WEBVTT NOTE PGD046 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.220 --> 00:00:05.691 Herzlich willkommen zusammen zu Pi ist genau 3, zu Folge Nummer 46. 00:00:05.691 --> 00:00:09.699 Am Mikrofon ist wieder Petra Schwer und dabei ist auch noch Thomas Kahle. 00:00:09.699 --> 00:00:10.369 Hallo, Petra. 00:00:10.404 --> 00:00:12.800 Hi, Thomas. Du hast ein Thema mitgebracht. 00:00:12.800 --> 00:00:17.041 Ich habe ein Thema mitgebracht und mein Thema fängt mit einem kleinen Witz an. 00:00:17.754 --> 00:00:18.827 Und der Witz ist auf Englisch. 00:00:18.978 --> 00:00:19.541 Du kennst ihn bestimmt. 00:00:19.541 --> 00:00:21.241 Müssen wir den dann übersetzen hinterher? 00:00:21.241 --> 00:00:22.505 Wir können den gleich übersetzen. 00:00:22.505 --> 00:00:24.340 Ich habe auch eine Übersetzung, aber die funktioniert nicht so gut. 00:00:24.572 --> 00:00:27.210 Also der Witz geht so. What is yellow? 00:00:27.602 --> 00:00:29.869 And equivalent to the axiom of choice? 00:00:32.912 --> 00:00:33.648 I don't know. 00:00:34.707 --> 00:00:36.950 Die Antwort ist Zorn's lemon. 00:00:37.925 --> 00:00:39.700 Kennst du diese Art von Mathe-Witze? 00:00:39.700 --> 00:00:40.200 Ja, ja. 00:00:41.244 --> 00:00:43.610 What is purple and commutes? 00:00:44.442 --> 00:00:45.516 Irgendwas weiß ich nicht. 00:00:45.547 --> 00:00:46.993 An abelian grape. 00:00:46.993 --> 00:00:48.629 An abelian grape, okay. 00:00:48.962 --> 00:00:50.847 Die Übersetzung auf Deutsch habe ich mir überlegt. 00:00:50.847 --> 00:00:56.230 Was ist grünlich, also von dem ersten, und grünlich und äquivalent zum Auswahlaxiom? 00:00:56.863 --> 00:00:57.872 Zorn-slimone. 00:00:57.872 --> 00:00:58.180 Zorn-slimone. 00:00:58.180 --> 00:01:01.374 So habe ich es mir überlegt. Deswegen muss ich auch auf grünlich ändern. 00:01:01.374 --> 00:01:02.488 Nicht Zitrone, ja. 00:01:02.644 --> 00:01:05.602 Ja, und wie du jetzt merkst, ist unser Thema heute schlechte Mathe-Witze. 00:01:05.602 --> 00:01:08.005 Uiuiui. Ja, da gibt es ja jede Menge von. 00:01:08.005 --> 00:01:10.250 Nein, das war wieder nur ein schlechter Mathe-Witz. 00:01:10.402 --> 00:01:12.817 Ne, ich wollte heute über das Auswahlaxiom reden 00:01:12.948 --> 00:01:17.910 und seine vielen Cousins und Cousinen-Folgerungen und Nicht-Folgerungen daraus. 00:01:18.367 --> 00:01:19.392 Kennst du das Auswahlaxiom? Ja. 00:01:22.623 --> 00:01:24.692 Das war auch so eine Mathematiker-Konferenz. 00:01:24.692 --> 00:01:26.147 Kannst du mir mal sagen, wie spät es ist? 00:01:26.178 --> 00:01:26.850 Ja? 00:01:27.770 --> 00:01:28.610 Genau. 00:01:30.044 --> 00:01:32.102 So, was ist denn eigentlich ein Axiom? 00:01:32.194 --> 00:01:33.443 Fangen wir mal am Anfang an. 00:01:33.443 --> 00:01:36.139 Okay, Axiome, haben wir das eigentlich noch nie geklärt, was Axiome sind? 00:01:36.139 --> 00:01:37.159 Ich weiß nicht. 00:01:37.613 --> 00:01:38.679 Bestimmt kommt das Podcast schon öfter vor. 00:01:38.679 --> 00:01:39.312 Keine Folge, die so heißt, ne? 00:01:39.403 --> 00:01:41.968 Ja. Okay, kam bestimmt schon öfter vor. 00:01:41.968 --> 00:01:43.872 Also Axiome sind so die Grundbausteine, 00:01:43.872 --> 00:01:47.650 die als wahr definierten Aussagen der Mathematik. 00:01:47.762 --> 00:01:50.209 Und damit geht's los und dann kombiniert man die und leitet 00:01:50.209 --> 00:01:53.910 damit mit Schlussregeln und Logik neue Aussagen ab. 00:01:54.262 --> 00:01:57.530 Also so ein, wie so ein Bausatz von wahren Aussagen, 00:01:57.530 --> 00:02:01.319 mit denen man dann mit Hilfe der Logik neue wahre Aussagen kombinieren kann. 00:02:01.319 --> 00:02:03.713 Genau. So stell ich mir das immer vor. 00:02:03.723 --> 00:02:06.377 Gibt's zum Beispiel so Axiome für die natürlichen Zahlen, 00:02:06.488 --> 00:02:07.810 die Peano-Axiome, 00:02:07.810 --> 00:02:10.074 die sind auch ganz einfach, so wie es gibt eine natürliche Zahl, 00:02:10.074 --> 00:02:14.070 die nennen wir 1, und dann gibt's immer noch zu jeder Zahl einen Nachfolger. 00:02:14.081 --> 00:02:16.007 Und wenn man eine Teilmenge hat, 00:02:16.007 --> 00:02:20.344 die 1 enthält und alle Nachfolger, dann sind es schon die ganzen natürlichen Zahlen. 00:02:20.344 --> 00:02:20.546 Ja, 00:02:20.546 --> 00:02:22.380 sowas kann man dann beweisen, 00:02:22.380 --> 00:02:25.833 ne? Also Grundtatsachen, die man irgendwie in diese logische Form, 00:02:25.833 --> 00:02:28.090 die Sprache der Mathematik, gegossen hat. 00:02:28.103 --> 00:02:30.050 Und dieses Auswahlaxiom, 00:02:30.050 --> 00:02:33.010 das sagt jetzt eigentlich, ich nenne es gerne das Auswahlrecht. 00:02:33.021 --> 00:02:33.885 Das Auswahlrecht? 00:02:33.885 --> 00:02:36.922 Kommen wir gleich dazu. Aber das Auswahlaxiom, das hat was mit auswählen zu tun? 00:02:36.922 --> 00:02:41.022 Ja genau, das erlaubt einem aus einer unendlichen Menge was auszuwählen. 00:02:41.022 --> 00:02:43.718 Ja, aus einer unendlichen Familie von Mengen. 00:02:43.769 --> 00:02:45.714 Also wir haben ja jetzt nicht nur eine Menge, 00:02:45.714 --> 00:02:47.923 sondern wir haben jetzt irgendwie eine Menge von Mengen. 00:02:47.923 --> 00:02:49.007 Oder eine Familie von Mengen, 00:02:49.007 --> 00:02:50.172 die stelle ich mir, ich stelle mir die immer so vor, 00:02:50.172 --> 00:02:52.203 als ob man so lang gehen kann, so wie Eimer. 00:02:52.203 --> 00:02:54.975 Jede Menge ist ein Eimer und bei dir ist so eine ganz lange Kette, 00:02:54.975 --> 00:02:55.521 die geht bis zum Horizont. 00:02:55.521 --> 00:02:57.050 Die sind aber nicht angeordnet. 00:02:57.341 --> 00:03:02.455 Ja, stimmt. Da kommen wir auch noch gleich drauf, ob ich die anordnen kann. 00:03:02.666 --> 00:03:04.878 Also irgendwie sind die, alles ist voll mit Eimern. 00:03:04.968 --> 00:03:06.219 Das sind diese ganzen Mengen. 00:03:06.389 --> 00:03:10.193 Und jetzt hat jeder Mensch laut UN-Menschenrechtskonvention, nein, 00:03:10.193 --> 00:03:11.744 so ist es noch nicht, aber das ist mein Ziel, 00:03:12.215 --> 00:03:17.830 das Recht aus jedem nicht leeren Eimer ein Element auszuwählen. 00:03:18.102 --> 00:03:19.931 Okay, also du machst nicht Wasser rein, 00:03:19.931 --> 00:03:21.419 sondern irgendwie keine Ahnung, Tennisbälle oder sowas. 00:03:21.419 --> 00:03:23.710 In Mengen sind natürlich Elemente drin. 00:03:23.942 --> 00:03:25.065 Und das Auswahlaxiom sagt jetzt, 00:03:25.065 --> 00:03:28.641 wenn man also irgendeine Familie von nicht leeren Mengen hat, 00:03:28.752 --> 00:03:32.425 dann kann man aus jedem eins auswählen, ein Element auswählen. 00:03:32.425 --> 00:03:33.661 Gleichzeitig, so? 00:03:33.661 --> 00:03:34.633 Ja, gleichzeitig. 00:03:34.784 --> 00:03:37.369 Also oder wie so eine Abbildung, kann man sich das auch vorstellen. 00:03:37.369 --> 00:03:40.065 Die Mengen sind irgendwie indiziert durch eine andere Menge, 00:03:40.316 --> 00:03:42.590 und dann bildet man irgendwie die... 00:03:42.660 --> 00:03:46.827 Elemente von der Indexmenge auf Elemente von den einzelnen Mengen ab. 00:03:46.827 --> 00:03:47.828 Klingt das für dich plausibel? 00:03:47.828 --> 00:03:50.272 Ist das so eine Erfahrungstatsache, die in Mathematik... 00:03:50.272 --> 00:03:55.470 Erfahrungstatsache aus dem täglichen Leben, die in Mathematik jetzt gegossen wurde? 00:03:55.843 --> 00:04:01.710 Also Auswahlaxiom braucht man tatsächlich ab und zu, und mir ist das auch relativ... 00:04:02.280 --> 00:04:06.018 Also ich habe da eine neutrale Haltung zu, sagen wir es mal so. 00:04:06.310 --> 00:04:09.497 Ich benutze es, wenn es nötig ist, und dann sagt man halt dazu, 00:04:09.497 --> 00:04:11.150 dass man es braucht an der Stelle. 00:04:11.321 --> 00:04:14.135 Okay, der Ernst Zermelo, einer von denen, 00:04:14.305 --> 00:04:19.503 nach denen die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre benannt ist, hat es 1904... 00:04:20.414 --> 00:04:24.610 wollte er den Wohlordnungssatz beweisen und hat dieses... 00:04:25.600 --> 00:04:28.445 Auswahlaxiom dafür benötigt und hat irgendwie festgestellt, 00:04:28.445 --> 00:04:32.340 dass es so ein unobjectional logical principle, also ein 00:04:33.292 --> 00:04:34.944 logisches Prinzip ohne... 00:04:35.054 --> 00:04:36.116 Dem man nicht widersprechen könnte. 00:04:36.116 --> 00:04:39.050 Dem man nicht widersprechen kann, sei. 00:04:39.321 --> 00:04:41.093 Und dann gab es da einige Diskussionen dazu. 00:04:41.264 --> 00:04:43.727 Also vielleicht sollten wir noch kurz was zur Mengenlehre sagen. 00:04:43.727 --> 00:04:45.470 Also die Mathematik, 00:04:45.470 --> 00:04:48.333 so wie wir sie jetzt hier so lehren an der Uni und wie sie betrieben wird, 00:04:48.333 --> 00:04:49.956 die basiert eben auf der Mengenlehre. 00:04:49.956 --> 00:04:53.105 Eigentlich sind alle Objekte, die wir in der Mathematik so betrachten... 00:04:53.105 --> 00:04:54.050 Mengen. 00:04:54.425 --> 00:04:55.380 Da würde ich dir widersprechen. 00:04:55.380 --> 00:04:56.567 Darf ich mir widersprechen? 00:04:56.567 --> 00:04:58.802 Okay, dann darf ich auch jetzt hören, den Widerspruch. 00:04:58.802 --> 00:05:01.490 Ja, wenn du Abbildungen hast oder, 00:05:01.490 --> 00:05:04.729 na gut, manche kann man vielleicht auch als Mengen auffassen. 00:05:04.841 --> 00:05:07.061 Na, eine Abbildung ist eine Menge von Paaren. 00:05:07.061 --> 00:05:08.723 Ja, das ist, ja, 00:05:08.723 --> 00:05:12.748 dann unterscheidest du aber nicht zwischen der Abbildung und dem Graphen, 00:05:12.748 --> 00:05:15.171 also Funktion und Graph würde man ja vielleicht unterscheiden, ne? 00:05:15.171 --> 00:05:16.953 Bei dem Graphen würde ich sagen, ja, das ist eine Menge, 00:05:16.953 --> 00:05:20.266 aber die Funktion selber ist erstmal eine Zuordnungsvorschrift, 00:05:20.537 --> 00:05:23.190 ist jetzt keine Menge erstmal, ne? 00:05:23.641 --> 00:05:25.769 Also es ist mehr sowas, du steckst was rein und kriegst was raus, 00:05:25.769 --> 00:05:28.822 das ist wie so ein Automat, das sehe ich nicht jetzt als Menge. 00:05:28.822 --> 00:05:31.377 Aber Abbildungen sind ja sehr vielfältig, weil, 00:05:31.729 --> 00:05:36.024 also es gibt ja auch nicht berechenbare Abbildungen und also… 00:05:36.024 --> 00:05:38.230 Ja, die würdest du alle als Menge auffassen? 00:05:38.502 --> 00:05:40.710 Na, ich würde alles, alles sind Mengen. 00:05:40.710 --> 00:05:43.590 Also auch die Abbildung ist eine Abbildung. 00:05:43.822 --> 00:05:47.426 Ist eine Vorschrift, die jedem kleinen x, ein f von x 00:05:47.859 --> 00:05:49.952 zuordnet. Okay, ist natürlich eine äquivalente Darstellungsweise, 00:05:49.952 --> 00:05:51.057 wenn ich das als Menge aller Paare… 00:05:51.057 --> 00:05:53.941 Das ist einfach die Datenstruktur, ist das eine Menge von Paaren, 00:05:54.595 --> 00:05:55.140 mit noch einer Zusatzeigenschaft. 00:05:55.140 --> 00:05:59.295 Also ich muss ja für jedes kleinen x, muss ich sozusagen angeben, 00:05:59.295 --> 00:06:00.261 was das Bild sein soll. 00:06:00.261 --> 00:06:02.046 Ja, also Menge allein reicht halt nicht, 00:06:02.046 --> 00:06:05.936 weil du musst halt, du musst die ordnen, diese Paare, du musst wissen, 00:06:05.936 --> 00:06:07.100 was ist der Input-Parameter. 00:06:07.100 --> 00:06:08.342 Das kathesische Produkt, 00:06:08.342 --> 00:06:11.406 also es ist irgendwie eine bestimmte Teilmenge von dem kathesischen Produkt, 00:06:11.406 --> 00:06:15.421 also eine Abbildung von Groß-X nach Groß-Y ist eine bestimmte Teilmenge von 00:06:16.373 --> 00:06:18.636 Groß-X mal Groß-Y. 00:06:18.636 --> 00:06:20.821 Mit Paareigenschaften, ja okay, gut, einverstanden. 00:06:20.821 --> 00:06:21.282 Ne, 00:06:21.282 --> 00:06:24.312 ich glaube, das muss man auch so machen, wenn die, wenn die ganze, also die, 00:06:24.312 --> 00:06:27.050 der Abbildungsbegriff ist ja nicht separat. 00:06:27.100 --> 00:06:30.276 Axiomatisiert von der Mengenlehre. 00:06:30.276 --> 00:06:31.121 Ja, das stimmt. 00:06:31.121 --> 00:06:32.324 Also ich glaube, es ist schon so, 00:06:32.324 --> 00:06:33.527 dass wir wirklich nur mit den, 00:06:33.527 --> 00:06:38.739 mit diesen Axiomen für die Mengenlehre losmarschieren können, wenn wir wollen. 00:06:38.739 --> 00:06:40.790 Ist ein langer Weg aber dann. 00:06:40.982 --> 00:06:41.363 Ja, 00:06:41.363 --> 00:06:42.606 man tut das so ein bisschen ab. 00:06:42.606 --> 00:06:45.293 Die Axiome für die Mengenlehre, die sind ja eigentlich auch einfach nur Axiome, 00:06:45.293 --> 00:06:47.320 wie sich dieses Element von Symbol verhält. 00:06:47.320 --> 00:06:50.231 Also wenn man die jetzt so nachguckt, dann sind es einfach nur, 00:06:50.231 --> 00:06:52.930 also die definieren dann natürlich auch, ähm, 00:06:54.023 --> 00:06:56.650 wie die Vereinigung funktioniert und sowas, ja, 00:06:56.650 --> 00:06:58.415 aber die Vereinigung wird halt auch beschrieben dadurch, 00:06:58.415 --> 00:07:00.210 welche Elemente sie enthält. 00:07:00.322 --> 00:07:03.328 Das schon, aber die musst du ja beschreiben, diese Verknüpfungssymbole. 00:07:03.421 --> 00:07:05.735 Ja genau, das machen eben diese Axiome der Mengenlehre. 00:07:05.946 --> 00:07:08.931 Das sind die Zermelo-Frenkel-Axiome, die das beschreiben, 00:07:08.931 --> 00:07:10.695 und einer von denen ist eben dieser Ernst Zermelo, 00:07:10.695 --> 00:07:13.201 und der auch auf dieses Auswahlaxiom kam. 00:07:13.201 --> 00:07:15.045 Aber das ist jetzt ein extra, 00:07:15.045 --> 00:07:16.548 also erst hat er die Idee gehabt, na, 00:07:16.548 --> 00:07:18.773 das will er als Beweisend aus seiner Mengenlehre, 00:07:18.773 --> 00:07:21.729 wenn das so ein unobjectionable logical principle ist. 00:07:22.544 --> 00:07:25.338 Aber es stellt sich heraus, dass das nicht funktioniert, also nicht durch ihn. 00:07:25.338 --> 00:07:27.281 Ja, ist ja unabhängig, ne, also genau. 00:07:27.281 --> 00:07:30.317 Hat ein Weilchen gedauert, geht auf Gödel und Cohen zurück, 00:07:30.568 --> 00:07:32.091 wenn ich das richtig in Erinnerung habe, 00:07:32.091 --> 00:07:36.020 dass das nicht beweisbar ist aus der Mengenlehre. 00:07:36.020 --> 00:07:39.580 Also die eigentliche Aussage ist, es ist konsistent, 00:07:39.812 --> 00:07:42.621 wenn die Mengenlehre widerspruchsfrei ist. 00:07:42.621 --> 00:07:46.589 Kann man das Auswahlaxiom noch dazunehmen und kriegt eine widerspruchsfreie Theorie. 00:07:46.882 --> 00:07:48.596 Und man kann aber auch nicht 00:07:48.747 --> 00:07:51.173 die Negation vom Auswahlaxiom dazunehmen 00:07:51.173 --> 00:07:52.957 und kriegt auch eine widerspruchsfreie Theorie, 00:07:52.957 --> 00:07:54.040 wenn die Ausgleichs-Mengenlehre widerspruchsfrei ist. 00:07:54.040 --> 00:07:55.746 Genau, das ist nicht, du kannst es nicht beweisen daraus, 00:07:55.746 --> 00:07:59.695 sondern du kannst dich entscheiden, ob du annehmen möchtest, dass es gilt, 00:07:59.695 --> 00:08:02.130 oder ob du annehmen möchtest, dass es nicht gilt. 00:08:02.864 --> 00:08:04.350 Es ist unabhängig von der Theorie. 00:08:04.350 --> 00:08:06.300 Dieses unabhängig, das kommt einem so ein bisschen spurend. 00:08:06.300 --> 00:08:08.126 Es kommt einem so spooky vor, wenn man über Mengenlehre redet, 00:08:08.126 --> 00:08:11.781 aber eigentlich haben wir die ganze Zeit mit so unabhängigen Eigenschaften zu tun. 00:08:11.781 --> 00:08:14.558 Mein Vergleich, den ich im ersten Semester mache, ist, 00:08:14.609 --> 00:08:19.070 wenn man die Definition von einer Gruppe gelernt hat, und dann ist Kommutativität. 00:08:19.421 --> 00:08:23.628 Ist eine Eigenschaft, die unabhängig ist von den Gruppenaxiomen. 00:08:23.628 --> 00:08:26.462 Es gibt einfach kommutative Gruppen und es gibt nicht-kommutative Gruppen. 00:08:26.513 --> 00:08:31.163 Und so gibt es eben Mengenlehre mit Auswahlaxiom und Mengenlehre ohne Auswahlaxiom. 00:08:31.163 --> 00:08:34.538 Ja, manche Sätze kann man halt nicht beweisen, wenn man kein Auswahlaxiom hat. 00:08:34.538 --> 00:08:37.363 Ja, ziemlich viele wichtige Sätze kann man nicht beweisen, 00:08:37.414 --> 00:08:39.170 wenn man kein Auswahlaxiom hat. 00:08:39.583 --> 00:08:42.810 Zum Beispiel kann man nicht zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat. 00:08:42.883 --> 00:08:45.513 Das ist das erste Mal, wo man das sieht, und das ist total unfair, 00:08:45.513 --> 00:08:47.289 weil das kommt schon im ersten Semester. 00:08:47.642 --> 00:08:51.696 Und man kann das irgendwie nicht so richtig vollständig einordnen immer, 00:08:51.696 --> 00:08:52.902 wenn man das unterrichtet. 00:08:52.902 --> 00:08:54.446 Man wedelt immer so ein bisschen mit den Händen, 00:08:54.446 --> 00:08:56.762 erzählt irgendwie Geschichten über das Auswahlaxiom, 00:08:56.933 --> 00:08:59.710 aber dass man das jetzt so richtig fundiert, da… 00:09:00.460 --> 00:09:02.924 Da ist so ein wichtiges Maximalitätsprinzip. 00:09:02.924 --> 00:09:05.167 Also ich will jetzt noch über zwei Sachen reden, 00:09:05.167 --> 00:09:08.322 die äquivalent zu diesem Auswahlaxiom sind, also Aussagen, 00:09:08.332 --> 00:09:11.206 die man aus dem Auswahlaxiom und Mengenlehre beweisen kann, 00:09:11.336 --> 00:09:13.840 und die aber auch, wenn man die als Axiom nimmt… 00:09:13.840 --> 00:09:15.341 …wieder das Auswahlaxiom beweisen. 00:09:15.341 --> 00:09:18.154 Also das wäre dann so eine äquivalente Aussage zum Auswahlaxiom. 00:09:18.284 --> 00:09:22.147 Da gibt's diese Zornslämmere aus dem ursprünglichen Witz 00:09:22.147 --> 00:09:25.340 und diesen Wohlordnungssatz. Da gibt's auch diesen Witz, kennst du den? 00:09:25.430 --> 00:09:27.151 Man sagt irgendwie, das Axiom of Choice, 00:09:27.151 --> 00:09:29.273 also das Auswahlaxiom ist offensichtlich wahr, 00:09:29.273 --> 00:09:31.295 das Wohlordnungsprinzip offensichtlich falsch, 00:09:31.295 --> 00:09:33.046 und Zornslämmer weiß man nicht so genau. 00:09:33.236 --> 00:09:34.878 Der Witz ist aber, dass die alle drei äquivalent sind. 00:09:34.878 --> 00:09:37.360 Da will ich jetzt erstmal den Wohlordnungssatz vielleicht sagen, weil der… 00:09:37.360 --> 00:09:38.971 Ja. …offensichtlich falsch ist. 00:09:39.321 --> 00:09:42.033 Also der Wohlordnungssatz sagt, jede Menge, 00:09:42.363 --> 00:09:46.797 jede, zum Beispiel die reellen Zahlen oder so, kann wohlgeordnet werden. 00:09:47.027 --> 00:09:50.079 Und das bedeutet, total angeordnet werden, 00:09:50.089 --> 00:09:52.881 also alle in reiner Reihe, wie so eine Perlenschnur. 00:09:52.971 --> 00:09:53.451 Ja. 00:09:53.451 --> 00:09:57.544 Und noch mit der Zusatzeigenschaft, dass jede Teilmenge ein kleines Element hat. 00:09:57.935 --> 00:10:01.097 Zum Beispiel eine uns ganz vertraute wohlgeordnete Menge sind 00:10:01.097 --> 00:10:04.860 die natürlichen Zahlen. Mhm. Ja, die fangen nämlich eben mit 1 an. 00:10:04.860 --> 00:10:07.245 Dann... Und dann geht's immer weiter. 00:10:07.245 --> 00:10:09.432 Und wenn ich irgendeine Teilmenge von natürlichen Zahlen hatte, 00:10:09.432 --> 00:10:11.218 dann gibt's da eben eine kleinste natürliche Zahl. 00:10:11.218 --> 00:10:13.770 Mhm. Also die sind so alle wie so eine Perlenschnur, alle hintereinander. 00:10:13.800 --> 00:10:15.293 Und dieser Wohlordnungssatz, 00:10:15.423 --> 00:10:18.008 der sagt jetzt, man kann das mit jeder Menge so machen, 00:10:18.008 --> 00:10:19.410 die in eine Reihenfolge bringen, 00:10:19.410 --> 00:10:22.075 so dass die in einer definierten Reihenfolge sind, alle hintereinander, 00:10:22.075 --> 00:10:24.820 total angeordnet, und jede Teilmenge hat ein kleinstes Element. 00:10:24.820 --> 00:10:25.722 Mhm. 00:10:25.722 --> 00:10:28.328 Also das kann man zum Beispiel bei den reellen Zahlen mit 00:10:28.328 --> 00:10:31.415 der üblichen Ordnung, die man so auf dem Zahlenstrahl sieht, schon sehen, 00:10:31.415 --> 00:10:32.257 dass das falsch ist, ne? 00:10:32.257 --> 00:10:33.159 Genau, bei den reellen Zahlen. 00:10:33.159 --> 00:10:34.648 Wenn man da offene Intervalle nimmt, 00:10:34.648 --> 00:10:36.917 wo zum Beispiel das Intervall zwischen 0 und 1, 00:10:36.917 --> 00:10:41.334 also alle Zahlen echt größer 0, echt kleiner 1, da gibt es kein kleines Element. 00:10:41.344 --> 00:10:42.485 Ja, alle Schwierigkeiten, 00:10:42.485 --> 00:10:44.307 die man mit dieser Wohlordnung hat, 00:10:44.307 --> 00:10:47.800 gedanklich spiegeln sich schon an diesem Beispiel der reellen Zahlen. 00:10:48.051 --> 00:10:49.512 Vielleicht kann man einmal noch einen Schritt zurückgehen. 00:10:49.512 --> 00:10:53.486 Bei den ganzen Zahlen ist es irgendwie kein Problem, 00:10:53.537 --> 00:10:56.760 denn man kann die ganzen Zahlen so anordnen, indem man Und... 00:10:57.081 --> 00:10:59.315 einfach die Bi-Aktion mit n herstellt, 00:10:59.366 --> 00:11:03.875 indem man zum Beispiel mit 0 anfängt und dann 1, minus 1, 2, minus 2, 00:11:03.875 --> 00:11:04.597 also indem man die so... 00:11:04.597 --> 00:11:05.280 Genau, die sind einfach abzählbar. 00:11:05.280 --> 00:11:06.224 Ich stelle mir das immer so vor, 00:11:06.224 --> 00:11:08.081 als ob man die so zusammenfaltet. 00:11:08.454 --> 00:11:09.642 Und dann hat man sie... 00:11:09.642 --> 00:11:11.306 Wenn man eine Bi-Aktion mit n hergestellt hat, 00:11:11.306 --> 00:11:14.515 dann hat man ja so eine Anordnung im Prinzip gleich mitdefiniert. 00:11:14.515 --> 00:11:16.329 Nicht nur eine Abzählung, sondern auch eine Anordnung. 00:11:16.943 --> 00:11:18.530 Aber bei den reellen Zahlen... 00:11:18.530 --> 00:11:18.691 Na, 00:11:18.691 --> 00:11:20.498 die kannst du halt nicht abzählen, ne? 00:11:20.498 --> 00:11:22.624 Dann wird's... schon problematisch. 00:11:22.624 --> 00:11:25.594 Also da gibt's halt keine so eine Projektion auf die natürlichen Zahlen. 00:11:25.594 --> 00:11:26.978 Und für manche Menschen ist das halt eine... 00:11:26.978 --> 00:11:27.478 Und... 00:11:28.801 --> 00:11:32.344 der Grund zu sagen, dass dieses Wohlordnungsprinzip offensichtlich falsch ist. 00:11:32.344 --> 00:11:34.075 Aber Zermelo wollte das ja beweisen. 00:11:34.325 --> 00:11:37.978 Also er kam aufs Auswahlaxiom, auf diese natürliche Aussage, 00:11:38.349 --> 00:11:41.021 weil er diesen Wohlordnungssatz beweisen wollte. 00:11:41.231 --> 00:11:42.752 Also vielleicht ist es auch natürlich zu denken, 00:11:42.752 --> 00:11:44.604 dass der Wohlordnungssatz richtig sein sollte. 00:11:44.734 --> 00:11:47.176 Na, wenn man über das Auswahlaxiom denkt, 00:11:47.176 --> 00:11:50.259 sollte man das besser denken über den Wohlordnungssatz, ne? 00:11:50.259 --> 00:11:52.821 Sonst ist irgendwo... ein Knick in der Logik. 00:11:52.821 --> 00:11:55.897 Es gibt noch so eine ganz verrückte Sache, die ich jetzt auch nicht so ganz... 00:11:55.897 --> 00:11:57.903 Ich bin jetzt auch nicht so der Mengentheoretiker. 00:11:57.903 --> 00:12:00.964 Aber man kann irgendwie zeigen, dass bestimmte von diesen Wohlordnungen, 00:12:00.964 --> 00:12:03.044 die existieren müssen nach dem Auswahlaxiom, 00:12:03.044 --> 00:12:05.645 dass die nicht definiert werden können in dieser normalen Sprache, 00:12:05.645 --> 00:12:07.990 die man verwendet, um Mathematik hinzuschreiben. 00:12:08.004 --> 00:12:12.411 Das heißt, es ist wirklich eine Existenzaussage, von der man zeigen kann, 00:12:12.411 --> 00:12:14.490 dass sie niemals konstruktiv werden kann. 00:12:15.020 --> 00:12:15.862 Also es ist nicht nur so, 00:12:15.862 --> 00:12:19.308 dass wir keine Wohlordnung der reellen Zahlen bisher hinschreiben könnten, 00:12:19.308 --> 00:12:20.380 wir können es auch nicht. 00:12:20.450 --> 00:12:25.930 Also mit der Sprache ist es definitiv nur eine Existenzaussage. 00:12:26.081 --> 00:12:28.865 Das macht es wahrscheinlich so schwierig, sich vorzustellen, 00:12:28.865 --> 00:12:30.026 dass man halt jetzt gerade, 00:12:30.026 --> 00:12:32.939 wenn es zum Beispiel um dieses Beispiel mit den reellen Zahlen geht, 00:12:33.010 --> 00:12:38.506 man würde ganz gerne sehen, wie man die denn wohlordnet, um diesem Widerspruch, 00:12:38.617 --> 00:12:41.510 dass eben diese offenen Mengen keine kleinsten. 00:12:41.601 --> 00:12:43.387 Elemente haben, so ein bisschen aus dem Weg zu gehen, 00:12:43.387 --> 00:12:47.010 aber das ist so ein Beispiel, wo man es eben nicht hinschreiben kann. 00:12:47.342 --> 00:12:47.923 Würdest du jetzt sagen, 00:12:47.923 --> 00:12:52.824 es ist eine Aussage über die reellen Zahlen oder eine Aussage über die Realität? 00:12:52.895 --> 00:12:55.264 Oder eine Aussage über die Realität der reellen Zahlen? 00:12:55.264 --> 00:12:57.279 Was denn? Dass man das nicht hinschreiben kann? 00:12:57.279 --> 00:12:57.872 Naja, dass sowas nicht geht. 00:12:57.882 --> 00:13:02.430 Also dass man, wir mit unserer Mathematik so eine Wohlordnung, 00:13:02.430 --> 00:13:07.478 wenn sie existiert, also jeder Mensch hat das Recht, unser universelles Mensch, 00:13:07.478 --> 00:13:09.010 also das Auswahlaxiom gilt. 00:13:09.222 --> 00:13:09.564 Ja. 00:13:09.564 --> 00:13:11.863 Sagen wir mal, du hast es ja auch schon verwendet, ich habe es auch verwendet. 00:13:11.863 --> 00:13:15.096 Ja, das heißt, also man kann sich ja entscheiden, ob das gilt oder nicht, ne? 00:13:15.096 --> 00:13:17.755 Also in jedem Setting. 00:13:18.729 --> 00:13:21.175 Also das ist immer einfacher, wenn es gilt, finde ich, 00:13:21.175 --> 00:13:24.545 weil dann kann man die Sachen beweisen, die man so beweisen will. 00:13:24.545 --> 00:13:25.747 Ja, jeder weckt auch mal eine Basis. 00:13:25.747 --> 00:13:26.705 Ja, zum Beispiel. Das ist auch offensichtlich richtig. 00:13:26.705 --> 00:13:28.762 Das ist übrigens auch äquivalent zum Auswahlaxiom. 00:13:28.762 --> 00:13:30.349 Also man kann sich auch wünschen, 00:13:30.349 --> 00:13:33.484 man nimmt die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre und dann sagt man einfach, 00:13:33.484 --> 00:13:35.292 dieser Satz, der muss einfach richtig sein. 00:13:35.292 --> 00:13:36.884 Jeder Vektorraum hat eine Basis. 00:13:36.884 --> 00:13:39.156 Und dann beweist man das Auswahlaxiom. 00:13:39.156 --> 00:13:40.150 Das geht auch. 00:13:40.381 --> 00:13:43.366 Also du meinst, das ist eine Aussage, ja, ich weiß nicht, ich glaube, 00:13:43.366 --> 00:13:46.502 das ist eher so eine Aussage über, 00:13:47.193 --> 00:13:50.989 nicht über die reellen Zahlen, da gibt es ja viele, viele Anwendungsbereiche. 00:13:52.366 --> 00:13:54.290 Also du sagst, die reellen Zahlen gibt es. 00:13:54.353 --> 00:13:55.010 Hä? 00:13:55.625 --> 00:13:59.391 Ich will so ein bisschen rausfinden, ob wir über die Realität reden, 00:13:59.461 --> 00:14:03.464 ob wir mit den reellen Zahlen versuchen, irgendwie die Realität abzubilden, 00:14:03.464 --> 00:14:06.116 dass wenn ich eine Kante, hier die Kante von meinem Tisch habe, 00:14:06.406 --> 00:14:09.838 dass die verschiedenen Punkte, die es auf dieser Kante gibt, 00:14:10.189 --> 00:14:11.720 eben reelle Zahlen sind, 00:14:12.310 --> 00:14:14.972 oder ob die reellen Zahlen irgendwie ein Konstrukt sind, was versucht, 00:14:14.972 --> 00:14:17.114 das zu approximieren, aber irgendwie doch anders ist. 00:14:17.114 --> 00:14:18.275 Und wir sehen das an diesen Sätzen, 00:14:18.275 --> 00:14:21.227 dass es eigentlich was anderes ist als unsere physikalische Realität. 00:14:21.397 --> 00:14:26.030 Letzteres, weil, also hast du schon mal versucht, eine Küstenlänge zu messen? 00:14:26.907 --> 00:14:27.836 Da siehst du auch, 00:14:27.836 --> 00:14:29.655 dass... Da ist ja immer das Wasser, das schwappt ja immer so hin und her, 00:14:29.655 --> 00:14:29.998 oder was heißt das? 00:14:29.998 --> 00:14:31.753 Ja, angenommen, du kannst ein Foto, 00:14:31.803 --> 00:14:34.216 selbst wenn du ein Foto machen könntest und dann 00:14:34.567 --> 00:14:36.770 das Wasser einfrieren zu einem festen Zeitpunkt, 00:14:36.770 --> 00:14:40.715 selbst dann ist es eine Frage der Granularität und wie genau du misst, 00:14:40.715 --> 00:14:44.210 wie lang die Küste wird, ja? Weil misst du um die Steinchen rum oder nicht? 00:14:44.301 --> 00:14:45.725 Also ich würde jetzt nicht so reingehen, 00:14:45.725 --> 00:14:49.074 bis auf Atomlevel, also dann kommt man gleich auf diese griechische Frage, 00:14:49.074 --> 00:14:51.420 was sind die Bausteine, aus denen alles zusammengesetzt ist. 00:14:51.420 --> 00:14:54.624 Genau, also wo hörst du auf, sozusagen das zu approximieren, ja? 00:14:54.624 --> 00:14:56.006 Und dann, je feiner du das machst, 00:14:56.006 --> 00:14:58.489 desto länger wird halt die Küstenlinie und ich glaube, 00:14:58.489 --> 00:15:00.251 dass es eher so eine Frage ist, ja? 00:15:00.251 --> 00:15:03.615 Also, das ist fast schon philosophisch, ja? 00:15:03.615 --> 00:15:04.936 Was ist überhaupt die Realität? 00:15:04.936 --> 00:15:07.339 Wie genau, was ist überhaupt die Tischkante? 00:15:07.339 --> 00:15:08.365 Wie genau misst du das? 00:15:08.365 --> 00:15:09.702 Also natürlich sind die, 00:15:09.714 --> 00:15:14.622 also für mich sind diese mathematischen Sachen erstmal losgelöst von der Realität. 00:15:14.622 --> 00:15:16.704 Die sind natürlich oft inspiriert dadurch 00:15:16.704 --> 00:15:19.306 und haben umgekehrt extrem viele Anwendungen da drauf. 00:15:19.306 --> 00:15:20.737 Also wir können ganz viele 00:15:20.987 --> 00:15:24.670 existierende Phänomene mit mathematischen Modellen beschreiben, 00:15:24.670 --> 00:15:26.942 auch sehr gut beschreiben und da untersuchen. 00:15:27.513 --> 00:15:28.343 Aber 00:15:29.354 --> 00:15:30.685 die sind nicht identisch. 00:15:32.196 --> 00:15:36.630 Ja, also die reellen Zahlen in der Realität zu suchen ist irgendwie 00:15:37.881 --> 00:15:40.997 Falsch, weil die sind ja unendlich viele 00:15:41.388 --> 00:15:47.820 und es gibt in unserer existierenden Welt nichts, was wirklich unendlich groß ist. 00:15:47.820 --> 00:15:51.227 Ja, es gibt auch kein Objekt, was auf der Erde existiert, 00:15:51.227 --> 00:15:54.082 was unendlich viele Elemente enthält, 00:15:54.573 --> 00:15:57.841 was ja für die Menge aller reellen Zahlen schon der Fall ist zum Beispiel. 00:15:57.841 --> 00:16:00.007 Also dieses Kontinuum, da hatten wir aber schon mal drüber geredet, 00:16:00.007 --> 00:16:04.899 dass es dieses Kontinuum, also die Frage, ob es das Kontinuum wirklich gibt. 00:16:04.899 --> 00:16:05.124 Okay. 00:16:05.124 --> 00:16:06.437 Ist aber irrelevant, glaube ich, ne? 00:16:06.437 --> 00:16:07.308 Ich hab vergessen, 00:16:07.308 --> 00:16:10.607 welche Folge das war. Ist das irrelevant? 00:16:10.607 --> 00:16:13.341 Ist es eine philosophische Frage vielleicht? 00:16:13.341 --> 00:16:15.103 Ja, fürs praktische Tun, sag ich mal, 00:16:15.103 --> 00:16:18.148 oder auch für die Anwendung der Mathematik ist es irrelevant, das meine ich. 00:16:18.148 --> 00:16:21.212 Also nicht das zu entscheiden, damit kann man sich schon beschäftigen, 00:16:21.212 --> 00:16:26.802 und das hat sicher auch gute Gründe, darüber nachzudenken, aber… 00:16:26.802 --> 00:16:27.624 Ja, ich frag mich halt immer, 00:16:27.624 --> 00:16:31.923 ob das irgendwann später zu Problemen führen wird, wenn wir immer die… 00:16:32.875 --> 00:16:35.290 Diese Frage beschreiben wir eigentlich noch das Richtige. 00:16:35.682 --> 00:16:37.930 Immer nach hinten verschieben und immer nur sagen, ja, 00:16:37.930 --> 00:16:39.375 das hat ja bisher eigentlich ganz gut funktioniert, 00:16:39.375 --> 00:16:40.701 das lassen wir aber weitermachen. 00:16:40.701 --> 00:16:43.644 Ja, aber was Besseres hat man nicht in der beschreibenden Wissenschaft. 00:16:43.644 --> 00:16:46.368 Ja, du kannst Experimente machen, Modelle aufstellen und gucken, 00:16:46.368 --> 00:16:47.349 ob die Experimente, 00:16:47.349 --> 00:16:48.530 die du danach machst, 00:16:48.530 --> 00:16:50.102 wieder zu deinem Modell passen 00:16:50.392 --> 00:16:54.237 und dich dadurch hoffentlich immer näher der Wahrheit, 00:16:54.237 --> 00:16:57.030 was auch immer das ist, nähern. 00:16:57.923 --> 00:16:58.947 Jetzt habe ich dich in eine Falle gelockt, 00:16:58.947 --> 00:17:01.541 weil jetzt hast du gerade argumentiert, dass Mathematik eine Naturwissenschaft ist. 00:17:01.541 --> 00:17:03.767 Nein, ich habe nur gesagt, in der Anwendung. 00:17:03.767 --> 00:17:06.836