:11.670 ... zu überlegen. Also die Q, ich spreche wieder im Code. 00:06:11.670 --> 00:06:15.283 Also den Unterschied zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen. 00:06:15.283 --> 00:06:17.718 Ja, also rationale Zahlen, sollen wir vielleicht auch einmal noch dazu sagen. 00:06:17.718 --> 00:06:19.629 Ja, die rationalen Zahlen, also die Brüche. 00:06:19.629 --> 00:06:22.841 Und die sind jetzt quasi das Gegenstück. 00:06:22.841 --> 00:06:25.237 Die sind ja nicht kontinuierlich. 00:06:25.288 --> 00:06:26.531 Aber nur die rationalen Zahlen, 00:06:26.531 --> 00:06:29.461 die bilden eben kein Kontinuum oder würdest du sagen, die bilden auch ein Kontinuum? 00:06:29.461 --> 00:06:31.266 Ne, aber die sind Teil des Kontinuums. 00:06:31.266 --> 00:06:34.033 Also wenn man es wirklich im Sinne von Zahlen nimmt, 00:06:34.033 --> 00:06:35.657 dann sind die ja Teil der reellen Zahlen. 00:06:35.657 --> 00:06:36.198 Also Teil des Kontinuums. 00:06:36.198 --> 00:06:37.705 Aber wenn du die reelle Linie malen willst, 00:06:37.705 --> 00:06:40.234 dann nimmst du einfach deinen Stift und ziehst den durch. 00:06:40.234 --> 00:06:41.177 Und dann hast du ein Kontinuum. 00:06:41.177 --> 00:06:42.982 Und wenn du jetzt aber... Rationalen. 00:06:42.982 --> 00:06:45.420 Hast du wieder zu viel Zeit, aber du sollst alle rationalen Zahlen markieren. 00:06:45.420 --> 00:06:49.514 Viel Spaß. Dann würdest du wahrscheinlich eher den Bleistift erstmal ziemlich oft 00:06:49.514 --> 00:06:52.061 anspitzen, damit du diese ganzen kleinen feinen Pünktchen machen kannst. 00:06:52.061 --> 00:06:55.050 Aber eigentlich würdest du die ganze Zeit Pünktchen machen, oder? 00:06:55.833 --> 00:06:56.262 Ja. 00:06:56.262 --> 00:06:58.520 Würdest du vielleicht erstmal die natürlichen Zahlen alle markieren 00:06:58.873 --> 00:07:00.453 und dann danach alle die durch 2. 00:07:01.320 --> 00:07:02.257 Ich glaube, ich würde es gar nicht. 00:07:02.257 --> 00:07:02.674 Ich glaube, ich würde es gar nicht. 00:07:02.674 --> 00:07:02.994 Und dann alle die durch 3. 00:07:02.994 --> 00:07:05.690 Ja. Ja. Geht nicht so richtig. 00:07:05.942 --> 00:07:06.653 Na, wieso, 00:07:08.527 --> 00:07:09.449 wenn du eine reelle Zahl, 00:07:09.449 --> 00:07:11.513 also hast du wirklich alle reellen Zahlen markiert, 00:07:11.513 --> 00:07:14.302 wenn du so eine Bleistiftlinie gezogen hast? 00:07:14.302 --> 00:07:17.656 Naja, also mit dieser Abrieb hat sich ja auch Lücken, 00:07:17.656 --> 00:07:18.439 wenn man ganz genau im Mikroskop schaut. 00:07:18.439 --> 00:07:19.848 Aber das ist diese Dichteiseigenschaft, ja? 00:07:19.848 --> 00:07:23.363 Also du sagst, das geht nicht, das ist irgendwie kein guter Plan. 00:07:23.363 --> 00:07:26.534 Ja, das kannst du nicht, weil du halt nicht genug weglassen kannst, ne? 00:07:26.534 --> 00:07:28.590 Weil sozusagen an jedem... 00:07:28.740 --> 00:07:32.968 Punkt des durchgezogenen Strichs beliebig nah einer dran ist von diesen 00:07:32.968 --> 00:07:33.929 Rationalen, ja? 00:07:33.929 --> 00:07:36.293 Das heißt, du müsstest alles vollmalen mit Pünktchen, 00:07:36.293 --> 00:07:37.916 weil die ja auch eine gewisse Breite haben 00:07:37.916 --> 00:07:40.243 und du das gar nicht so genau zeichnen kannst. 00:07:40.243 --> 00:07:43.438 Aber jetzt können wir doch, wir hatten schon mal eine Folge über Unendlich, oder? 00:07:43.438 --> 00:07:48.132 Ja, hatten wir. Jetzt reden wir aber trotzdem nochmal ein bisschen über Unendlich. 00:07:48.132 --> 00:07:51.050 Ich würde sozusagen dir entgegenhalten, dass... 00:07:51.262 --> 00:07:53.086 Die rationalen Zahlen sind ja eigentlich fast 00:07:53.086 --> 00:07:55.502 gar keine im Vergleich zu diesen reellen Zahlen. 00:07:55.553 --> 00:07:58.650 Weil du kannst sie einfach, wenn du die natürlichen Zahlen... 00:07:58.940 --> 00:08:00.962 ...einzeichnen kannst, und das kannst du ja offensichtlich, 00:08:00.962 --> 00:08:05.466 wenn du genug Zeit hast, dann kannst du auch die rationalen Zahlen... 00:08:05.466 --> 00:08:07.087 Das Problem ist, wie die da drin liegen. 00:08:07.087 --> 00:08:08.368 Das ist ein anderes Problem. 00:08:08.368 --> 00:08:09.439 Also du kannst die, 00:08:09.529 --> 00:08:10.890 wo ich dir absolut zustimmen würde, ist, 00:08:10.890 --> 00:08:13.292 du kannst die rationalen Zahlen genauso aufschreiben, 00:08:13.292 --> 00:08:15.174 wie du die natürlichen Zahlen aufschreibst. 00:08:15.174 --> 00:08:16.415 Es sind gleich viele. 00:08:16.415 --> 00:08:17.436 Genau, es sind gleich viele. 00:08:17.436 --> 00:08:20.639 Das hatten wir tatsächlich einmal gemacht, auch in der Unendlich-Folge, 00:08:20.639 --> 00:08:22.220 wo wir erklärt haben, warum das gleich viele sind. 00:08:22.220 --> 00:08:22.401 sind. 00:08:22.401 --> 00:08:23.366 Ja, können wir nochmal planen. 00:08:23.366 --> 00:08:26.040 Also wenn ihr das wissen wollt, hört doch nochmal diese Folge. 00:08:26.040 --> 00:08:28.633 Genau, also das erklären wir jetzt nicht nochmal. 00:08:28.923 --> 00:08:32.527 Aber die hinzuzeichnen ist ja dann nochmal was anderes, 00:08:32.527 --> 00:08:36.111 weil das Problem ist halt, dass die natürlichen Zahlen in dem Kontinuum, 00:08:36.111 --> 00:08:38.454 also in den reellen Zahlen alle äquidistant sind. 00:08:38.454 --> 00:08:40.556 Die Abstände sind gleich, da musst du dir nur einmal überlegen, 00:08:40.556 --> 00:08:44.110 dass du den größer machst, als dein Bleistift dick ist gerade. 00:08:44.520 --> 00:08:47.792 Du musst ihn auch nicht mal spitzen, sondern die nur weit genug wegzeichnen. 00:08:48.083 --> 00:08:50.805 Und das Dumme ist halt, dass diese Anordnung, 00:08:50.805 --> 00:08:54.247 die rationalen Zahlen, obwohl es gleich viele sind, 00:08:54.247 --> 00:09:00.112 viel seltsamer da reinverteilt in die reellen Zahlen als die natürlichen Zahlen. 00:09:00.112 --> 00:09:02.723 Und das macht es halt nicht mehr zeichenbar. 00:09:04.095 --> 00:09:09.058 Also nicht innerhalb der reellen Zahlen zeichenbar in der richtigen Anordnung. 00:09:09.058 --> 00:09:11.650 Aber auch in der Vorstellung würdest du jetzt... 00:09:12.502 --> 00:09:16.070 sagen die rationalen Zahlen sind ein Kontinuum oder nicht? 00:09:16.309 --> 00:09:17.036 Ne. Ne. 00:09:17.144 --> 00:09:17.644 Nö. 00:09:17.664 --> 00:09:19.984 Ne. Nö. Aber deshalb sage ich ja, 00:09:19.984 --> 00:09:22.150 deshalb sind die reellen Zahlen ja so total seltsam, 00:09:22.150 --> 00:09:25.218 wenn man da länger drüber nachdenkt, weil da halt diese... 00:09:25.218 --> 00:09:27.432 also... so gefühlt, 00:09:27.723 --> 00:09:29.446 wenn man es versucht hinzumalen, 00:09:29.446 --> 00:09:31.430 ich glaube, da wolltest du gerade so ein bisschen drauf raus, 00:09:31.430 --> 00:09:35.317 die rationalen Zahlen sehen eher so aus wie die reellen Zahlen, 00:09:35.317 --> 00:09:36.970 weil die quasi überall sind. 00:09:37.161 --> 00:09:39.525 Aber in Wahrheit sind es ja nur so viele wie die natürlichen Zahlen, 00:09:39.525 --> 00:09:43.782 die da so schön brav mit Abstand zueinander drin sitzen. 00:09:43.812 --> 00:09:45.044 Sind sie aber nicht, ne? 00:09:45.114 --> 00:09:48.928 Und das ist ja genau das Seltsame, finde ich, an den reellen Zahlen. 00:09:48.928 --> 00:09:52.450 Also die richtige Vorstellung ist aber, ich finde diese, das ist... 00:09:52.940 --> 00:09:55.473 Das Dichte ist eigentlich kein gutes Adjektiv, 00:09:56.004 --> 00:10:00.088 weil die eigentlich überhaupt ganz dünn da drin sind. 00:10:00.088 --> 00:10:01.850 Das kann man zum Beispiel so ausdrücken, 00:10:01.850 --> 00:10:06.115 dass wenn man ein Integral mit dem Lebesgue-Integral, 00:10:06.115 --> 00:10:11.350 kann man das sogar machen, wenn man die Funktion integriert, die 1 ist auf den... 00:10:12.360 --> 00:10:16.764 rationalen Zahlen und 0 auf den anderen, dann kommt das... 00:10:16.764 --> 00:10:17.404 kommt 0 raus. 00:10:17.404 --> 00:10:18.425 Die Fläche drunter ist 0. Ja, 00:10:18.425 --> 00:10:21.048 sozusagen die Fläche unter der Funktion, 00:10:21.048 --> 00:10:24.400 die 1 auf den rationalen Zahlen ist, die ist 0. 00:10:25.351 --> 00:10:27.553 Bei den natürlichen Zahlen glaubt einem das jeder, ne? 00:10:27.553 --> 00:10:29.054 Weil da hast du ja nur so Peaks. 00:10:29.054 --> 00:10:29.815 Immer nur so Peaks. 00:10:29.815 --> 00:10:32.727 Aber so diese ganz vielen Peaks zusammen, die ergeben halt immer noch nichts. 00:10:32.898 --> 00:10:35.970 Auch wenn es ziemlich viele sind und ziemlich dicht. 00:10:37.481 --> 00:10:40.403 Na, das Dichte kommt wahrscheinlich eben halt aus dieser Abstandsvorstellung. 00:10:40.403 --> 00:10:42.185 Wenn du so ein Epsilon nach links und rechts hüpfst, 00:10:42.185 --> 00:10:45.057 dann bist du auf jeden Fall über ein paar rationale Zahlen drüber gedicht. 00:10:45.267 --> 00:10:45.767 Ja. 00:10:46.829 --> 00:10:47.329 Ja. 00:10:47.569 --> 00:10:49.601 So. Ziemlich komisch. 00:10:50.051 --> 00:10:52.583 Okay. Also das, da ist irgendwie so der Unterschied zwischen 00:10:53.614 --> 00:10:56.006 ein Kontinuum und kein Kontinuum, oder? 00:10:56.296 --> 00:10:57.638 Kann man das so sagen? 00:10:57.638 --> 00:10:58.899 Zwischen Q und R. Ja, 00:10:58.899 --> 00:10:59.789 zwischen Q und R. 00:11:00.300 --> 00:11:01.030 Ja. Ja. 00:11:01.340 --> 00:11:06.529 Wollen wir jetzt versuchen, das irgendwie zu diskret zu definieren? 00:11:06.529 --> 00:11:10.254 Oder ist es nicht kontinuierlich, würde ich jetzt mal diskret nennen. 00:11:10.254 --> 00:11:14.050 Oder ist es jetzt eigentlich aus dem Zusammenhang? 00:11:14.101 --> 00:11:17.859 Klar, also aus dem was nicht kontinuierlich ist, ist irgendwas was immer, 00:11:18.010 --> 00:11:22.285 was eben Schritte hat, ja? Diskrete Schritte, auch wenn die klein sein können. 00:11:22.285 --> 00:11:24.784 Q in R hat keine Schritte. 00:11:24.784 --> 00:11:27.381 Naja, aber man muss doch immer über ganz schön viele reelle Zahlen drüber. 00:11:27.381 --> 00:11:27.923 Ja, 00:11:27.923 --> 00:11:30.900 aber du kannst nicht zum nächsten Q-Element hüpfen. 00:11:30.900 --> 00:11:31.400 Oh, 00:11:31.527 --> 00:11:33.242 ich kann die ja anordnen. Ja, 00:11:33.242 --> 00:11:36.652 aber nicht so wie R. Also wenn, dann heißt das eine neue Ordnung, 00:11:36.652 --> 00:11:39.079 die aber mit der Ordnung auf den reellen Zahlen nichts mehr zu tun hat. 00:11:39.079 --> 00:11:39.579 Die, 00:11:39.103 --> 00:11:40.783 ähm... 00:11:41.841 --> 00:11:43.713 Also, ne, da würde ich dir nicht zustimmen. 00:11:43.713 --> 00:11:44.236 Da würdest du mir nicht zustimmen. 00:11:44.236 --> 00:11:45.745 Dass diskret immer Schritte... 00:11:45.745 --> 00:11:50.000 Vielleicht schon, aber nicht im Sinne von kontinuierlich versus diskret. 00:11:50.000 --> 00:11:53.528 Dann brauchst du noch irgendwas anderes, was sozusagen dieses Zwischending... 00:11:53.528 --> 00:11:54.650 Gibt's noch was? 00:11:55.862 --> 00:12:00.200 Ja, nein, wenn du jetzt sagst, diskret ist Schritte machen in R, 00:12:00.270 --> 00:12:03.958 dann hast du halt irgendwelche Z-Gitter oder sowas. 00:12:03.958 --> 00:12:05.310 Aber halt nicht Q. 00:12:06.220 --> 00:12:09.013 Also für mich ist es sozusagen diskret, also mit Schritte 00:12:10.144 --> 00:12:10.945 will ich jetzt nicht unbedingt sagen, 00:12:10.945 --> 00:12:13.448 dass die Schritte in irgendeine Richtung gehen oder von einem zum anderen. 00:12:13.448 --> 00:12:16.421 Ich stelle mir das aber so vor, dass jede rationale Zahl, 00:12:16.551 --> 00:12:19.314 also als bildliche Vorstellung, schwimmt in so einem See von reellen Zahlen. 00:12:19.314 --> 00:12:21.396 Also um die rum ist eben erstmal, 00:12:21.396 --> 00:12:24.159 wenn man weit genug reinzoomt, keine andere rationale Zahl. 00:12:24.159 --> 00:12:25.250 Stimmt eben nicht. 00:12:26.161 --> 00:12:30.674 Doch. In meinem Bild ist sozusagen... 00:12:30.674 --> 00:12:32.521 Du kannst ja keine Epsilon-Umgebung machen. 00:12:32.521 --> 00:12:35.354 Nee, Epsilon ist zu groß. Epsilon ist zu groß. 00:12:35.354 --> 00:12:36.950 Man muss noch mehr reinzoomen. 00:12:38.183 --> 00:12:39.668 Naja, okay, das sind jetzt sozusagen... 00:12:39.668 --> 00:12:42.709 Vielleicht solltest du dir mal die p-artigen Zahlen, Qp angucken. 00:12:42.903 --> 00:12:45.192 Okay, aber das ist, die kann ich jetzt nicht erklären. 00:12:45.192 --> 00:12:47.530 Das ist noch eine andere Folge. 00:12:47.624 --> 00:12:51.090 Okay, machen wir mal, weil die sind nämlich eigentlich viel natürlicher als die. 00:12:52.183 --> 00:12:54.473 Machen wir mal, meinst du, machen wir mal in einer anderen Folge? 00:12:54.473 --> 00:12:55.899 Machen wir mal in einer anderen Folge, ja. 00:12:55.899 --> 00:12:56.041 Ja, 00:12:56.041 --> 00:12:57.394 gerne. Okay. 00:12:58.727 --> 00:13:01.694 David Hilbert kennst du ja auch und seine Liste von Problemen, 00:13:01.694 --> 00:13:02.776 haben wir auch schon oft drüber gesprochen. 00:13:02.776 --> 00:13:04.930 Weißt du, was das erste Hilbert-Problem war? 00:13:04.952 --> 00:13:05.452 Nee. 00:13:05.541 --> 00:13:08.395 Das erste Hilbert-Problem ist die Kontinuumshypothese, 00:13:09.107 --> 00:13:10.779 über die wir jetzt auch nochmal reden können. 00:13:11.390 --> 00:13:18.150 Und zwar sagt die, dass es keine Kardinalitäten, also Größen von Mengen gibt. 00:13:18.541 --> 00:13:21.688 Zwischen der Kardinalität von den natürlichen Zahlen, 00:13:21.688 --> 00:13:24.303 die die gleiche ist wie die Kardinalität von den rationalen Zahlen, 00:13:24.674 --> 00:13:26.783 und der Kardinalität von den reellen Zahlen. 00:13:26.783 --> 00:13:27.025 Ah, 00:13:27.025 --> 00:13:28.323 das ist das erste Hilbert-Problem? 00:13:28.323 --> 00:13:29.960 Das war das erste Problem, was… 00:13:29.960 --> 00:13:30.460 Ja, 00:13:30.704 --> 00:13:33.478 die Frage kenne ich natürlich, aber dass das das Nummer 1 Problem war. 00:13:33.478 --> 00:13:36.055 …Hilbert aufgeklärt haben wollte. 00:13:36.126 --> 00:13:38.450 Über die Aufklärung können wir ja gleich nochmal reden, 00:13:38.450 --> 00:13:39.973 aber versuchen wir das erst nochmal zu verstehen. 00:13:39.973 --> 00:13:43.550 Also, wenn ich zum Beispiel die natürlichen Zahlen nehme… 00:13:43.921 --> 00:13:47.684 Mhm. …dann haben die ja eine Potenzmenge. 00:13:47.684 --> 00:13:49.486 Mhm. Also die Menge aller Teilmengen. 00:13:49.486 --> 00:13:50.907 Die Menge aller Teilmengen, 00:13:50.907 --> 00:13:56.132 genau. Genau. Und die kann ich auch identifizieren, 00:13:56.132 --> 00:13:59.926 zum Beispiel mit der Menge aller Abbildungen 00:14:00.476 --> 00:14:04.020 von den natürlichen Zahlen in die Menge 01. 00:14:04.020 --> 00:14:04.520 0 1 00:14:05.381 --> 00:14:07.969 Weil wenn ich eine Teilmenge habe, dann nehme ich einfach die Abbildung, 00:14:07.969 --> 00:14:11.169 die den Elementen der Teilmenge die 1 zuordnet und allen anderen Elementen die 0. 00:14:11.243 --> 00:14:14.041 Genau, ist quasi drin in der Teilmenge oder nicht drin in der Teilmenge. 00:14:14.041 --> 00:14:17.198 Und jetzt sagt dieser Satz von Cantor, dass immer die Potenzmenge, 00:14:18.331 --> 00:14:20.236 dass wir uns die echt größer vorstellen können, 00:14:20.236 --> 00:14:21.949 weil es keine Sojektion von der 00:14:22.501 --> 00:14:26.598 Also keine Menge ist gleichmächtig mit ihrer Potenzmenge. 00:14:26.608 --> 00:14:28.572 Genau, da sind tatsächlich echte Mehr drin. 00:14:28.572 --> 00:14:32.601 Also das sind diese unendlichen Stufen von Unendlichkeit, die man damit bauen kann. 00:14:32.601 --> 00:14:34.684 Und diese Kontinuumshypothese sagt eben, 00:14:34.684 --> 00:14:38.439 dass jetzt die Potenzmenge von den natürlichen Zahlen, 00:14:38.669 --> 00:14:40.672 das ist die nächstgrößere Kardinalität, 00:14:40.672 --> 00:14:43.766 das ist die Kardinalität von R. Das ist ein Kontinuum. 00:14:44.097 --> 00:14:46.330 Und dazwischen gibt es nichts. 00:14:48.521 --> 00:14:50.580 Was würdest du sagen, stimmt das oder stimmt das nicht? 00:14:51.375 --> 00:14:52.158 Sollte das stimmen oder nicht? 00:14:52.158 --> 00:14:53.590 Das sollte stimmen. 00:14:53.641 --> 00:14:55.073 Genau. Also die, 00:14:56.405 --> 00:14:58.298 ja es geht auf Cantor zurück, die Frage. 00:14:58.729 --> 00:15:03.085 Genau, Hilbert hat die dann aufgegriffen und das ist auch von Gödel dann 00:15:03.395 --> 00:15:06.770 bearbeitet worden. Gödel glaubte, dass das nicht gelten sollte. 00:15:07.460 --> 00:15:11.424 Und zusammen mit Kohn ergibt sich, mit der Arbeit von Kohn, 00:15:11.424 --> 00:15:15.888 das war glaube ich erst in den 60ern oder 40ern, weiß ich nicht, also Mitte des 20. 00:15:15.888 --> 00:15:17.690 Jahrhunderts, wurde gezeigt, 00:15:17.690 --> 00:15:19.031 dass die unabhängig ist, 00:15:19.031 --> 00:15:23.555 diese Kontinuumshypothese von der Mengentheorie mit Auswahlaxiom. 00:15:23.555 --> 00:15:26.168 Also wir nehmen die Mengenlehre, Zambello-Frenkel, 00:15:26.518 --> 00:15:27.960 und noch das Auswahlaxiom, nehmen wir auch noch dazu. 00:15:27.960 --> 00:15:34.052 dazu. Und dann ist die Kontinuumshypothese, diese Frage, ist immer noch unabhängig. 00:15:34.052 --> 00:15:34.552 Also 00:15:35.977 --> 00:15:37.221 ich suche mir aus, dass es gleich ist. 00:15:37.221 --> 00:15:40.597 Du kannst es dir aussuchen. Also es gibt eine Mathematik, 00:15:40.808 --> 00:15:46.950 also wenn es eine Mathematik gibt, für die Expertinnen, ein Modell von ZFC. 00:15:47.361 --> 00:15:51.068 Dann gibt es auch ein Modell von ZFC mit Kontinuumshypothese stimmt 00:15:51.068 --> 00:15:52.601 und es gibt auch ein Modell von 00:15:53.573 --> 00:15:56.118 ZFC mit Kontinuumshypothese ist falsch. 00:15:56.118 --> 00:15:57.242 Also das Gegenteil stimmt. 00:15:57.242 --> 00:16:01.790 Also alle Mathematik, die ich bisher so gemacht habe, da ist es egal tatsächlich. 00:16:02.621 --> 00:16:04.988 Ob ich das schon mal benutzt habe, ich glaube auch nicht. 00:16:04.988 --> 00:16:06.573 Also das kann ich auch nicht sagen, 00:16:06.573 --> 00:16:09.210 ob ich die Kontinuumshypothese schon mal benutzt habe. 00:16:09.869 --> 00:16:10.928 Es ist auch nicht so... 00:16:12.084 --> 00:16:13.667 Also nicht wissentlich, sagen wir es so. 00:16:13.802 --> 00:16:15.556 Ja, vielleicht 00:16:17.432 --> 00:16:20.770 ist sie aber ganz verwoben in meiner Vorstellung von... 00:16:21.960 --> 00:16:25.163 in meiner geometrischen Vorstellung von diesen kleinen reellen Seen, 00:16:25.163 --> 00:16:26.524 in denen die rationalen Zahlen schwimmen. 00:16:26.524 --> 00:16:28.266 Du würdest dir das aussuchen, dass das stimmt, oder? 00:16:28.266 --> 00:16:29.267 Wenn du das erzählen möchtest. 00:16:29.267 --> 00:16:31.509 Ja, ich habe ja irgendwie gelesen, dass Gödel und Cohen dagegen waren, 00:16:31.509 --> 00:16:32.790 dass das stimmt. Aber warum? 00:16:32.790 --> 00:16:33.841 Mit welchem Argument? 00:16:34.672 --> 00:16:37.455 Also es ist... wenn man so ein bisschen Philosophie da guckt, 00:16:37.455 --> 00:16:38.315 dann geht es irgendwie darum, 00:16:38.315 --> 00:16:42.579 ob die mathematische Welt irgendwie vielfältig ist und... 00:16:42.579 --> 00:16:48.734 Und... bunt oder ob die sozusagen schön strukturiert und geordnet ist. 00:16:48.864 --> 00:16:50.505 Sozusagen wenn die schön strukturiert und geordnet ist. 00:16:50.505 --> 00:16:53.437 Weil es gibt dann sozusagen, wenn die Kontinuumshypothese nicht gilt, 00:16:53.708 --> 00:16:57.230 dann gibt es dazwischen gleich wieder ganz viele Kardinalitäten und so. 00:16:57.230 --> 00:16:58.912 Es ist dann nicht ein Schritt oder so, 00:16:58.912 --> 00:17:01.583 sondern dann ist dazwischen wieder ein ganzer Zoo 00:17:02.714 --> 00:17:03.305 von 00:17:04.376 --> 00:17:05.406 Kardinalitäten. 00:17:05.877 --> 00:17:09.080 Ja, also dieses Hilbert-Problem wurde eben gelöst durch diese Unabhängigkeit. 00:17:09.080 --> 00:17:09.755 Unabhängigkeit. 00:17:12.144 --> 00:17:14.738 Nicht so wie Hilbert sich das vorgestellt hat, die Lösung wahrscheinlich, ne? 00:17:14.738 --> 00:17:15.482 Ne, 00:17:15.482 --> 00:17:16.323 ich glaube nicht. 00:17:16.323 --> 00:17:20.792