WEBVTT NOTE PGD045 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.241 --> 00:00:01.092 Hallo zusammen, 00:00:01.142 --> 00:00:03.978 hier ist Pi ist genau 3 mit unserer Folge 45 00:00:04.089 --> 00:00:06.093 und wir sind wieder die gleichen wie immer. 00:00:06.093 --> 00:00:08.859 Ich bin Thomas Kahle und auch dabei ist Petra Schwer. 00:00:08.859 --> 00:00:10.861 Hallo. Hallo Petra. Hi Thomas. 00:00:10.861 --> 00:00:11.782 Heute bist du dran. 00:00:11.782 --> 00:00:15.204 Du hast ein Thema für uns mitgebracht und ich bin schon gespannt. 00:00:15.204 --> 00:00:17.166 Genau, ich habe ein Thema mitgebracht. 00:00:17.166 --> 00:00:19.908 Ja, mal schauen, ob das das ist, was du für nächstes Mal schon im Kopf hast. 00:00:19.908 --> 00:00:20.859 Ich hoffe mal nicht. 00:00:20.869 --> 00:00:22.430 Ich habe schon vorgeplant. Du hast schon vorgeplant. 00:00:22.430 --> 00:00:24.232 Und jetzt habe ich natürlich Angst, dass es das gleiche ist. 00:00:24.232 --> 00:00:25.943 Jetzt glaube ich dem Thomas das Thema. 00:00:26.054 --> 00:00:29.036 Du kennst doch sicher so Preishaus schreiben und so Rätsel, 00:00:29.036 --> 00:00:33.269 wo dann so riesige Bonbon-Gläser rumstehen mit Erbsen gefüllt oder Murmeln und so. 00:00:33.300 --> 00:00:33.941 Ja. Ja. 00:00:33.941 --> 00:00:36.310 Man muss schätzen, wie viele da drin sind. 00:00:36.521 --> 00:00:38.245 Echt? Bei sowas habe ich noch nie mitgemacht und es ist auch nicht 00:00:38.245 --> 00:00:39.468 das Thema, was ich mir überlegt habe. 00:00:39.468 --> 00:00:41.352 Vielleicht. Also, wer weiß. Also, warte mal. 00:00:41.352 --> 00:00:42.775 Ein Preishaus schreiben, wo ich schätzen muss, 00:00:42.775 --> 00:00:44.862 wie viele Erbsen in einem riesengroßen Glas sind? 00:00:44.862 --> 00:00:48.151 Genau. Erbsen oder Murmeln oder Bonbons oder sowas, ne? 00:00:48.151 --> 00:00:49.956 Da muss man doch manchmal so schätzen. 00:00:49.956 --> 00:00:51.470 Wie könnte man da vorgehen? 00:00:51.883 --> 00:00:56.191 Äh, na ja. Man könnte versuchen, das auszurechnen. 00:00:56.302 --> 00:00:56.962 Ist das nicht so, 00:00:56.962 --> 00:01:01.506 ey, mich erinnert das an so eine Assessment Center von Unternehmensberatung oder so. 00:01:01.506 --> 00:01:04.828 Stellen Sie sich vor, Sie füllen ein Boeing 747 mit Tischtennisbällen. 00:01:04.828 --> 00:01:05.829 Wie viel passen da rein? 00:01:05.829 --> 00:01:07.550 Und zack, nach 30 Sekunden muss man die Antwort geben, 00:01:07.550 --> 00:01:09.832 sonst ist man nicht gut genug für die Boston Consulting Group oder so. 00:01:09.832 --> 00:01:10.332 Ja, 00:01:09.912 --> 00:01:11.333 nee, das möchte ich jetzt eigentlich nicht machen. 00:01:11.333 --> 00:01:14.155 Eigentlich wollte ich mit dir über Kugelpackungen und Orangen stapeln reden, 00:01:14.155 --> 00:01:15.716 aber ich dachte, das ist auch ein schöner Aufhänger. 00:01:15.716 --> 00:01:20.420 Also genau, man denkt irgendwie, äh, ja, die erste Approximation ist jede wieder... 00:01:21.321 --> 00:01:23.816 Kugel ist so ein kleiner Würfel. 00:01:23.927 --> 00:01:27.354 Und die Kugel, in der die drin sind, sind auch kleine Würfel, ist auch ein Würfel. 00:01:27.354 --> 00:01:30.281 Und dann kann man es eigentlich durch Division lösen. 00:01:30.281 --> 00:01:31.805 Ja, man kann irgendwie zählen, ne? 00:01:31.805 --> 00:01:34.661 Man kann so ein bisschen außen zählen, wie viele so übereinander sind. 00:01:34.832 --> 00:01:36.717 Und dann, wenn man es hochheben darf, könnte man zählen, 00:01:36.717 --> 00:01:38.023 wie viele unten auf dem Boden sitzen. 00:01:38.023 --> 00:01:40.790 Ja. Und wie viel Größenordnung legt man dann falsch? 00:01:40.923 --> 00:01:45.150 Genau, das will ich heute in dieser Episode einmal versuchen rauszuholen. 00:01:45.485 --> 00:01:47.157 Wie viel Größenordnung man dann falsch legt. 00:01:47.157 --> 00:01:47.870 Aha. 00:01:48.123 --> 00:01:51.780 Genau. Also ich möchte mit dir über das optimale Kugelstapeln sprechen. 00:01:51.780 --> 00:01:52.372 Mhm. 00:01:53.430 --> 00:01:54.697 Kennst du wahrscheinlich das Problem, ne? 00:01:54.697 --> 00:01:56.327 Ja. Das ist ein sehr, sehr altes Problem. 00:01:56.327 --> 00:02:00.530 Über 400 Jahre alt. Auch als die Kepler'sche Vermutung bekannt. 00:02:00.542 --> 00:02:02.813 Angefangen hat das mit dem Kanonenstapeln tatsächlich. 00:02:02.813 --> 00:02:04.062 Ist nicht mehr so zeitgemäß, ne? 00:02:04.062 --> 00:02:06.553 Ich dachte immer Orangen auf dem Markt oder so Früchte, 00:02:06.553 --> 00:02:07.538 Früchte die irgendwie rund sind. 00:02:07.538 --> 00:02:07.863 Genau. 00:02:07.863 --> 00:02:10.198 Aber historisch kommt es tatsächlich sozusagen wie vieles… 00:02:10.198 --> 00:02:10.698 Aber es gab doch 00:02:10.206 --> 00:02:11.660 Früchte vor Kanonen. 00:02:11.660 --> 00:02:14.723 Ja, die haben wahrscheinlich auch schon, bevor sie die Kanonen gestapelt haben, 00:02:14.723 --> 00:02:16.725 die Äpfel so gestapelt. Genau. 00:02:16.725 --> 00:02:18.766 Aber da gab es eben einen, der herausfinden wollte, 00:02:18.766 --> 00:02:20.968 wie man die besonders platzsparend stapeln kann. 00:02:20.968 --> 00:02:21.468 Und 00:02:22.349 --> 00:02:24.031 dieser Mathematiker, der damit beauftragt war, 00:02:24.031 --> 00:02:25.532 der hat sich dann eben an Kepler gewandt, 00:02:25.532 --> 00:02:27.814 der sich auch gerade mit der Frage beschäftigt hat, 00:02:27.814 --> 00:02:30.386 warum Schneeflocken genau sechseckig sind. 00:02:30.996 --> 00:02:34.960 Was, wie man jetzt auch vielleicht in den nächsten 30 Minuten noch erfährt, 00:02:34.960 --> 00:02:36.844 dasselbe Problem in Dimension 2 ist. 00:02:37.362 --> 00:02:38.125 Aber warte mal, Kepler, 00:02:38.125 --> 00:02:42.810 Kepler verbinde ich irgendwie mit so Astro-Berechnungen irgendwie. 00:02:43.243 --> 00:02:44.147 Genau, der war Physiker, 00:02:44.147 --> 00:02:45.070 aber auch Mathematiker und 00:02:45.070 --> 00:02:46.798 der hat unter anderem halt sich auch um dieses Kugelpackungsproblem. 00:02:46.798 --> 00:02:48.690 Damals waren wir wahrscheinlich noch alles. 00:02:48.742 --> 00:02:50.969 Ja, da gab es ja viele so Universalgelehrte, 00:02:50.969 --> 00:02:54.742 die irgendwie gleichzeitig Philosoph, Mathematiker, Physiker waren. 00:02:54.742 --> 00:02:56.025 Und die Kommunikation war nicht so gut. 00:02:56.025 --> 00:02:57.409 Das heißt, wenn man irgendwen kannte, 00:02:57.409 --> 00:03:02.090 der sich mit Wissenschaft auskannte, dann kann man den erstmal fragen. 00:03:02.942 --> 00:03:04.652 Okay, also das heißt Kepler-Problem? 00:03:04.652 --> 00:03:05.921 Kepler'sche Vermutung hieß das, genau. 00:03:05.921 --> 00:03:07.801 Aber was ist denn die Vermutung? 00:03:07.801 --> 00:03:11.007 Also die Vermutung ist, dass das Orangenstapeln tatsächlich optimal ist. 00:03:11.007 --> 00:03:15.223 Ja, dass wenn man versucht, Kugeln in den dreidimensionalen Raum zu packen, 00:03:15.534 --> 00:03:19.001 dass dann so wie eben die Orangen in der Kiste liegen, 00:03:19.001 --> 00:03:20.727 oder die Äpfel auf dem Teller. 00:03:20.727 --> 00:03:21.831 Also man macht erstmal eine Schicht, 00:03:21.831 --> 00:03:24.164 vielleicht haben wir noch nicht alle Kugeln gestapelt. 00:03:24.164 --> 00:03:24.664 Ja, 00:03:24.667 --> 00:03:26.076 Tennis. Man macht erstmal eine Schicht. 00:03:26.076 --> 00:03:29.709 Genau. Und dann von oben sieht das dann so aus wie lauter Kreise, 00:03:29.709 --> 00:03:32.485 die man so nebeneinander legt, 00:03:32.535 --> 00:03:35.462 dass man so eine gerade Linie Man kann eigentlich so ein, nee, 00:03:35.462 --> 00:03:36.305 wie soll ich das sagen, so ein Gitter. 00:03:36.305 --> 00:03:37.228 Also kannst du einfacher beschreiben. 00:03:37.228 --> 00:03:40.909 Du legst einen Apfel in die Mitte oder eine Orange und sechs außenrum. 00:03:41.221 --> 00:03:44.471 Da kann man sich relativ leicht überlegen, dass wenn die alle gleich groß sind, 00:03:44.471 --> 00:03:45.916 dass das die optimale Zahl ist. 00:03:45.916 --> 00:03:47.221 Aha, sechs passen außenrum. 00:03:47.221 --> 00:03:48.843 Genau, es passen genau sechs außenrum. 00:03:48.843 --> 00:03:50.066 Ich habe nämlich gerade heute, 00:03:50.066 --> 00:03:51.037 das ist ja Zufall, 00:03:51.047 --> 00:03:52.910 ich habe nämlich gerade heute wegen irgendeiner Übungsaufgabe, 00:03:52.910 --> 00:03:53.752 die war ein bisschen anders, 00:03:53.752 --> 00:03:55.244 aber habe ich es trotzdem gemacht, 00:03:55.294 --> 00:03:58.620 habe ich die Kantenlängen von den N-Ecken betrachtet. 00:03:58.620 --> 00:03:59.422 Aus irgendeinem Grund habe ich heute 00:03:59.422 --> 00:04:01.348 die Kantenlängen von einem regulären N-Eck betrachtet 00:04:01.348 --> 00:04:02.239 und ich habe mich gefragt, 00:04:02.511 --> 00:04:06.110 wann die Kantenlänge zum ersten Mal mehr als 2 durch Wurzel 5 ist. 00:04:06.240 --> 00:04:10.449 Und das ist tatsächlich für das 7-Eck der Fall und da ist mir auch aufgefallen, 00:04:10.449 --> 00:04:15.329 dass das 6-Eck die Kantenlänge 1 hat, wenn das im Einheitskreis einbeschrieben ist. 00:04:15.442 --> 00:04:20.623 Und das hat doch damit zu tun, also wenn ich dann diese, der eine Apfel hat 6, naja. 00:04:20.623 --> 00:04:22.190 Dann müsste ich jetzt nochmal ein bisschen Papier nehmen. 00:04:22.243 --> 00:04:25.211 Also warum das mit 6 Ecken gut geht, liegt unter anderem daran, 00:04:25.211 --> 00:04:28.342 dass du halt mit 6 Ecken die Ebene paketieren kannst. 00:04:28.342 --> 00:04:30.496 Also wenn du mit, 00:04:30.506 --> 00:04:32.350 also man kann sich ja vielleicht leicht vorstellen, 00:04:32.350 --> 00:04:35.758 wenn man ein gleichseitiges Dreieck nimmt oder ein gleichseitiges Viereck, 00:04:35.758 --> 00:04:36.802 also ein Würfel, 00:04:36.802 --> 00:04:40.834 dass man dann die Ebene komplett lückenlos damit ausfüllen kann, 00:04:40.834 --> 00:04:43.027 indem immer Seiten aneinander grenzen. 00:04:43.027 --> 00:04:47.232 Jetzt mit 5 Ecken geht es zum Beispiel nicht, aber mit 6 Ecken geht es wieder. 00:04:47.763 --> 00:04:49.524 Und mit größeren geht es dann nicht mehr. 00:04:49.524 --> 00:04:51.986 Also wenn die 7, 8 und so weiter, geht nicht mehr. 00:04:51.986 --> 00:04:54.908 Okay. Und wenn ich von oben drauf gucke auf meine erste Schicht Äpfel? 00:04:54.908 --> 00:04:56.129 Genau, dann sieht das quasi aus, 00:04:56.129 --> 00:04:58.892 als würdest du an jeder Ecke von dem 6-eckigen Apfel hinlegen und in 00:04:58.892 --> 00:04:59.962 die Mitte noch einen. 00:05:00.473 --> 00:05:01.714 Ja, verstehe. Ja, 00:05:01.714 --> 00:05:05.117 genau. Also so ist es. Und dann diese 6 Ecke packetieren die Ebene. 00:05:05.117 --> 00:05:09.330 Das heißt, du kannst einfach lückenlos sozusagen diese 6-eckigen Apfel 00:05:09.800 --> 00:05:11.612 Anordnungen nebeneinander legen. 00:05:12.023 --> 00:05:16.339 So und die nächste Schicht, die geht quasi so pyramidenförmig drauf. 00:05:16.409 --> 00:05:19.803 Also du legst dann in jede zweite Lücke, weil es anders nicht passt, 00:05:20.034 --> 00:05:20.815 wieder einen Apfel. 00:05:20.815 --> 00:05:24.399 Ja, also immer sozusagen, wo 3 Äpfel aneinander grenzen, da passt ein Apfel rein. 00:05:24.399 --> 00:05:24.899 ein. 00:05:25.420 --> 00:05:28.743 In die Löcher, in die Vertiefungen, die da so entstehen. 00:05:28.743 --> 00:05:31.045 Genau. Also wenn man den quasi irgendwo drauflegen würde, 00:05:31.045 --> 00:05:33.047 dann würde der auch reinkullern da. 00:05:33.047 --> 00:05:34.848 Wenn man das in einer Kiste macht zum Beispiel, 00:05:34.848 --> 00:05:37.620 denn so Orangen kommen manchmal in so Holzkisten, 00:05:37.670 --> 00:05:40.192 dann kullern die sozusagen automatisch in diese Lücke rein, 00:05:40.192 --> 00:05:41.173 weil da einfach Platz ist. 00:05:41.173 --> 00:05:44.056 Aber dann schafft man es nicht, in jede dieser Lücken eins reinzufüllen, 00:05:44.056 --> 00:05:47.488 einfach weil der Durchmesser, der Radius zu groß ist von den Äpfeln. 00:05:47.539 --> 00:05:49.261 Und du lässt quasi immer welche frei. 00:05:49.261 --> 00:05:52.801 Also wenn du die zweite Schicht drauflegst, siehst du die untersten noch durch. 00:05:52.801 --> 00:05:55.651 Und die berühren sich dann in der zweiten Schicht, 00:05:55.651 --> 00:05:57.296 berühren die sich dann nicht mehr? 00:05:57.296 --> 00:05:58.182 Oder nur wenige? Nee, 00:05:58.182 --> 00:06:00.400 die berühren sich, glaube ich, gar nicht mehr. 00:06:00.712 --> 00:06:02.603 Und die dritte Schicht, die ist dann wie die erste. 00:06:02.603 --> 00:06:04.034 Sieht wieder aus wie die erste. 00:06:04.034 --> 00:06:05.130 Okay, verstehe. 00:06:05.501 --> 00:06:08.967 Und wenn man das einfach auf dem freien Tisch oder so so stapelt, 00:06:08.967 --> 00:06:10.731 kann man da eben so Pyramiden stapeln. 00:06:10.731 --> 00:06:14.238 Man kann entweder mit einem Sechseck oder auch mit einem Rechteck anfangen 00:06:14.238 --> 00:06:15.300 und dann eben so Pyramiden stapeln. 00:06:15.300 --> 00:06:16.067 Und dann mache ich nur die Löcher, 00:06:16.067 --> 00:06:17.978 die dann entstanden sind oder mache ich es immer kleiner nach oben hin. 00:06:17.978 --> 00:06:19.380 Genau. Das kennt man ja vom Obststand. 00:06:19.380 --> 00:06:22.550 Genau. Das würde ich sagen, hat man schon mal im Obststand gesehen. 00:06:23.062 --> 00:06:26.573 Ich würde auch sagen, dass Kepler das schon mal am Obststand gesehen hat. 00:06:26.573 --> 00:06:28.158 Und so lagen halt auch die Kanonen da rum. 00:06:28.158 --> 00:06:28.363 So, 00:06:28.363 --> 00:06:30.250 und die Vermutung ist jetzt? 00:06:30.368 --> 00:06:31.462 Besser geht's nicht. 00:06:31.462 --> 00:06:37.661 Also nicht pro Kiste kriegt man mit keiner anderen Packung mehr Früchte rein. 00:06:37.661 --> 00:06:40.626 Genau. Und zwar egal, wie die Kiste aussieht. 00:06:40.626 --> 00:06:41.989 Man kann sich ja vorstellen, 00:06:41.989 --> 00:06:44.834 man hat immer so ein bisschen Versatz am Rand der Kiste, 00:06:44.834 --> 00:06:48.250 weil halt der Durchmesser des Apfels vielleicht nicht der Länge der … 00:06:48.481 --> 00:06:51.145 Egal wie es aussieht? Genau. Also du kriegst … 00:06:51.145 --> 00:06:51.996 Ist die Vermutung? 00:06:52.086 --> 00:06:53.609 Nee, die Vermutung ist einfach, dass du, 00:06:53.609 --> 00:06:56.714 wenn du das sozusagen auf den R hoch 3 hochziehst, 00:06:56.714 --> 00:07:01.150 also du könntest unendlich weit Kugeln stapeln in alle Richtungen. 00:07:01.460 --> 00:07:05.066 Dass du dann die dichteste Packung kriegst, in dem Sinne, 00:07:05.066 --> 00:07:08.720 dass wenn du das Volumen der gestapelten Orangen 00:07:08.971 --> 00:07:15.042 teilst durch das Gesamtvolumen, dass das der größtmögliche Quotient eben wird. 00:07:15.042 --> 00:07:19.415 Also der größtmögliche Anteil des Raumes ist dann mit Kugeln gefüllt, 00:07:19.415 --> 00:07:21.450 wenn man sie so reinpackt. 00:07:21.601 --> 00:07:22.943 Aber man könnte sich ja trotzdem vorstellen, 00:07:22.943 --> 00:07:27.631 dass bei ganz bestimmten Packungen irgendwie das doch ganz anders ist. 00:07:27.631 --> 00:07:28.352 Also die… 00:07:28.352 --> 00:07:30.596 Also wenn man ein ähnliches Volumen fix vorgibt, 00:07:30.596 --> 00:07:32.960 dann kann es schon passieren, dass es irgendeine andere Variante gibt. 00:07:32.960 --> 00:07:33.502 Also vielleicht nicht ganz anders, 00:07:33.502 --> 00:07:37.540 aber wenn ich so eine längliche Packung habe, die irgendwie… 00:07:37.831 --> 00:07:40.256 Da muss ich sie ja einfach hintereinander tun, 00:07:40.256 --> 00:07:42.182 wenn sie überhaupt reinpassen und also… 00:07:42.182 --> 00:07:44.530 Genau, also wenn du so einen Weinflaschenbehälter nimmst, 00:07:44.530 --> 00:07:46.958 dann kannst du einfach die Äpfel aufeinander stapeln. 00:07:46.958 --> 00:07:47.462 Genau. Ja, 00:07:47.462 --> 00:07:47.962 so. 00:07:49.340 --> 00:07:49.761 Okay. 00:07:49.761 --> 00:07:51.063 Genau. Nee, aber also 00:07:51.063 --> 00:07:53.586 wenn man sozusagen das als unendliches Problem betrachtet, 00:07:53.586 --> 00:07:57.231 dass man einfach den kompletten R hoch 3 vollpacken wollen würde mit Äpfeln, 00:07:57.231 --> 00:08:00.596 dann ist das eben die dichtestmögliche Packung und man kriegt auf diese Weise 00:08:00.596 --> 00:08:02.328 die meisten Äpfel in den R hoch 3. 00:08:02.358 --> 00:08:03.890 Oder Orangen oder… 00:08:03.902 --> 00:08:06.283 Äpfel sind ja nicht so ganz rund, deswegen denke ich immer gerne an Orangen. 00:08:06.283 --> 00:08:07.943 Orangen ist besser, ne? 00:08:07.954 --> 00:08:09.542 Tennisbälle. Ist das auch irgendwie, 00:08:09.542 --> 00:08:13.057 wenn man jetzt so physikalisch denkt, ist das auch irgendwie physikalisch stabil? 00:08:13.167 --> 00:08:16.892 Also wenn ich jetzt eine Kiste habe mit Orangen und ich schmeiß 00:08:16.892 --> 00:08:18.014 die einfach nur so rein, 00:08:18.014 --> 00:08:20.357 also ich hab eine Kiste, will die mit Orangen füllen und ich schmeiß die, 00:08:20.357 --> 00:08:22.510 sagen wir mal die sind jetzt, werden jetzt nicht matschig davon. 00:08:23.084 --> 00:08:25.706 Hab ich auch was dazu. Ich werf die einfach mal so… 00:08:26.320 --> 00:08:31.632 rein, würde sich dann dieser Zustand auch zumindest irgendwie von selbst annähern? 00:08:31.632 --> 00:08:34.379 Ist da irgendwie, oder wenn ich die rein tue und dann kräftig schüttle, 00:08:34.379 --> 00:08:34.820 würden die sich so anordnen? Genau, 00:08:34.820 --> 00:08:37.325 also das ist wohl, beim Schütteln ordnet sich das so an. 00:08:37.325 --> 00:08:41.312 Es gibt auch so in der Chemie so Kristallstrukturen, die so angeordnet sind. 00:08:41.312 --> 00:08:43.535 Da hat man das schon beobachtet, deshalb war ein, 00:08:43.535 --> 00:08:46.300 das war ein Hint sozusagen, warum man dachte, dass das eben… 00:08:46.300 --> 00:08:49.198 Ja, ja, genau. Also quasi so eine Art physikalische Intuition für die Vermutung, 00:08:49.198 --> 00:08:51.383 ja? Genau, Chemiker. Chemikalische wahrscheinlich sogar, ne? 00:08:51.383 --> 00:08:54.157 So Molekülanordnungen, die dann so gepackt sind. 00:08:54.468 --> 00:08:56.381 Genau. Ich habe einiges noch zu der Geschichte 00:08:57.353 --> 00:09:00.761 von dem Beweis von dem Ding. Also es ist inzwischen bewiesen, diese Vermutung. 00:09:00.761 --> 00:09:01.633 Aber das ist doch so ein, 00:09:01.905 --> 00:09:03.550 wenn ich mich entsinne, so ein Beweis, 00:09:03.550 --> 00:09:06.621 der ziemlich lang und kompliziert ist und Computer noch benutzt und alles mögliche. 00:09:06.621 --> 00:09:06.722 So, 00:09:06.722 --> 00:09:07.806 mal erst darüber reden, 00:09:07.806 --> 00:09:10.637 weil ich wollte auch dasselbe Problem in Dimension 2 nochmal… 00:09:10.637 --> 00:09:11.427 Ah ja, 00:09:11.427 --> 00:09:12.900 naja, das ist vielleicht ganz gut. 00:09:12.900 --> 00:09:14.483 Dann gucken wir erstmal Dimension 2 an. 00:09:14.483 --> 00:09:17.327 Also vielleicht erstmal dieses Problem kann man natürlich sich für beliebige 00:09:17.327 --> 00:09:20.582 R hoch Ns fragen, ja? Also beliebig dimensionale Räume. 00:09:20.612 --> 00:09:23.156 Also in Dimension 1 ist irgendwie klar, ne? 00:09:23.156 --> 00:09:25.360 Da ist eine eindimensionale Orange, ist einfach so ein Strich. 00:09:25.360 --> 00:09:25.860 Äh, 00:09:26.274 --> 00:09:26.930 ja. 00:09:26.944 --> 00:09:28.856 Und die kann man halt nahtlos nebeneinander setzen. 00:09:28.856 --> 00:09:29.164 Ja, 00:09:29.164 --> 00:09:30.841 wenn die schält, muss man nur so zwei Punkte entfernen. 00:09:30.841 --> 00:09:33.146 Ja, genau. Und da ist irgendwie klar, sozusagen, 00:09:33.146 --> 00:09:35.050 das kriegt man zu 100 Prozent gefüllt, ne? 00:09:35.050 --> 00:09:36.833 Wenn die sich berühren dürfen an der Schale. 00:09:36.833 --> 00:09:38.606 Gut, also das ist einfach zu lösen. 00:09:38.737 --> 00:09:39.468 Dimension 2… 00:09:40.760 --> 00:09:43.742 ist tatsächlich diese Sechseckpackung, also die erste Schicht, 00:09:43.742 --> 00:09:45.794 die wir vorhin beschrieben haben, die optimale. 00:09:45.804 --> 00:09:49.376 Und da kann man auch relativ gut ausrechnen – und nur da kommen deine Seitenlängen 00:09:50.487 --> 00:09:54.660 von der linearen Algebra mit ins Spiel – was für eine Dichte das hat. 00:09:55.891 --> 00:09:59.474 Man kann das nämlich… da kann man nämlich das wirklich einfach mit der Sechseck… 00:09:59.474 --> 00:10:01.996 Einfach vergleich von einem Sechseck zu einem Kreis. 00:10:01.996 --> 00:10:04.087 Genau. Zu dem Kreis, der da drin liegt, dem größten Kreis. 00:10:04.117 --> 00:10:04.828 Ja. 00:10:04.858 --> 00:10:06.359 Also man muss sich halt ausrechnen, was der… 00:10:06.359 --> 00:10:07.840 Die Sechsecke packen dicht… 00:10:07.840 --> 00:10:10.022 Genau, die Sechsecke packen 100% dicht. 00:10:10.022 --> 00:10:12.344 Also habe ich eine Orange pro Sechsecke, 00:10:12.344 --> 00:10:14.386 also so eine Kreisorange und dann weiß ich, 00:10:14.386 --> 00:10:16.658 wie viel das Verhältnis von dem Kreis zu dem 00:10:18.250 --> 00:10:18.870 Sechsecke ist. 00:10:18.870 --> 00:10:20.272 Genau, da muss man sich einmal überlegen, 00:10:20.272 --> 00:10:24.716 dass der Durchmesser von so einer kreisförmigen zweidimensionalen Orange 00:10:24.716 --> 00:10:29.830 jetzt gerade zweimal die Höhe von einem Dreieck ist. 00:10:30.963 --> 00:10:31.925 Das so gewählt ist, 00:10:31.925 --> 00:10:36.821 dass das Sechseck sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt. 00:10:36.821 --> 00:10:40.977 Wenn man die Mitte des Sechseck nimmt, also den Mittelpunkt des Sechseck, 00:10:41.208 --> 00:10:43.592 und das zu allen Ecken des Sechsecks verbindet, 00:10:43.592 --> 00:10:48.930 dann zerlegt man das Sechseck in genau sechs gleichgroße, gleichseitige Dreiecke. 00:10:49.541 --> 00:10:51.688 Und die Höhe von diesem Dreieck ist genau 00:10:51.688 --> 00:10:55.510 der Radius von dem größtmöglichen Kreis, der da reinpasst in das Sechseck. 00:10:55.803 --> 00:10:57.388 Und dann kann man sich eben ausrechnen, 00:10:57.388 --> 00:10:59.474 was für einen Flächeninhalt hat der Kreis, 00:10:59.474 --> 00:11:01.463 was für einen Flächeninhalt hat das Sechseck. 00:11:01.463 --> 00:11:05.469 Und dann kriegt man raus, dass das Pi durch zweimal Wurzel 3 ist, das Verhältnis. 00:11:05.469 --> 00:11:06.446 Kommt halt irgendwie raus. 00:11:06.446 --> 00:11:08.001 Genau, das sind irgendwie 90 Prozent. 00:11:08.001 --> 00:11:08.616 90 Prozent? 00:11:09.001 --> 00:11:10.034 Ja, 00:11:10.034 --> 00:11:10.669 ungefähr. 00:11:11.121 --> 00:11:11.704 Da bestimmt auch, 00:11:11.704 --> 00:11:13.230 also wenn ich jetzt einen Tipp abgeben müsste, 00:11:13.230 --> 00:11:15.563 gibt es da bestimmt irgend so einen Dimensionsfluch. 00:11:15.563 --> 00:11:17.231 Das heißt, wenn die Dimension hochgeht, 00:11:17.231 --> 00:11:22.184 wenn ich jetzt Kugeln packe in hoher Dimension, wird es total ineffizient. 00:11:22.184 --> 00:11:23.149 Ich weiß es nicht mehr genau, 00:11:23.149 --> 00:11:25.102 aber da gibt es schöne Grafiken, kann man noch verlinken. 00:11:25.102 --> 00:11:28.902 Also da gibt es wirklich auch so statistische Erhebungen, die man machen kann. 00:11:28.902 --> 00:11:31.533 Weil man kennt natürlich viele Packungen, von denen man nicht weiß, 00:11:31.533 --> 00:11:33.283 ob die optimal sind oder nicht. 00:11:33.283 --> 00:11:36.022 Und da kann man schon so obere und untere Schranken ausrechnen 00:11:36.274 --> 00:11:37.421 für die optimalen Packungen. 00:11:37.421 --> 00:11:42.290 Und das wird tatsächlich tendenziell ineffizienter, je größer die Dimension wird. 00:11:42.784 --> 00:11:46.261 Wie ist es eigentlich das Verhältnis von Würfel Achso, 00:11:46.261 --> 00:11:47.645 das ist ja so ein Sechseck, naja. 00:11:47.645 --> 00:11:49.580 Okay, also das führt irgendwie nichts mit der Würfel. 00:11:49.671 --> 00:11:52.769 Ich denke immer an den Würfel, aber das führt glaube ich zu nichts mit dem Würfel. 00:11:52.781 --> 00:11:54.885 Naja, also man kann ja Würfelpackungen auch genauso machen. 00:11:54.885 --> 00:11:58.751 Du kannst den R-Quadrat paketieren mit gleichseitigen Vierecken, 00:11:58.751 --> 00:12:00.554 also Würfeln und dann Kreise rein, 00:12:00.554 --> 00:12:03.741 aber dann hast du weniger prozentual wie mit den Sechsecken. 00:12:03.741 --> 00:12:05.628 Ja, weil ich diese verschwende, dass die sozusagen, 00:12:05.628 --> 00:12:08.889 weil ich dann so große Lücken an den Ecken von den 00:12:10.040 --> 00:12:10.771 Vierecken. 00:12:10.942 --> 00:12:12.505 Wenn man jetzt so Kekse aufs Blech legt, 00:12:12.505 --> 00:12:14.848 dann legt man die auch immer so versetzt in der zweiten Reihe, 00:12:14.848 --> 00:12:16.080 weil dann mehr drauf passen. 00:12:16.591 --> 00:12:19.055 Wenn man die wirklich so schön symmetrisch drauf legt, 00:12:19.055 --> 00:12:20.868 dann kriegt man weniger aufs Blech. 00:12:21.299 --> 00:12:24.492 Okay. Okay. Also 2D haben wir ganz verstanden. 00:12:24.523 --> 00:12:27.245 3D, erzählen wir gleich noch was über den Beweis? 00:12:27.245 --> 00:12:30.268 Genau. Dann gibt es erst wieder 8 und 24, wo man weiß. 00:12:30.268 --> 00:12:32.851 Was ist 8 und 24? Da weiß man, was die optimale Packung ist? 00:12:32.851 --> 00:12:34.933 Ja, genau. Da weiß man, was die optimale Packung ist. 00:12:34.933 --> 00:12:36.174 Und das sind die Zweipotenzen? 00:12:36.174 --> 00:12:38.416 Nee, Moment. Als ich das letzte Mal geprüft habe, waren 24 keine Zweipotenzen. 00:12:38.416 --> 00:12:42.401 Nee, 3 ist keine. 3 ist auch keine Zweipotenzen. 00:12:42.401 --> 00:12:44.548 Ach so, stimmt. 3 ist auch keine Zweipotenzen. 00:12:44.548 --> 00:12:46.805 2 Potenzen minus 1. Also 3, 8, 24. 00:12:46.836 --> 00:12:47.996 Wie geht die Folge weiter? 2, 3, 8, 24. 00:12:48.860 --> 00:12:49.525 Ach so, 00:12:49.525 --> 00:12:50.278 2 auch. 2, 3, 8, 24. 00:12:51.300 --> 00:12:54.318 Ja. Okay. Und das sind alle? Oder weiß man noch mehr? 00:12:54.318 --> 00:12:56.066 Das sind alle. Genau. 00:12:56.066 --> 00:12:57.746 Okay. Wir wissen sehr wenig über 00:12:58.000 --> 00:13:00.946 … Genau. Bei 8 ist es dieses E8-Gitter. 00:13:00.946 --> 00:13:02.028 Wer das schon mal gehört hat, 00:13:02.028 --> 00:13:05.063 das hat was mit Spiegelungsgruppen in höheren Dimensionen zu tun. 00:13:05.233 --> 00:13:07.717 Und in 24 ist es, glaube ich, der Leach-Lattice, 00:13:07.717 --> 00:13:08.759 wenn ich mir das richtig gemerkt habe. 00:13:08.759 --> 00:13:14.961 Okay. Ja. Das ist irgendwie rückführbar auf das 8er-Problem, das 24er. 00:13:15.112 --> 00:13:17.657 Ist auch die gleiche Autorin. Das war … 00:13:17.657 --> 00:13:19.280 Ich habe mir das rausgeschrieben … 00:13:19.280 --> 00:13:20.051 In 2016 00:13:22.663 --> 00:13:24.385 Marina Wiazowska. 00:13:24.385 --> 00:13:27.108 Und ist das neu oder nutzt das, dieses dreidimensionale Resultat? 00:13:27.108 --> 00:13:29.370 Das dreidimensionale Resultat ist … 00:13:29.370 --> 00:13:30.380 Ja, das ist ganz spannend. 00:13:30.431 --> 00:13:37.077 Das hat Thomas Hales 1998 hat er tatsächlich einen Beweis angekündigt für 00:13:37.077 --> 00:13:40.650 das dreidimensionale Resultat, nachdem er … 00:13:40.860 --> 00:13:45.474 ist ganz lustig gewesen, 1994 hat er nach eigenen Aussagen damit angefangen, 00:13:45.864 --> 00:13:48.046 daran angefangen zu arbeiten und hat, 00:13:48.046 --> 00:13:50.398 weil das das Jahr der Kugel war anscheinend, 00:13:50.648 --> 00:13:53.420 dieses komplette Jahr diesem Problem gewidmet 00:13:53.671 --> 00:13:57.243 und hatte dann irgendwie im November wohl die entscheidende Idee, 00:13:57.434 --> 00:13:59.165 mit der er das dann ausgearbeitet hat. 00:13:59.695 --> 00:14:04.019 Genau, aber das sind wohl 300 Seiten und 50.000 Zeilen in Code. 00:14:04.019 --> 00:14:05.861 Und der Code ist auch nicht … … 00:14:05.861 --> 00:14:08.190 Experiment oder so, sondern der Code ist Teil des Beweises, 00:14:08.190 --> 00:14:11.270 weil der Computer irgendwelche Fallunterscheidungen nachprüfen muss. 00:14:11.603 --> 00:14:14.879 Genau. Also es sind irgendwie 18.000 Fälle, die man da abklopfen muss, 00:14:15.251 --> 00:14:16.574 größenordnungsmäßig, 00:14:16.574 --> 00:14:19.730 und der Computer hilft halt, diese Fallunterscheidung zu machen. 00:14:20.462 --> 00:14:20.924 Also du kennst mich, 00:14:20.924 --> 00:14:22.289 ich bin ein großer Freund von Computern 00:14:22.289 --> 00:14:24.618 und ich traue dem Teil des Beweises mehr als den anderen 300 Seiten. 00:14:24.618 --> 00:14:29.829 Genau. Aber es ist natürlich wieder so eine Frage, ob man dem jetzt glaubt. 00:14:30.062 --> 00:14:33.360 Also meine Probleme sind immer sozusagen bei den 300 00:14:33.391 --> 00:14:36.279 menschengeschriebenen Seiten und bei den Ideen, die dann dazu führen. 00:14:36.279 --> 00:14:37.443 Ich kann mir schon vorstellen, 00:14:37.443 --> 00:14:40.389 dass das Computerprogramm korrekt läuft, da habe ich kein Problem mit, 00:14:40.389 --> 00:14:45.226 aber ob das sozusagen hinreichend ist, kann ich nicht einschätzen. 00:14:45.226 --> 00:14:46.830 Aber das ist natürlich auch... 00:14:47.700 --> 00:14:49.622 Ja, wurde das denn solide geprüft? 00:14:49.622 --> 00:14:50.083 Also... 00:14:50.083 --> 00:14:51.224 Genau, das war das nächste Problem. 00:14:51.224 --> 00:14:53.746 Also da hat es natürlich eingereicht bei Annals of Mathematics, ne? 00:14:53.746 --> 00:14:56.829 400 Jahre altes Problem gelöst und so. 00:14:56.829 --> 00:14:59.541 Und dann haben die wohl sieben Jahre das begutachtet. 00:15:00.813 --> 00:15:04.576 Und sind, also irgendwie mit einem Team von zehn, zwölf Mathematikern... 00:15:04.576 --> 00:15:06.158 Also ich meine, meine Deadline ist ja immer, 00:15:06.158 --> 00:15:09.030 wenn ich so was zu einem Journal schicke und ich höre nach... 00:15:09.221 --> 00:15:11.838 In einem halben Jahr nichts, dann frage ich nochmal nach. 00:15:12.611 --> 00:15:15.038 Aber er hatte wahrscheinlich auch nachgefragt und dann haben sie gesagt, ja, 00:15:15.038 --> 00:15:15.769 dauert ein bisschen. 00:15:16.040 --> 00:15:18.022 Genau, also so stelle ich mir das vor. 00:15:18.022 --> 00:15:19.604 Der wird jedes Jahr mal hingeschrieben haben, 00:15:19.604 --> 00:15:21.315 wie sieht es denn aus mit meinem Beweis? 00:15:21.645 --> 00:15:22.987 Und dann, ja, ja, genau. 00:15:22.987 --> 00:15:24.708 Und am Ende gab es dann so eine Aussage wie, 00:15:24.708 --> 00:15:26.710 ja, wir sind uns 99 Prozent sicher, 00:15:26.710 --> 00:15:29.413 dass der Beweisansatz richtig ist und deshalb drucken wir das ab. 00:15:29.413 --> 00:15:31.375 Und es war halt irgendwie super unbefriedigend, 00:15:31.375 --> 00:15:34.517 weshalb der Hales sich auf den Weg gemacht hat und 00:15:34.517 --> 00:15:37.490 das mit einem formalen Beweischecker überprüft hat. 00:15:37.502 --> 00:15:39.015 Das ist formalisiert, der Beweis? 00:15:39.015 --> 00:15:41.534 Ja. Oh, fantastisch. Na dann glaube ich. 00:15:41.534 --> 00:15:42.801 Na dann ist das ja klar. 00:15:42.801 --> 00:15:44.345 Genau, weil der sagte selber, okay, 00:15:44.345 --> 00:15:45.949 also wenn die Referis das nicht hinkriegen, 00:15:45.949 --> 00:15:48.234 ich selber kann meine Hand auch nicht ins Feuer legen, 00:15:48.234 --> 00:15:51.010 dass ich auf den 300 Seiten nicht irgendwo einen Fehler gemacht habe. 00:15:51.284 --> 00:15:53.622 Aber ich will mir sicher sein, dass diese Vermutung richtig ist. 00:15:53.622 --> 00:15:56.816 Aber das muss ich jetzt mal erklären, dass das auch alle würdigen können, 00:15:56.816 --> 00:15:58.188 was das bedeutet. Erklär mal, ja. 00:15:59.340 --> 00:16:00.582 Wenn man so einen normalen Beweis hat, 00:16:00.582 --> 00:16:06.500 dann schreibt man den eben in diesem Fall in Englisch auf und da sind eben, 00:16:07.071 --> 00:16:09.254 für einen Computer ist es nicht möglich, dieses, 00:16:09.254 --> 00:16:13.048