WEBVTT NOTE PGD044 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.341 --> 00:00:01.323 Ja, herzlich willkommen, 00:00:01.323 --> 00:00:05.174 liebe Zuhörerinnen und Zuhörer da draußen an den Empfangsgeräten. 00:00:05.174 --> 00:00:07.630 Das haben wir, glaube ich, früher am Radio so gesagt, oder? 00:00:08.142 --> 00:00:11.089 Ja, das sind also Handys, denke ich mal. 00:00:11.089 --> 00:00:14.517 Es soll ja auch Leute geben, die Podcasts auf unserer Webseite hören, 00:00:14.517 --> 00:00:15.501 aber das kann ich nicht empfehlen. 00:00:15.501 --> 00:00:17.575 Wir können nochmal nachgucken, es sind wenige Prozent. 00:00:17.665 --> 00:00:21.493 Ja, herzlich willkommen zu Pi ist genau 3, der Mathe-Podcast aus Magdeburg. 00:00:21.493 --> 00:00:24.018 Hier sind wieder Petra Schwer, meine Wenigkeit, 00:00:24.018 --> 00:00:26.021 und Thomas Kahle. Hallo Petra. 00:00:26.021 --> 00:00:27.412 Hi Thomas. 00:00:27.482 --> 00:00:30.585 Schön, dich zu sehen nach einer etwas längeren Wartezeit. 00:00:30.585 --> 00:00:32.907 Haben wir wieder eine neue Folge, die Nummer 44. 00:00:32.907 --> 00:00:35.730 Genau, wir haben Folge 44. Ich weiß gar nicht, ob ich es schon gesagt habe. 00:00:35.730 --> 00:00:36.971 Du hast diesmal ein Thema mitgebracht. 00:00:36.971 --> 00:00:39.914 Genau. Und mein Thema beschäftigt sich mit zwei Zahlen, 00:00:39.914 --> 00:00:42.626 der 3 und der 4 und dem Unterschied zwischen 3 und 4. 00:00:42.896 --> 00:00:45.158 Aber das ist nur der Aufhänger. 00:00:45.158 --> 00:00:47.290 Eigentlich geht es um Polytope. 00:00:48.081 --> 00:00:51.013 Wir haben schon öfter über Polytope gesprochen und du magst auch Polytope, 00:00:51.013 --> 00:00:52.705 weiß ich, weil du Symmetrie magst. 00:00:52.705 --> 00:00:54.602 Ja, ich mag die gerne, die Polytope. 00:00:54.602 --> 00:00:57.419 Viele Leute kennen Polytope, zum Beispiel platonische Körper. 00:00:57.510 --> 00:01:00.461 Haben wir über platonische Körper, haben wir geredet in der Folge Symmetrie? 00:01:00.461 --> 00:01:03.286 Ne, es gab sogar eine Folge über platonische Körper. 00:01:03.963 --> 00:01:04.926 Genau. Also jetzt, 00:01:04.926 --> 00:01:06.110 wenn wir über Polytope reden, 00:01:06.110 --> 00:01:09.241 kann man eigentlich immer über platonische Körper nachdenken. 00:01:09.241 --> 00:01:10.902 Ja, machen wir mal so ein Beispiel, so einen Würfel. 00:01:10.902 --> 00:01:13.221 Einen Würfel zum Beispiel, ein Tetraeder. 00:01:13.221 --> 00:01:17.086 Oder diese Fußballkörper. So Fußballkörper. 00:01:17.462 --> 00:01:18.946 Genau. Die technische Definition ist, 00:01:18.946 --> 00:01:22.795 man nimmt die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten in irgendeinem Raum, 00:01:22.795 --> 00:01:24.300 zum Beispiel unserem dreidimensionalen Raum. 00:01:24.300 --> 00:01:28.195 Und dann nimmt man zu irgendwie endlich vielen Punkten alle Punkte, 00:01:28.195 --> 00:01:29.803 die dazwischen liegen. Genau, 00:01:29.803 --> 00:01:34.430 wenn man so Schnüre spannen würde, alles, was sozusagen damit ausfüllbar ist. 00:01:34.700 --> 00:01:39.149 Genau. Und jetzt gibt es ja in der Mathematik oft die Bestrebung, 00:01:39.149 --> 00:01:42.144 wenn man ein mathematisches Objekt oder eine Familie von Objekten 00:01:42.235 --> 00:01:44.963 definiert hat, alle zu verstehen, die es davon gibt. 00:01:44.963 --> 00:01:48.183 Also meinst du, eine Klassifikation zu machen, so eine Liste aller Polytopen? 00:01:48.183 --> 00:01:51.330 Ja. Jetzt kommt einem das natürlich erstmal ein bisschen… 00:01:51.762 --> 00:01:54.682 Ja, was denkst du denn, wenn du hörst, eine Liste von allen Polytopen? 00:01:54.682 --> 00:01:57.269 Naja, ich glaube, es kommt sehr darauf an, 00:01:57.269 --> 00:02:00.258 nach welchen Eigenschaften du die jetzt charakterisieren möchtest. 00:02:00.258 --> 00:02:03.971 Man könnte sich ja zum Beispiel eine einfache Möglichkeit denken 00:02:03.971 --> 00:02:07.270 und einfach sagen, ich will nur wissen, wie viele Ecken das hat. 00:02:07.780 --> 00:02:09.191 Und einen Polytope mit 00:02:09.321 --> 00:02:12.804 einer bestimmten Anzahl Ecken nicht voneinander unterscheiden. 00:02:12.804 --> 00:02:16.387 Also ein Würfel wäre dann das gleiche wie so ein Rechteck, 00:02:16.387 --> 00:02:19.650 also so ein schwammförmiges oder ein bauklotzförmiges Teil. 00:02:19.650 --> 00:02:23.293 Das hätte alles acht Ecken. Oder man nimmt die Anzahl der Seiten. 00:02:23.293 --> 00:02:25.014 Heißt das noch Quader? 00:02:25.014 --> 00:02:27.216 Was sind Würfel, wo die Kantenlängen nicht gleich sind, meinst du? 00:02:27.216 --> 00:02:27.556 Genau, 00:02:27.556 --> 00:02:31.519 sowas. So ein Prisma oder wie heißen die Dinge in höherer Dimension? 00:02:31.519 --> 00:02:32.650 Bis zum nächsten Mal. 00:02:33.202 --> 00:02:35.842 Also ein Prisma, jetzt können wir mal ein bisschen was lernen. 00:02:35.974 --> 00:02:40.121 Auch hier, ich glaube... Ein 2d-Objekt, ne? 00:02:40.121 --> 00:02:43.615 Wenn du ein Objekt von niedriger Dimension machst 00:02:43.706 --> 00:02:46.429 und das dann so rausziehst in eine neue Dimension. 00:02:46.429 --> 00:02:48.672 Also du nimmst eine Fläche, sagen wir mal, 00:02:48.672 --> 00:02:50.154 und machst das ein dreidimensionales Objekt, 00:02:50.154 --> 00:02:54.039 indem du die Fläche so rausziehst oder so wie einmal bewegst und dann guckst, 00:02:54.039 --> 00:02:54.480 wo sie überall war. 00:02:54.480 --> 00:02:56.717 Dann wäre das ja ein Prisma über einem Quadrat zum Beispiel. 00:02:56.717 --> 00:03:00.118 Genau, und dann wäre so ein Quadra ein Prisma über einem Rechteck oder so. 00:03:00.118 --> 00:03:02.160 Ja. Genau, aber man könnte eigentlich... 00:03:02.160 --> 00:03:06.284 auch noch die eine Ecke, nur eine Ecke so ein bisschen rausziehen. 00:03:06.284 --> 00:03:07.635 Dann wird es auf einmal schief. 00:03:07.645 --> 00:03:08.256 Genau. 00:03:08.446 --> 00:03:10.248 Und die Kantenlängen werden alle ganz unterschiedlich, 00:03:10.248 --> 00:03:11.589 aber man könnte auch noch sagen, 00:03:11.589 --> 00:03:16.794 dass es irgendwie noch dem Würfel ähnlich ist, weil es die gleiche Kombinatorik hat. 00:03:16.794 --> 00:03:17.014 Genau, 00:03:17.014 --> 00:03:21.568 es hat irgendwie die gleiche Anzahl Ecken, Kanten und Seitenflächen und... 00:03:21.758 --> 00:03:25.716 Genau. Und... Das kommt jetzt auch vor in dem, was ich erzählen will. 00:03:25.887 --> 00:03:27.853 Also wir unterscheiden erstmal, wir stellen erstmal fest, 00:03:27.853 --> 00:03:30.750 so ein Polytope hat irgendwie eine Kombinatorik. 00:03:31.062 --> 00:03:36.285 Also mit Kombinatorik meinen wir so eine abzählbare Liste an Eigenschaften, die man 00:03:36.677 --> 00:03:38.324 konkret bestimmen kann. Zum Beispiel eine Sache, 00:03:38.324 --> 00:03:41.543 die Leute gerne untersuchen, ist der F-Vektor. 00:03:41.554 --> 00:03:43.750 F steht für Face, das ist Englisch für Seite. 00:03:44.021 --> 00:03:46.385 Und das ist eine Zahlenfolge, 00:03:46.385 --> 00:03:48.789 die zu so einem Polytope gehört und die speichert einfach ab, 00:03:48.789 --> 00:03:51.885 wie viele Ecken hat es, wie viele Kanten, 00:03:52.096 --> 00:03:54.141 wie viele Flächen, zweidimensionale Seitenflächen. 00:03:54.141 --> 00:03:56.046 Und wenn es dann ein höherdimensionales Polytope ist, 00:03:56.046 --> 00:03:57.890 eben noch wie viele dreidimensionale Seitenflächen, 00:03:57.890 --> 00:03:59.764 vierdimensionale Seitenflächen und so weiter. 00:04:00.036 --> 00:04:01.709 Ist also ein Vektor der Länge. 00:04:02.040 --> 00:04:04.224 Genau, so ein vierdimensionaler Würfel zum Beispiel, 00:04:04.224 --> 00:04:06.608 der hat als Seiten, kann man sich schlecht vorstellen, 00:04:06.608 --> 00:04:11.416 aber ist so dreidimensionale Würfel, die dann wiederum zweidimensionale Würfel, 00:04:11.416 --> 00:04:13.870 was einfach Quadrate sind, als Seiten haben. 00:04:13.980 --> 00:04:14.562 Also ich würde ja behaupten, 00:04:14.562 --> 00:04:17.930 das ist das einzige vierte dimensionale Polytop, was ich mir vorstellen kann. 00:04:17.930 --> 00:04:19.354 Obwohl den vierdimensionalen Simplex, 00:04:19.354 --> 00:04:21.419 also die Verallgemeinung vom Tetraeder, könnte ich mir auch noch vorstellen. 00:04:21.419 --> 00:04:22.383 Der geht auch. 00:04:22.383 --> 00:04:26.363 Weil von dem vierdimensionalen Würfel kann man doch dieses Bild malen. 00:04:26.363 --> 00:04:30.204 Man kann so eine 3D-Projektion des 4D-Würfels nehmen. 00:04:30.204 --> 00:04:30.728 Auf ein Blatt, 00:04:30.728 --> 00:04:31.682 auf ein 2D-Projektion. Genau, 00:04:31.682 --> 00:04:32.743 auf ein Papier malen. 00:04:32.743 --> 00:04:34.683 Genau, dann stellt man sich das irgendwie vor. 00:04:35.063 --> 00:04:37.270 Vielleicht erklären wir das einmal. 00:04:37.821 --> 00:04:41.632 Wenn man den 3D-Würfel 2D malt, 00:04:41.632 --> 00:04:42.575 also auf einem Blatt Papier, 00:04:42.575 --> 00:04:45.321 dann malt man meistens so eine Quadrat hin 00:04:45.321 --> 00:04:48.274 und verschiebt das Quadrat leicht so zur Seite 00:04:48.664 --> 00:04:50.165 und dann verbindet man sozusagen 00:04:50.165 --> 00:04:53.939 die zueinander gehörenden Ecken miteinander mit parallelen Kanten. 00:04:54.289 --> 00:04:58.093 Ja, das ist so die zweidimensionale Darstellung eines dreidimensionalen Würfels 00:04:58.093 --> 00:05:01.496 und genau das Gleiche kann man in 4D versus 3D machen. 00:05:01.496 --> 00:05:03.638 Dann nimmt man den 3D-Würfel im R hoch 3, 00:05:03.638 --> 00:05:05.639 also im dreidimensionalen Raum, verschiebt den so ein bisschen. 00:05:05.639 --> 00:05:06.500 Und dann ist es fertig. 00:05:06.500 --> 00:05:10.316 Hat einen zweiten und verbindet dann wieder alle acht, in dem Fall Ecken, 00:05:10.607 --> 00:05:13.622 mit den dazugehörenden verschobenen Ecken. 00:05:14.173 --> 00:05:16.837 Und wenn man lustig ist, kann man das jetzt auch noch 2D aufmalen. 00:05:16.837 --> 00:05:17.999 Also das sieht dann sehr witzig aus. 00:05:17.999 --> 00:05:18.499 Okay. 00:05:19.660 --> 00:05:23.063 Und es gibt noch eine andere gute Darstellung von dreidimensionalen Polytopen. 00:05:23.063 --> 00:05:24.745 Die haben wir, glaube ich, auch schon mal erwähnt. 00:05:24.745 --> 00:05:27.617 Stell dir mal vor, du hast so einen dreidimensionalen Würfel und der ist aus Glas. 00:05:27.787 --> 00:05:31.340 Und du gehst an eine Seite so ganz nah dran. 00:05:31.430 --> 00:05:32.711 Und dann siehst du die, 00:05:32.711 --> 00:05:35.514 weil der aus Glas ist, siehst du wie durch so eine Fensterscheibe die Seite, 00:05:35.514 --> 00:05:38.346 an der du nah dran bist, siehst du die anderen Seiten. 00:05:38.596 --> 00:05:39.918 Und dann entsteht so ein Bild. 00:05:39.918 --> 00:05:43.050 Das sieht so aus. Du hast außen ein großes Quadrat. 00:05:43.061 --> 00:05:44.934 Das ist die vordere Seite, durch die du guckst. 00:05:44.945 --> 00:05:47.118 Hinten ein kleines Quadrat. Das ist die Rückseite. 00:05:47.209 --> 00:05:49.643 Und dann gibt es so diagonale Verbindungslinien. 00:05:50.014 --> 00:05:52.849 So ein Glaswürfel, in den man so reinguckt. 00:05:53.446 --> 00:05:54.535 So ein Netz von so einem Würfel. 00:05:54.535 --> 00:05:55.943 Wie so ein Netz. 00:05:55.943 --> 00:05:59.980 Aber das Netz, der Fachbegriff für Netz in der Mathematik ist natürlich ein Graph. 00:06:00.351 --> 00:06:02.355 Und das nennt man den Graphen des Polytops. 00:06:02.355 --> 00:06:05.610 Also der Graph des Polytops, der speichert einfach nur ab. 00:06:05.861 --> 00:06:08.372 Welche Ecke ist neben welcher anderen Ecke? 00:06:08.372 --> 00:06:09.457 Von wo nach wo geht eine Kante? 00:06:09.457 --> 00:06:12.894 Ja. Und im Würfel ist es eben so, dass es benachbarte Ecken gibt, 00:06:12.894 --> 00:06:14.383 die haben eine Kante dazwischen. 00:06:14.383 --> 00:06:17.472 Und es gibt auch diese Diagonalen über den Seiten und auch 00:06:17.472 --> 00:06:20.190 die Raumdiagonale, wo eben keine Kanten sind. 00:06:20.921 --> 00:06:21.763 Und jetzt kann man sich halt fragen, 00:06:21.763 --> 00:06:23.668 wenn man alle Polytope verstehen will, 00:06:23.668 --> 00:06:26.234 sagen wir mal alle dreidimensionale Polytope, dann, 00:06:26.234 --> 00:06:28.383 dass man erstmal diese Kombinatorik versteht. 00:06:28.383 --> 00:06:31.255 Also willst du diese Graphen verstehen von einfach nur den Ecken 00:06:31.255 --> 00:06:32.482 und Kanten sozusagen? Zum Beispiel, 00:06:32.482 --> 00:06:34.457 das, darauf will ich jetzt auch hinaus. 00:06:34.910 --> 00:06:36.675 Aber es gibt vorher noch die Euler'sche Polyeder-Formel, 00:06:36.675 --> 00:06:38.467 die haben wir auch schon erwähnt. 00:06:38.467 --> 00:06:39.053 Ja, auch in dem… 00:06:39.053 --> 00:06:40.806 Ein kombinatorisches Resultat. 00:06:40.806 --> 00:06:42.096 Das haben wir auch in dem über die… 00:06:42.096 --> 00:06:43.305 Bestimmt auch bei den platonischen Körpern. 00:06:43.305 --> 00:06:44.437 Platonischen Körper. Mindestens erwähnt. 00:06:45.501 --> 00:06:49.882 Die sagt, Anzahl Ecken minus Anzahl Kanten plus Anzahl Seiten ergibt 2. 00:06:50.174 --> 00:06:52.425 Für jedes dreidimensionale Polytope. 00:06:52.425 --> 00:06:54.064 Konvexe, oder? Braucht man da? 00:06:54.064 --> 00:06:55.636 Ah ja, Polytope habe ich nicht… 00:06:55.636 --> 00:06:58.513 Sind immer konvex. Polytope als konvexe Hülle von endlich vielen Punkten definiert. 00:06:59.145 --> 00:07:00.026 Genau. Also für Leute, 00:07:00.026 --> 00:07:02.891 die nicht-konvexe Polytope betrachten, bitte ich um Entschuldigung, 00:07:02.891 --> 00:07:05.164 dass ich jetzt ein polytope-konvexes Polytope meine. 00:07:05.555 --> 00:07:08.530 Und alle anderen denken sowieso, dass es konvex ist, glaube ich. 00:07:08.800 --> 00:07:09.321 Alles gut. 00:07:09.321 --> 00:07:11.233 Ich weiß auch nicht, nicht-konvexe Polytope. 00:07:11.564 --> 00:07:14.689 Aber es gibt ja genau Lehrbücher, die heißen dann auch nicht Polytopes, 00:07:14.689 --> 00:07:15.750 sondern Konvex-Polytopes. 00:07:15.750 --> 00:07:18.153 Also es hat schon wahrscheinlich eine Bewandtnis damit, 00:07:18.153 --> 00:07:20.317 aber da ich immer nur diese Bücher gelesen habe und nicht die Bücher, 00:07:20.317 --> 00:07:22.709 die nicht die Non-Konvex-Polytopes heißen. 00:07:24.162 --> 00:07:26.161 Also heute reden wir nur über konvexe Dinge. 00:07:26.161 --> 00:07:27.484 Das macht man in der Mathevorlesung ja gerne. 00:07:27.484 --> 00:07:29.098 Man sagt sozusagen am Anfang, 00:07:29.449 --> 00:07:31.333 macht man einmal so eine Definition für die ganze Vorlesung, 00:07:31.333 --> 00:07:34.143 die man in der nächsten Vorlesung wieder vergessen hat. 00:07:34.143 --> 00:07:34.946 Man denkt, okay, 00:07:34.946 --> 00:07:37.376 das lege ich jetzt einmal fest und dann vergisst man es trotzdem wieder 00:07:37.376 --> 00:07:39.652 und sagt es immer noch mal. Naja. 00:07:40.484 --> 00:07:42.478 So, aber jedenfalls zu diesen Graphen zurück. 00:07:42.689 --> 00:07:43.490 Und es stellt sich heraus, 00:07:43.490 --> 00:07:46.546 für dreidimensionale Polytope kann man diese Graphen charakterisieren. 00:07:46.717 --> 00:07:48.370 Das ist ein Satz von Steinitz. 00:07:48.681 --> 00:07:51.005 Wenn du dir jetzt nochmal diesen Würfel vorstellst, 00:07:51.005 --> 00:07:54.101 also außen ein Quadrat, innen ein Quadrat und diese diagonalen Linien. 00:07:54.352 --> 00:07:58.084 Das ist ein planarer Graph, den kannst du auf ein Blatt Papier malen. 00:07:58.084 --> 00:08:00.204 Ja, planar heißt, dass die Kanten sich nicht überschneiden. 00:08:00.204 --> 00:08:02.270 Genau, ohne dass die Kanten sich überschneiden. 00:08:02.454 --> 00:08:03.070 Ja. 00:08:02.454 --> 00:08:03.705 Da kann man sich vielleicht vorstellen, 00:08:03.705 --> 00:08:06.845 dass es bei jedem dreidimensionalen Polytope so ist. 00:08:06.896 --> 00:08:07.598 Ich mache immer dieses. 00:08:07.598 --> 00:08:08.171 Das geht immer, ja. 00:08:08.171 --> 00:08:10.146 Das ist immer ein planarer Graph. 00:08:10.146 --> 00:08:12.302 Ich gehe nämlich einfach ganz nah ran an eine Seite 00:08:12.553 --> 00:08:16.531 und schaue mir das Polytope, was ja wie so eine Art diskrete Kugel ist, 00:08:16.782 --> 00:08:17.402 durch die eine Seite an. 00:08:17.402 --> 00:08:18.443 Man kann sich das auch so vorstellen, 00:08:18.443 --> 00:08:21.566 als würde man eine Seite sozusagen in der Mitte aufpiksen. 00:08:21.566 --> 00:08:22.667 Wenn das alles aus Gummi ist, 00:08:22.667 --> 00:08:26.200 dann pikst man da ein Loch rein und dann zieht man das so nach außen groß 00:08:26.251 --> 00:08:28.032 und kann das dann so flach bügeln. 00:08:28.032 --> 00:08:29.073 Ja, so kann man sich das auch vorstellen. 00:08:29.073 --> 00:08:29.573 Ja, 00:08:29.153 --> 00:08:31.765 und dann ist sozusagen, weil man das eben so flach bügelt, 00:08:31.856 --> 00:08:34.338 alles überschneidungsfrei flach gebügelt. 00:08:34.338 --> 00:08:35.920 Wenn man gescheit bügeln kann, geht das. 00:08:35.920 --> 00:08:36.280 Das war's für heute. 00:08:36.280 --> 00:08:37.271 Vielen Dank für's Zuschauen. Genau. 00:08:37.801 --> 00:08:40.193 Und es gibt noch eine zweite Eigenschaft, die dieser Graph hat. 00:08:40.264 --> 00:08:42.435 Der ist, wie man sagt, drei verbunden. 00:08:42.446 --> 00:08:43.476 Three connected. 00:08:43.807 --> 00:08:46.239 Das bedeutet, wenn ich den trennen will, 00:08:46.609 --> 00:08:49.782 also Vertizes wegnehmen und alle Kanten, die da dranhängen, 00:08:49.972 --> 00:08:55.077 so dass zwei Teile übrig bleiben, muss ich immer drei oder mehr Vertizes wegnehmen. 00:08:55.077 --> 00:08:58.530 Kann man sich auch überlegen bei dem Würfel, wenn ich zwei wegnehme. 00:08:58.721 --> 00:09:00.758 Und die sind eine Kante. 00:09:00.909 --> 00:09:03.240 Dann bleibt einfach irgendwie ein Rest über, der noch zusammenhängt. 00:09:03.240 --> 00:09:04.909 Und wenn ich zwei wegnehme, 00:09:04.909 --> 00:09:07.230 die nicht eine Kante sind, dann gibt es immer noch ein... 00:09:07.680 --> 00:09:09.322 Also du löschst Ecken, ne? 00:09:09.322 --> 00:09:13.915 Ja, wenn ich zwei Ecken lösche, kann ich den nicht zusammenhängend machen. 00:09:14.166 --> 00:09:15.256 Höchstens mit dreien. 00:09:15.307 --> 00:09:16.628 Mit dreien kann man, das kann man sich auch vorstellen, 00:09:16.628 --> 00:09:17.608 wenn man einen Würfel nimmt, 00:09:17.608 --> 00:09:20.741 kann man durch wegnehmen von drei benachbarten Ecken von einer Ecke, 00:09:20.931 --> 00:09:22.693 kann man die eine Ecke von dem Rest abtrennen. 00:09:22.693 --> 00:09:23.493 Isolieren, ne? 00:09:23.493 --> 00:09:26.396 Genau. Die eine Ecke kann ich isolieren, indem ich die drei Nachbarecken wegnehme. 00:09:26.396 --> 00:09:29.338 Also ein Würfel hat ja jede Ecke genau drei Nachbarn. 00:09:29.338 --> 00:09:30.579 Genau. Wenn ich die wegnehme, 00:09:30.579 --> 00:09:31.500 dann... Wenn man die wegnimmt, ist... 00:09:31.500 --> 00:09:35.225 sozusagen die eine Ecke bleibt alleine über und der Rest vom Würfel dann eben auch. 00:09:35.225 --> 00:09:38.359 Genau. Jetzt natürlich die Frage, ob jeder drei connect, 00:09:38.449 --> 00:09:41.513 also drei zusammenhängende Planare, Graf auch tatsächlich... 00:09:41.513 --> 00:09:44.727 Das ist die spannende Frage. Das ist der Satz von Steinitz. 00:09:44.937 --> 00:09:47.180 Also wann immer du einen Graf hinmalst... 00:09:47.180 --> 00:09:49.616 ...der planar ist und 3-connected, 00:09:49.827 --> 00:09:54.562 kannst du ein dreidimensionales Polytope finden, das diesen Grafen hat. 00:09:54.562 --> 00:09:57.368 Invertiert es einfach diesen Prozess von diesem Aufbügeln? 00:09:57.368 --> 00:10:02.105 Also biege ich den sozusagen einfach zusammen und klebe das Loch wieder zu? 00:10:02.105 --> 00:10:03.850 Es gibt verschiedene Beweise. 00:10:04.181 --> 00:10:05.983 Und die nutzen zum Teil, also es gibt, 00:10:05.983 --> 00:10:08.085 das ist so aus den Zwanzigern des zwanzigsten Jahrhunderts, 00:10:08.085 --> 00:10:09.888 glaube ich, dieser Satz, der ursprüngliche. 00:10:09.888 --> 00:10:12.871 Da war es ein kombinatorisches Resultat, 00:10:12.871 --> 00:10:15.715 wo irgendwie so dreidimensionale Polytope immer weiter verformt werden 00:10:15.715 --> 00:10:20.084 und dann gab es hinterher andere Beweise, die aber nicht völlig einfach sind. 00:10:20.084 --> 00:10:20.984 Also das ist... 00:10:21.782 --> 00:10:23.547 Kann man das irgendwie topologisch beweisen? 00:10:23.547 --> 00:10:24.450 Weißt du das zufällig, 00:10:24.450 --> 00:10:27.869 dass man das auf eine Sphäre packt und dann dadurch das bekommt irgendwie? 00:10:28.203 --> 00:10:29.939 Ah, muss ich mich jetzt aus dem Fenster lehnen. 00:10:29.971 --> 00:10:32.430 Also ich habe die Beweise nicht im Detail studiert. 00:10:32.724 --> 00:10:35.990 Ja, war jetzt auch farfetched diese Frage, sorry. 00:10:36.783 --> 00:10:37.807 Und das ist aber interessant. 00:10:37.807 --> 00:10:41.190 Das bedeutet sozusagen, es gibt irgendwie strenge Anforderungen an die... 00:10:42.000 --> 00:10:43.871 Kombinatorik. Man kann sogar 00:10:43.901 --> 00:10:46.864 von diese F-Vektoren von dreidimensionalen Polytopen, 00:10:46.864 --> 00:10:48.805 die kann man sogar klassifizieren dadurch. 00:10:48.805 --> 00:10:50.316 Es folgt im Prinzip auch daraus. 00:10:50.546 --> 00:10:52.488 Und zwar ist die Klassifikation, die ist auch ganz einfach. 00:10:52.488 --> 00:10:54.469 Diese Eulersche-Polieda-Formel muss gelten. 00:10:54.469 --> 00:10:57.691 Ja, die gibt schon Bedingungen an die Einträge von diesem Vektor, ne? 00:10:57.691 --> 00:10:59.413 Weil diese Ecken, Kanten, Flächen, 00:10:59.413 --> 00:11:00.273 das sind ja die ersten drei Einträge. 00:11:00.273 --> 00:11:03.345 Ja, das ist eine Gleichung, eine Gleichung, die gelten muss. 00:11:03.596 --> 00:11:04.977 Und dann gibt es noch zwei Ungleichungen. 00:11:04.977 --> 00:11:08.539 Und zwar muss die Anzahl der Seiten größer sein als zweimal die Anzahl 00:11:08.539 --> 00:11:09.970 der Ecken minus vier. 00:11:10.581 --> 00:11:11.241 Eine Ungleichung, 00:11:11.241 --> 00:11:15.147 eine lineare Ungleichung und auch noch Seiten und Ecken vertauscht. 00:11:15.147 --> 00:11:16.008 Also was hatte ich eben? 00:11:16.008 --> 00:11:20.514 Also jetzt muss noch die Anzahl der Ecken muss höchstens, eben glaube ich, größer, 00:11:20.514 --> 00:11:24.550 höchstens, darf höchstens zweimal die Anzahl der Seiten minus vier sein. 00:11:25.561 --> 00:11:27.326 Und wann immer man solche Zahlen hinschreibt, 00:11:27.326 --> 00:11:31.970 findet man auch so ein dreidimensionales Polytop, was diese diesen Vektor hat. 00:11:32.104 --> 00:11:35.301 Und damit ist zumindest das kombinatorische Problem gelöst. 00:11:35.301 --> 00:11:37.757 Was gibt es für, was für Möglichkeiten, 00:11:37.868 --> 00:11:42.550 die Seiten von so einem dreidimensionalen Polytop anzuordnen, gibt's. 00:11:42.763 --> 00:11:43.556 Und jetzt kommt's. 00:11:43.728 --> 00:11:46.870 Für vier Dimensionen denkt man doch, das geht jetzt irgendwie so weiter. 00:11:47.741 --> 00:11:49.893 Du denkst das nicht, 00:11:52.506 --> 00:11:56.420 weil du vorhast. Man könnte denken, das geht jetzt irgendwie so weiter. 00:11:57.031 --> 00:11:58.473 Aber tut's nicht. 00:11:58.473 --> 00:12:04.760 Für vierdimensionale Polytope ist eben keine solche Charakterisierung bekannt. 00:12:04.760 --> 00:12:05.746 Es gibt gar keine? 00:12:06.183 --> 00:12:08.945 Also es gibt viele Ungleichungen, die man kennt. 00:12:08.945 --> 00:12:10.583 Sowas wie, was habe ich mir aufgeschrieben? 00:12:10.583 --> 00:12:13.949 Die Anzahl der Vertizes plus die Anzahl der Kanten. 00:12:14.200 --> 00:12:18.277 Ne, die Anzahl der Kanten plus die Anzahl der zweidimensionalen Seiten ist höchstens 00:12:18.528 --> 00:12:22.114 sechsmal die Anzahl der Vertizes plus die Anzahl der dreidimensionalen Seiten. 00:12:22.114 --> 00:12:25.730 Auch so eine lineare Ungleichung, die man irgendwie kennt. 00:12:25.843 --> 00:12:29.581 Also man kennt nicht vollständig sozusagen diesen Raum aller Effektoren, oder? 00:12:29.581 --> 00:12:30.081 Ne, 00:12:30.483 --> 00:12:35.654 ne. Und Günter Ziegler, einer der prominentesten Polytop-Forscher, 00:12:35.654 --> 00:12:37.678 wenn man es mal so ausdrücken kann, sagt das immer so, 00:12:37.678 --> 00:12:41.464 dass wir mit den vierdimensionalen Polytopen nicht so gut vorankommen, 00:12:41.464 --> 00:12:44.249 weil es keine guten Konstruktionsmethoden gibt, 00:12:44.249 --> 00:12:51.021 um vielfältige Arten von vierdimensionalen Polytopen zu produzieren. 00:12:51.021 --> 00:12:54.341 Vierdimensionale Polytope mit seltsamen Eigenschaften gibt es viele. 00:12:54.352 --> 00:12:56.970 Also viele meine ich sowas wie zehn. 00:12:58.021 --> 00:13:01.242 Kennt man zehn oder weiß man, dass es nur zehn gibt? 00:13:01.454 --> 00:13:03.242 Zehn ist jetzt irgendeine hypothetische Zahl. 00:13:03.242 --> 00:13:05.830 Es gibt viele schöne Eigenschaften von dreidimensionalen Polytopen, 00:13:05.830 --> 00:13:06.933 die man sich dann auch fragen kann, 00:13:06.933 --> 00:13:09.422 ob die auch für vierdimensionale Polytope gelten. 00:13:09.422 --> 00:13:11.287 Und bei vielen ist es eben nicht der Fall. 00:13:11.287 --> 00:13:14.716 Es scheint irgendwie so einen fundamentalen Unterschied zwischen dreidimensional 00:13:14.716 --> 00:13:18.105 und vierdimensional zu geben. In dieser Polytope-Theorie. 00:13:18.105 --> 00:13:19.922 Fängt wahrscheinlich schon mit den Graphen an. 00:13:19.922 --> 00:13:22.481 Die sind vermutlich nicht mehr alle planar und dann 00:13:23.537 --> 00:13:27.289 sowas. Genau. Also wir hatten ja sozusagen bei den regulären, 00:13:27.289 --> 00:13:30.761 also bei den platonischen Körpern, hatten wir doch auch diese regulären Polytope. 00:13:30.761 --> 00:13:34.298 Die Anzahl der regulären Polytope, die ist doch auch sozusagen bei drei und vier. 00:13:34.298 --> 00:13:36.758 Gibt es irgendwie diese 120 Zelle oder so wie das war. 00:13:36.758 --> 00:13:37.421 Genau, da gibt es auch komische. 00:13:37.421 --> 00:13:40.529 Und dann hört es aber auch relativ schnell auf und es gibt irgendwie nur noch. 00:13:41.525 --> 00:13:43.800 Es gibt dann nur noch drei verschiedene oder so in höheren Dimensionen. 00:13:43.800 --> 00:13:44.434 Es ist weniger. 00:13:45.240 --> 00:13:48.047 Es ist so ein Spannungsfeld mit drei und vier. 00:13:48.047 --> 00:13:51.656 Und eben diese Polytop-Theorie beschäftigt sich im Prinzip mit den vierdimensionalen 00:13:51.656 --> 00:13:53.670 Polytopen, weil die so schwierig sind. 00:13:53.900 --> 00:13:56.604 Ja, ist verrückt. Da gibt es ja oft einmal so mathematische Phänomene, 00:13:56.604 --> 00:13:59.829 die sozusagen in kleinen Dimensionen irgendwie ganz verschieden sind. 00:13:59.829 --> 00:14:02.012 Und so ab sechs, sieben oder irgendwas, 00:14:02.012 --> 00:14:05.626 irgendeiner Zahl stabilisiert sich's und dann wird das Phänomen irgendwie 00:14:05.757 --> 00:14:08.230 leichter und erklärt. 00:14:10.502 --> 00:14:12.225 Also was kann man da für Erklärungen anbieten, 00:14:12.225 --> 00:14:15.991 weil irgendwie genug Platz ist, um irgendwas zu machen, hört man manchmal so. 00:14:15.991 --> 00:14:17.513 So Ad-Hoc-Erklärungen, 00:14:17.513 --> 00:14:19.295 wenn man genug Dimensionen zur Verfügung hat, 00:14:19.295 --> 00:14:22.301 dann kann man irgendwas machen, was man vorher nicht machen kann. 00:14:22.301 --> 00:14:23.573 Aber es ist schwer vorstellbar. 00:14:23.703 --> 00:14:26.808 Aber dieser 3-4-Unterschied, der lässt mich irgendwie nicht los. 00:14:26.808 --> 00:14:30.304 Also das ist doch irgendwie, wir leben ja nun mal in einer dreidimensionalen Welt. 00:14:30.915 --> 00:14:34.370 Und in einer dreidimensionalen Welt ist alles irgendwie... 00:14:35.100 --> 00:14:35.791 Einfach. 00:14:35.881 --> 00:14:39.264 Außer du glaubst an Stringtheorie, dann haben wir noch so Extradimensionen, 00:14:39.264 --> 00:14:39.984 die irgendwo aufgewickelt sind. 00:14:39.984 --> 00:14:41.486 Ja, das ist natürlich jetzt eine fundamentale Frage, 00:14:41.486 --> 00:14:44.488 die man vorher klären muss, ob wir wirklich in einer dreidimensionalen Welt leben. 00:14:44.488 --> 00:14:46.450 Also meine, sage ich mal so, 00:14:46.450 --> 00:14:53.525 meine tägliche Lebenswahrnehmung spricht jetzt das meiste für Dreidimensionen. 00:14:54.336 --> 00:14:56.007 Zumindest kann ich die anderen irgendwie nicht mit meinen... 00:14:56.298 --> 00:14:59.210 Die anderen sind da, wo die einzelnen Socken verloren gehen. 00:14:59.601 --> 00:15:00.635 Die einzelnen Socken? 00:15:00.767 --> 00:15:01.069 Ich dachte, 00:15:01.069 --> 00:15:03.166 die sind bei der Waschmaschine, wenn man da so... 00:15:03.166 --> 00:15:04.643 Ach so, die Waschmaschine frisst die. 00:15:04.643 --> 00:15:06.052 Die Waschmaschine kann die wirklich fressen. 00:15:06.052 --> 00:15:07.409 Da gab es mal so einen Mausfilm. 00:15:07.641 --> 00:15:10.497 Also wenn die da in diesem Auffang-Ding sind mit dem Gummi 00:15:10.587 --> 00:15:13.854 und dann ein Faden irgendwie so ganz komisch dazwischen geht, 00:15:13.854 --> 00:15:16.159 dann kann die so reingezogen werden und dann ist die Socke im Inneren. 00:15:16.159 --> 00:15:18.370 Vielleicht sollte ich die in der Waschmaschine suchen. 00:15:19.682 --> 00:15:20.664 Also ich glaube, 00:15:20.664 --> 00:15:23.973 das schien mir so, als ob das ein ziemlich seltenes Ereignis ist, aber es ging. 00:15:23.973 --> 00:15:25.600 Es wurde da demonstriert mit einer gläsernen Waschmaschine. 00:15:25.600 --> 00:15:27.950 Ist ja lustig. Also die hatten eine gläserne Waschmaschine, 00:15:27.950 --> 00:15:30.170 die das dann irgendwie, ja. 00:15:31.821 --> 00:15:32.262 Ja. 00:15:32.262 --> 00:15:36.082 Okay, also unsere dreidimensionale Wahrnehmung mindestens, ja, 00:15:36.414 --> 00:15:38.160 da sind viele Phänomene einfach nicht möglich. 00:15:38.160 --> 00:15:41.325 Also 3 und 4 ist ein fundamentaler Unterschied. 00:15:41.325 --> 00:15:44.531 Aber liegt das jetzt vielleicht nur daran, also ist das jetzt einfach Pech? 00:15:44.531 --> 00:15:47.115 Vierdimensionale können wir uns ja auch schwer vorstellen sozusagen. 00:15:47.115 --> 00:15:50.230 Man muss ja immer Technik entwickeln, um diese Beispiele zu. 00:15:51.600 --> 00:15:54.344 Da ist die Mathematik ja gut, in diesem Technik-Entwickeln, 00:15:54.344 --> 00:15:58.329 weil wir eben Dinge abstrahieren und mit abstrakten Methoden beschreiben, 00:15:58.329 --> 00:16:00.952 macht das oft formal einfach keinen Unterschied, 00:16:00.952 --> 00:16:04.557 ob wir ein Problem in Dimension 3, 4, 5, 17, 00:16:04.557 --> 00:16:06.950 eine Milliarde oder ich weiß nicht wieviel. 00:16:07.041 --> 00:16:10.582 Zumindest die Sprache und die Techniken, da ist das einfach nur irgendein Parameter. 00:16:10.582 --> 00:16:14.133 Genau, das ist halt irgendein Parameter n und jetzt für so Vektoren, 00:16:14.133 --> 00:16:16.080 die haben dann halt einfach mehr Einträge sozusagen. 00:16:16.080 --> 00:16:18.227 Da ist die Liste halt ein bisschen länger 00:16:18.227 --> 00:16:22.262 und für viele Techniken macht das keinen Unterschied. 00:16:22.262 --> 00:16:24.889 Also die sind erstmal verfügbar. 00:16:24.889 --> 00:16:27.576 Ob dann Sätze gelten, ist natürlich eine andere Frage. 00:16:27.576 --> 00:16:29.490 Das ist natürlich nicht immer der Fall. 00:16:30.161 --> 00:16:31.827 Für die Beschreibung 00:16:31.827 --> 00:16:35.330 der Probleme macht es oft tatsächlich überhaupt keinen Unterschied. 00:16:36.045 --> 00:16:38.930 Ob das jetzt 3 oder 4 ist oder irgendwas anderes. 00:16:39.763 --> 00:16:43.405 Ja, aber trotzdem, ich finde das immer erstaunlich, wenn das dann so kippt. 00:16:44.142 --> 00:16:48.163 Also man hat irgendwie so eine Vorstellung und dann gilt die halt nicht. 00:16:48.163 --> 00:16:50.684 Aber man kann sich auch nicht richtig erklären, wieso. 00:16:50.684 --> 00:16:53.710 Weil man nicht in der Lage ist, gute Gegenbeispiele zu bauen. 00:16:54.393 --> 00:16:57.272 Ja. Also ich kann auch einen draufsetzen. 00:16:57.542 --> 00:16:59.885 Also die Beschreibung von einem Polytope, die wir jetzt haben, 00:16:59.885 --> 00:17:01.997 wenn wir wirklich alle Polytope verstehen wollen, 00:17:02.207 --> 00:17:04.730 sind wir eigentlich doch mit dieser Kombinatorik noch nicht fertig. 00:17:04.730 --> 00:17:06.651 Denn die meisten Leute würden ja wahrscheinlich sagen, 00:17:06.651 --> 00:17:09.835 dass es einen Unterschied gibt zwischen einem echten Würfel, 00:17:09.835 --> 00:17:12.077