WEBVTT NOTE PGD047 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.000 --> 00:00:00.980 Ja, hallo zusammen. 00:00:00.980 --> 00:00:06.070 Hier ist Pi ist genau 3 mit Folge 47 und bei mir ist wieder Petra. 00:00:06.140 --> 00:00:07.130 Hallo Petra. 00:00:07.285 --> 00:00:09.642 Hallo Thomas. Ja, Thomas ist auch da heute. 00:00:09.642 --> 00:00:11.649 Genau. Und wir machen hier wieder unseren kleinen Podcast 00:00:11.649 --> 00:00:14.782 und heute hat Petra uns ein Thema mitgebracht, von dem ich nichts weiß. 00:00:14.782 --> 00:00:17.555 Genau. Wir sprechen unter anderem über Pringles heute. 00:00:17.555 --> 00:00:18.442 Oh, jetzt habe ich es doch gesagt. 00:00:18.442 --> 00:00:20.369 Ich wollte eigentlich sagen Stapelchips. 00:00:20.369 --> 00:00:23.102 Es gibt auch andere wunderbare Marken, die so Stapelchips herstellen. 00:00:23.102 --> 00:00:27.460 Ach die? Ja, ja, Pringles. Das ist so eine Röhre, wo die alle so aufeinander liegen. 00:00:27.460 --> 00:00:30.623 Genau, so eine runde Dose, wo Chips drin so gestapelt sind. 00:00:30.623 --> 00:00:33.676 Und mir geht es weniger um die Chips als solches, als um deren Form. 00:00:34.106 --> 00:00:37.980 Hast du irgendwelche mathematischen Assoziationen mit Pringles? 00:00:38.911 --> 00:00:42.114 Also normale Chips, die so lose in einer Tüte rumfliegen, funktionieren nicht. 00:00:42.114 --> 00:00:44.506 Also wir brauchen jetzt wirklich diese Stapelchips. 00:00:44.536 --> 00:00:45.827 Ja, frag mich jetzt gerade warum. 00:00:45.937 --> 00:00:46.818 Ich könnte mir ja vorstellen, 00:00:46.818 --> 00:00:50.383 wenn so Chips Das sind wahrscheinlich Kartoffelscheiben, 00:00:50.383 --> 00:00:51.736 die werden irgendwie geröstet 00:00:51.807 --> 00:00:54.192 und dann verbiegen die sich so ein bisschen beim Rösten. 00:00:54.192 --> 00:00:57.970 Aber wie kriegt man es hin, dass die in genau irgendeine bestimmte Form. 00:00:58.124 --> 00:01:01.026 Die werden tatsächlich exakt in diese Form gepresst. 00:01:01.026 --> 00:01:01.514 Natürlich, 00:01:01.514 --> 00:01:05.730 ja. Ja, genau. Und das ist eine ganz bestimmte mathematische Form. 00:01:05.783 --> 00:01:07.650 Ist das wie so ein Sattelpunkt? 00:01:07.682 --> 00:01:09.228 Genau, das ist so eine Sattelfläche. 00:01:09.228 --> 00:01:12.444 So ein hyperbolisches Paraboloid heißt das auch. 00:01:12.444 --> 00:01:15.622 Wenn man das mal beschreiben will, ein Sattel kennt wahrscheinlich jeder. 00:01:15.622 --> 00:01:18.390 Der ist so in die eine Richtung so nach unten gebogen, 00:01:18.390 --> 00:01:21.459 wo der so über den Pferderücken von links nach rechts geht. 00:01:21.459 --> 00:01:22.982 Wo sozusagen die Beine runterhängen. 00:01:22.982 --> 00:01:26.048 Genau, wo die Beine des Reiters oder der Reiterin runterhängen. 00:01:26.323 --> 00:01:29.828 Und vorne und hinten ist der so nach oben gebogen, um so dem … 00:01:30.580 --> 00:01:31.861 … dem Hintern bzw. dem Beginnenden … 00:01:31.861 --> 00:01:32.361 … 00:01:31.901 --> 00:01:35.293 damit man in der Mitte bleibt und nicht nach vorne oder nach hinten rutscht. 00:01:35.524 --> 00:01:38.246 Genau, dadurch schmiegt er sich so dem Pferderücken an, 00:01:38.246 --> 00:01:42.549 der so eine Delle hat, vom Hinterteil zum beginnenden Hals … 00:01:42.549 --> 00:01:44.590 Ah ja, der Pferderücken hat so eine Delle. 00:01:44.590 --> 00:01:46.982 … hat er so eine Delle und dann schmiegt sich das so an. 00:01:47.492 --> 00:01:49.414 Genau, und da entsteht in der Mitte, 00:01:49.414 --> 00:01:53.386 wenn man das als Fläche im R³ einfach betrachtet, so ein Sattelpunkt, 00:01:53.857 --> 00:01:57.990 wo die Fläche in zwei verschiedene Richtungen gebogen ist. 00:01:58.502 --> 00:02:02.269 Nach links und rechts geht es runter und nach vorne und hinten geht es hoch. 00:02:02.282 --> 00:02:06.203 Genau. Und das hat was zu tun mit dem mathematischen Konzept der Krümmung. 00:02:06.514 --> 00:02:07.960 Und heute will ich über Krümmung sprechen. 00:02:07.960 --> 00:02:08.460 Aha. 00:02:09.882 --> 00:02:12.110 Also warum macht man die, ist das geschmacklich vorteilhaft, 00:02:12.110 --> 00:02:13.844 wenn die Pringels nicht gerade sind? 00:02:13.855 --> 00:02:15.630 Könnte man doch auch so Scheiben machen? 00:02:15.681 --> 00:02:17.843 Genau, da gibt es tatsächlich einen Internetartikel dazu. 00:02:17.843 --> 00:02:20.776 Ich habe natürlich auch mal gegoogelt nach Pringel. 00:02:21.007 --> 00:02:22.669 Und da gibt es tatsächlich eine Webseite, 00:02:22.669 --> 00:02:27.464 dass es angeblich auch zum Geschmacksempfinden beiträgt, dass es diese Form hat. 00:02:27.835 --> 00:02:31.059 Aber der wahre Grund ist tatsächlich, dass es stabiler ist, wenn die so sind, 00:02:31.059 --> 00:02:32.342 wie wenn sie flach sind. 00:02:32.342 --> 00:02:34.461 Die brechen ja schnell durch, Chips. 00:02:34.461 --> 00:02:36.445 Genau, die brechen schnell durch und dadurch, 00:02:36.445 --> 00:02:39.531 dass die eben diese spezifische Sattelform haben, brechen die eben, 00:02:39.531 --> 00:02:42.276 wenn die gestapelt in dieser Röhre drin sind, nicht so schnell durch, 00:02:42.276 --> 00:02:44.430 wie wenn man sie flach rein stapeln würde. 00:02:45.221 --> 00:02:48.075 Es gibt ja so Premium-Chips, wo man noch erkennen kann, 00:02:48.666 --> 00:02:50.558 dass es mal eine Kartoffelscheibe war. 00:02:51.089 --> 00:02:54.123 Und bei denen ist es irgendwie so, die sind so homogen, 00:02:54.174 --> 00:02:56.537 dass man schon irgendwie denken könnte, die sind nochmal irgendwie aus, 00:02:56.537 --> 00:02:58.930 das sind dann noch mehr Verarbeitungsschritte. 00:02:59.201 --> 00:03:00.848 Du traust dem nicht. Also du glaubst nicht, 00:03:00.848 --> 00:03:01.491 dass die einfach gehobelt sind. 00:03:01.491 --> 00:03:02.314 Ich trau den Pringere irgendwie nicht. 00:03:02.314 --> 00:03:03.902 Das ist so ein Kunstprodukt. 00:03:03.902 --> 00:03:08.355 Ja, die sind tatsächlich aus so einer gleichmäßig gematschten Kartoffelbrei-Masse 00:03:08.355 --> 00:03:08.777 gepresst. 00:03:08.777 --> 00:03:09.923 Das hab ich vermutet. 00:03:09.923 --> 00:03:13.999 Ja, genau. Also man sieht da nichts mehr mit Kartoffeln und so. 00:03:13.999 --> 00:03:15.677 Ich esse sowieso fast nie diese Chips. 00:03:15.707 --> 00:03:17.473 In England gibt es die manchmal so zum Lunch, 00:03:17.473 --> 00:03:19.546 wenn man irgendwie in England ist, da heißen die ja Crisps. 00:03:19.546 --> 00:03:21.325 Ja. Weil Chips sind die Pommes. 00:03:21.325 --> 00:03:23.021 In den USA gibt es die auch manchmal so zum Mittagessen. 00:03:23.021 --> 00:03:23.521 Ja, 00:03:23.524 --> 00:03:25.901 genau. Das ist einfach noch so ein, so ein, so ein Kleinen Päckchen. 00:03:25.901 --> 00:03:28.547 Korbs, die man noch zum Mittagessen dazu nimmt. 00:03:28.547 --> 00:03:29.971 Aber ich kann mir nicht vorstellen, 00:03:29.971 --> 00:03:32.760 dass es gesund ist, jeden Tag da so eine Tüte Crisps zu essen. 00:03:32.760 --> 00:03:33.747 Ist halt frittiert, ne? Also, ja. 00:03:33.747 --> 00:03:35.553 Genau. Ah gut, 00:03:35.686 --> 00:03:37.702 aber es ist ja kein Ernährungs-Podcast hier. 00:03:37.702 --> 00:03:40.490 Nee, genau. Also jeder soll essen, was er oder sie möchte. 00:03:40.490 --> 00:03:42.114 Wir reden über Krümmung. Was ist denn Krümmung? 00:03:42.114 --> 00:03:44.089 Das ist irgendwie so eine heuristische Idee. 00:03:44.402 --> 00:03:47.891 Naja, es kann, was kann mehr krumm sein und weniger krumm sein? 00:03:47.891 --> 00:03:51.490 Also sollte Krümmung irgendwie eine Zahl sein, die größer sein kann oder kleiner? 00:03:51.881 --> 00:03:54.899 Würde ich sagen, aber wenn ich jetzt zum Beispiel auf einer Fläche bin, 00:03:55.090 --> 00:03:59.130 dann kann die Krümmung also in verschiedene Richtungen ja verschieden sein. 00:03:59.472 --> 00:04:01.605 Genau. Also in die eine Richtung geht es steil runter 00:04:01.605 --> 00:04:03.910 und in die andere Richtung geht es nicht so steil runter. 00:04:03.910 --> 00:04:05.803 Also eigentlich würde ich sagen, Krümmung ist eine Zahl, 00:04:06.575 --> 00:04:09.210 die angibt, wie steil es ist. 00:04:09.382 --> 00:04:11.948 Aber die Zahl kann irgendwie von der Richtung abhängen. 00:04:12.744 --> 00:04:14.259 Ja, das ist schon ziemlich gut. 00:04:14.350 --> 00:04:16.865 Fangen wir mal eine Dimension kleiner an mit einer Kurve. 00:04:16.865 --> 00:04:18.277 Also wenn man einfach nur eine Kurve 00:04:18.277 --> 00:04:20.607 malt auf dem Blatt. Oh ja, ich erinnere mich an die Kurvendiskussion. 00:04:20.701 --> 00:04:22.384 Ja, da kann man auch über Krümmung sprechen. 00:04:22.384 --> 00:04:24.418 Und da gibt Krümmung tatsächlich einfach an, 00:04:24.548 --> 00:04:27.383 wie schnell sich, wenn man die Kurve durchläuft, 00:04:27.634 --> 00:04:30.683 die Tangentenrichtung in Abhängigkeit von der Bogenlänge ändert. 00:04:30.683 --> 00:04:33.000 Also den Weg, den man gegangen ist, wie sich die Kurve durchläuft. 00:04:33.000 --> 00:04:34.948 Wie sich da die Tangentialrichtung ändert. 00:04:34.948 --> 00:04:37.682 Also sozusagen wie schnell es runter geht oder hoch geht. 00:04:37.682 --> 00:04:38.686 Also was ist jetzt Bogenlänge? 00:04:38.686 --> 00:04:39.830 Ich stelle mir jetzt mal so ein, 00:04:39.830 --> 00:04:42.303 da kann ich mir in der Schule so einen Funktionsgrafen vorstellen. 00:04:42.303 --> 00:04:45.542 Genau, ich lege so eine Schnur entlang und messe einfach, wie lang ist das. 00:04:45.542 --> 00:04:49.741 Ah ja, von dem Grafen, wie lang ist das Stück und was hast du jetzt gesagt? 00:04:49.741 --> 00:04:50.062 Genau, 00:04:50.062 --> 00:04:51.365 abgewickelt gemessen. 00:04:51.365 --> 00:04:55.173 Also ich muss das Lineal beim Messen an der Kurve entlang biegen 00:04:55.173 --> 00:04:57.989 oder ich messe es mit einer Schnur, die ich dann gerade ziehe. 00:04:58.025 --> 00:05:00.260 Und jetzt nochmal die Definition von Krümmung bitte kurz. 00:05:00.260 --> 00:05:01.263 Genau, die gibt an, 00:05:01.263 --> 00:05:03.590 wie schnell sich beim Durchlaufen der Kurve 00:05:03.590 --> 00:05:07.021 die Tangentenrichtung in Abhängigkeit eben von dieser Bogenlänge ändert. 00:05:07.021 --> 00:05:09.446 Die Tangentenrichtung ändert, genau. 00:05:09.446 --> 00:05:11.570 Also wenn es jetzt steil berghoch geht, 00:05:11.570 --> 00:05:16.064 erst war es flach und dann geht es auf einmal ganz steil berghoch. 00:05:16.064 --> 00:05:19.510 Genau, in dem Moment, wo man sozusagen in die Kurve. 00:05:19.941 --> 00:05:22.566 Einbiegt, wo es steil hochgeht, hat man eine große Krümmung, 00:05:22.566 --> 00:05:26.153 aber wenn dann der steile Anstieg konstant steil bleibt. 00:05:26.153 --> 00:05:29.019 Habe ich keine Krümmung mehr. Ist ja wieder gerade, nur nach oben. 00:05:29.019 --> 00:05:29.822 Ist ein gerades Stück, 00:05:29.822 --> 00:05:33.557 aber nach oben, aber da ist keine Änderung mehr der Tangentenrichtung. 00:05:34.089 --> 00:05:35.471 Das gibt also Krümmung an. 00:05:35.471 --> 00:05:40.278 Also auch eine steile Kurve gemalt als Funktionsgraph kann Krümmung 0 haben. 00:05:40.278 --> 00:05:45.128 Also eine gerade. Egal, in welche Richtung die zeigt, hat immer Krümmung 0. 00:05:45.504 --> 00:05:49.089 Das ist im Prinzip auch das, was man sich anschaulich darunter vorstellen kann. 00:05:49.263 --> 00:05:53.003 Krümmung vergleicht einfach immer mit etwas Ungekrümmtem. 00:05:53.003 --> 00:05:56.010 Und was Ungekrümmtem in Dimension 1 ist eben eine Gerade. 00:05:56.563 --> 00:06:01.830 Und in Dimension 2 der euklidische Raum, also die Ebene, die ist flach. 00:06:01.960 --> 00:06:03.482 Das legt man einfach so fest. 00:06:03.482 --> 00:06:05.966 Also muss man sich irgendwie mal mathematisch darauf einigen, 00:06:05.966 --> 00:06:08.339 aber das ist eben als flach angesehen. 00:06:08.830 --> 00:06:10.472 Und dann geht es eben so weiter. 00:06:10.472 --> 00:06:15.340 Also R² ist dann. Also im Prinzip kann man alles mit dem R² vergleichen. 00:06:15.340 --> 00:06:17.295 Unser dreidimensionaler Raum, 00:06:17.886 --> 00:06:20.111 in dem wir wahrscheinlich leben, 00:06:20.111 --> 00:06:24.504 da haben wir schon mal beim Kontinuum drüber geredet, ist also auch flach. 00:06:24.504 --> 00:06:27.037 Genau. Nur dass wir eigentlich auf einer Kugeloberfläche leben. 00:06:27.037 --> 00:06:27.537 Aber... 00:06:29.921 --> 00:06:33.400 Die Kugel schwebt durch einen, fliegt durch einen dreidimensionalen Raum. 00:06:33.812 --> 00:06:35.837 Das ist richtig, ja. Also vielleicht. 00:06:35.837 --> 00:06:36.359 Vielleicht, 00:06:36.359 --> 00:06:36.943 ja. 00:06:36.943 --> 00:06:40.910 Genau. Ja, also es gibt drei klassische... 00:06:41.580 --> 00:06:43.044 Modellräume für Krümmung. 00:06:43.044 --> 00:06:44.447 Also wie du vorhin ja auch schon gesagt hast, 00:06:44.447 --> 00:06:47.354 meistens ist Krümmung eine Zahl oder man misst es in irgendeiner Zahl. 00:06:47.354 --> 00:06:49.810 Erstmal. In der Riemannschen Geometrie zumindest. 00:06:50.162 --> 00:06:51.866 Ich komme nachher noch zu ein paar Krümmungsbegriffen, 00:06:51.866 --> 00:06:56.245 die man eben nicht mit Zahlen misst, sondern nur über Vergleiche misst. 00:06:56.637 --> 00:06:58.290 Aber da kommen wir dann später dazu. 00:06:59.101 --> 00:07:03.731 Also es ist eine Zahl und eine Zahl kann erstmal positiv sein, null oder negativ. 00:07:03.731 --> 00:07:05.074 Und für null haben wir jetzt schon geklärt. 00:07:05.074 --> 00:07:08.030 Also flach ist so eine Gerade oder eben der Quadrat. 00:07:08.181 --> 00:07:12.978 Und für Krümmung 1 und Minus 1 gibt es eben auch solche Modellräume mit 00:07:13.029 --> 00:07:14.051 entsprechender Krümmung. 00:07:14.051 --> 00:07:16.905 Und das ist einmal die Sphäre für Krümmung Plus 1 00:07:16.915 --> 00:07:20.350 und Minus 1 ist dann eben so ein Pringel quasi. 00:07:20.921 --> 00:07:25.951 Also ein hyperbolischer Raum und eben genau dieses hyperbolische Paraboloid, 00:07:25.951 --> 00:07:30.410 das hat eben die Eigenschaft, dass es überall Krümmungen kleiner als Null hat. 00:07:31.206 --> 00:07:32.882 Überall kleiner als Null? 00:07:32.882 --> 00:07:34.106 Genau, also die Gauß’sche Krümmung, 00:07:34.106 --> 00:07:38.122 wenn man es mathematisch präzise ausdrücken will, die ist überall kleiner als Null. 00:07:38.122 --> 00:07:39.757 Also das ist jetzt nicht so was, dass, 00:07:40.149 --> 00:07:43.550 wenn ich mir eine Sphäre mal vorstelle, also eine hohle Kugel. 00:07:43.562 --> 00:07:47.195 Wenn ich mich auf der Außenseite rumlaufe, so wie auf der Erdoberfläche, 00:07:47.195 --> 00:07:48.801 dann geht es ja überall nach unten. 00:07:48.801 --> 00:07:50.673 Genau, dann geht es überall nach unten. 00:07:50.683 --> 00:07:55.068 Und also man misst, im Riemannschen misst man für Flächen im R³, 00:07:55.068 --> 00:07:58.693 also gerade so was wie eine Kugel oder eben so ein Hyperboloid, 00:07:58.693 --> 00:08:02.247 also so eine Sattelfläche, misst man Krümmung eben so, 00:08:02.397 --> 00:08:05.050 dass man sich in einen Punkt setzt und sich. 00:08:05.080 --> 00:08:06.583 Alle möglichen Richtungen anguckt, 00:08:06.583 --> 00:08:09.309 in die man laufen kann und dort sowohl nach vorne und hinten geht. 00:08:09.309 --> 00:08:12.134 Das wird sozusagen als eine geraden Richtung, also eine Tangente, 00:08:12.134 --> 00:08:14.741 die da dran gelegt ist, eine geraden Richtung, die man da betrachten kann. 00:08:14.741 --> 00:08:17.432 Also beim Sattel kann ich sozusagen quer durchschneiden, 00:08:17.432 --> 00:08:19.850 dass ich in Richtung der Beine schneide. 00:08:19.922 --> 00:08:22.008 Oder ich kann eben den Sattel längs durchschneiden, 00:08:22.008 --> 00:08:26.150 dass ich in Richtung Hintern und Kopf des Pferdes schneide. 00:08:26.302 --> 00:08:30.634 Und man bestimmt eben, wie diese da entstehenden Kurven gekrümmt sind, ja, 00:08:30.634 --> 00:08:32.890 ob die jetzt nach oben oder nach unten gehen. 00:08:33.001 --> 00:08:36.568 Also nach oben würde zum Beispiel ein negatives Vorzeichen produzieren 00:08:36.568 --> 00:08:38.611 und nach unten ein positives Vorzeichen. 00:08:38.611 --> 00:08:41.557 Und wenn man einfach nur an dem Vorzeichen der Krümmung interessiert ist, 00:08:41.557 --> 00:08:43.410 kann man da einfach das Produkt nehmen. 00:08:43.461 --> 00:08:45.024 Aber es muss doch irgendwas damit zu tun haben, 00:08:45.024 --> 00:08:47.799 dass auf diesem hyperbolischen, auf dem Pringel, 00:08:48.230 --> 00:08:51.176 es zwei verschiedene nach oben und nach unten gibt. 00:08:51.176 --> 00:08:53.441 Denn wenn ich bei der gleichen Sphäre. 00:08:53.441 --> 00:08:55.105 Auf der Innenseite mir vorstellen würde, 00:08:55.105 --> 00:08:57.791 ich laufe verkehrt rum auf der Erdoberfläche innen drin, 00:08:57.791 --> 00:08:59.435 dann geht auf einmal alles nach oben. 00:08:59.435 --> 00:09:01.001 Aber es ist trotzdem das gleiche Objekt. 00:09:01.001 --> 00:09:01.301 Genau, 00:09:01.301 --> 00:09:06.217 es ist egal, ob man die Sphäre sozusagen unten auf den Platz stellt und 00:09:06.628 --> 00:09:09.332 beobachtet, dass die zwei extremsten Richtungen, 00:09:09.332 --> 00:09:12.195 also in die es am meisten gebogen ist, beide nach oben gehen. 00:09:12.195 --> 00:09:13.898 Also bei der Sphäre sind alle identisch. 00:09:13.898 --> 00:09:15.279 Es ist egal, welche zwei ich nehme. 00:09:15.279 --> 00:09:15.779 Bei dem... 00:09:17.341 --> 00:09:18.727 Sattel ist es eben nicht identisch. 00:09:18.727 --> 00:09:21.477 Wenn man sich da in irgendeinen Punkt setzt, gibt es immer eine Richtung, 00:09:21.477 --> 00:09:25.168 in die es... größtmöglich nach unten gebogen ist und eine Richtung, 00:09:25.168 --> 00:09:27.594 in die es größtmöglich nach oben gebogen ist, 00:09:27.594 --> 00:09:29.961 die dadurch aber eben das andere Vorzeichen bekommt. 00:09:29.961 --> 00:09:32.286 Also der Witz ist, dass es zwei unterschiedliche Richtungen gibt. 00:09:32.286 --> 00:09:34.370 Ich bin am gleichen Punkt und wenn ich nach vorne gehe, 00:09:34.370 --> 00:09:36.725 geht es hoch und wenn ich nach links gehe, geht es runter. 00:09:36.896 --> 00:09:38.581 Und das ist diese negative Krümmung. 00:09:38.581 --> 00:09:39.984 Genau, weil eine dieser Richtungen, 00:09:39.984 --> 00:09:43.541 also sozusagen man legt das einfach per Kondition einmal fest. 00:09:43.551 --> 00:09:48.030 Man sagt, man legt da eben so eine Tangentialfläche dran, also man versucht eben... 00:09:50.860 --> 00:09:53.967 anzuschauen, gehe ich in irgendeiner Richtung los, 00:09:53.967 --> 00:09:55.691 geht es da hoch oder geht es da runter? 00:09:55.691 --> 00:09:58.016 Und dann legt man fest, hoch ist positives Vorzeichen, 00:09:58.016 --> 00:10:00.122 runter ist negatives Vorzeichen. 00:10:00.122 --> 00:10:04.340 Und wenn eben zwei Richtungen auftreten, in die es verschieden ist, 00:10:04.531 --> 00:10:06.496 dann kriegt man negative Krümmung. 00:10:06.496 --> 00:10:08.622 Also, und ansonsten positive. 00:10:08.622 --> 00:10:10.611 Aber Moment mal, das liegt doch jetzt irgendwie daran, 00:10:10.611 --> 00:10:13.130 dass der Pringel zweidimensional ist. 00:10:13.302 --> 00:10:15.929 Genau, also das ist jetzt erstmal nur diese Definition 00:10:15.929 --> 00:10:19.702 der Gauß’sche Krümmung, die wir jetzt so heuristisch besprochen haben. 00:10:19.702 --> 00:10:23.222 Also für dreidimensionale Pringels können wir das jetzt noch nicht sagen. 00:10:23.222 --> 00:10:24.548 Ne, genau. Also diese Gauß’sche Krümmung, 00:10:24.548 --> 00:10:27.288 die funktioniert nur für zweidimensionale Flächen im R³. 00:10:28.561 --> 00:10:28.921 Okay. 00:10:28.921 --> 00:10:31.115 Genau. Also das kann man dann verallgemeinern 00:10:31.447 --> 00:10:34.593 mit der sogenannten Schnittkrümmung für beliebig große Manichfaltigkeiten. 00:10:34.593 --> 00:10:35.355 Das machen wir jetzt nicht. 00:10:35.355 --> 00:10:38.230 Da braucht man ein abstraktes Konzept von einem Krümmungstensor. 00:10:38.962 --> 00:10:40.664 Was der aber intuitiv macht, 00:10:40.664 --> 00:10:44.249 ist im Prinzip mit allen zweidimensionalen Ebenen schneiden, 00:10:44.249 --> 00:10:47.664 die man da sehen kann im Tangentialraum, der dann höherdimensional ist, 00:10:47.854 --> 00:10:52.110 und sich angucken, was dann passiert mit allen diesen lokalen Gauß’krümmungen. 00:10:52.280 --> 00:10:57.244 Also das, was man für Relativitätstheorie braucht oder so, die gekrümmte Raumzeit. 00:10:57.244 --> 00:11:01.227 Das weiß ich nicht, was man da braucht, aber das wird so was vielleicht sein. 00:11:01.227 --> 00:11:02.087 Keine Ahnung. Genau. 00:11:02.087 --> 00:11:04.429 Also man kann das aber jedenfalls sinnvoll erweitern, 00:11:04.429 --> 00:11:07.221 das Konzept auf höhere Dimensionen. 00:11:07.892 --> 00:11:12.395 Aber genau mit diesen Richtungen und den Vorzeichen funktioniert das im R³ nicht. 00:11:12.395 --> 00:11:14.917 Und dann so, dass eine dreidimensionale Sphäre, 00:11:14.917 --> 00:11:19.590 also der Rand der vierdimensionalen Kugel, wieder positiv gekrümmt ist? 00:11:19.780 --> 00:11:23.544 Ja, genau. Also die Sphären sind sozusagen immer in jeder Dimension 00:11:23.544 --> 00:11:26.347 das Standardmodell für positive Krümmung. 00:11:26.347 --> 00:11:29.030 Der Radius entscheidet dann darüber, wie groß die Krümmung ist. 00:11:29.030 --> 00:11:30.011 Das kann man sich vorstellen. 00:11:30.011 --> 00:11:32.924 Wenn man die Sphäre aufbläht, aufbläht, aufbläht, 00:11:33.354 --> 00:11:35.046 so groß macht wie unsere Erde zum Beispiel, 00:11:35.497 --> 00:11:37.839 und man setzt sich lokal in den Punkt, dann sieht es fast so aus, 00:11:37.839 --> 00:11:40.422 als wäre es flach. Deswegen funktionieren Landkarten. 00:11:40.422 --> 00:11:42.389 Deswegen funktionieren Landkarten einigermaßen, 00:11:42.389 --> 00:11:45.590 ohne dass man die Verzerrung allzu sehr sieht. 00:11:46.022 --> 00:11:48.273 Eine Weltkarte funktioniert schon nicht mehr so. 00:11:48.273 --> 00:11:49.197 Touristenlandkarten, 00:11:49.197 --> 00:11:50.577 sag ich mal. So kleine für einen. 00:11:50.577 --> 00:11:53.002 Zum Eiffelturm da lang, zum Louvre da lang. 00:11:53.002 --> 00:11:53.985 Genau, das funktioniert, 00:11:53.985 --> 00:11:57.216 weil da eben die Abweichung zum Flachen sozusagen klein genug ist, 00:11:57.216 --> 00:11:58.770 dass das keine Rolle spielt. 00:11:59.323 --> 00:12:02.602 Wenn man den Radius ganz klein macht, dann ist die Abweichung sehr groß. 00:12:02.633 --> 00:12:04.629 Also dann ist die Krümmung. 00:12:05.142 --> 00:12:07.548 Aber für dreidimensionale Objektive gibt es jetzt nicht noch was. 00:12:07.548 --> 00:12:12.130 Es gibt nicht noch hyperbolisch und dann noch irgendwie anders. 00:12:12.981 --> 00:12:14.507 Es gibt trotzdem nur gerade, 00:12:14.507 --> 00:12:17.145 also flach heißt es, positiv gekrümmt, negativ gekrümmt. 00:12:17.145 --> 00:12:18.307 Genau, mit diesem Konzept. 00:12:18.307 --> 00:12:19.310 Interessant. 00:12:19.381 --> 00:12:22.246 Man kann jetzt aber für beliebige metrische Räume, 00:12:22.246 --> 00:12:25.110 da müssen wir gleich ein bisschen ausholen, was das ist, also für Dinge, 00:12:25.110 --> 00:12:26.232 die nicht so schön glatt sind, 00:12:26.232 --> 00:12:29.837 wie irgendwelche Flächen im Meerhochend, Sinn machen mit Krümmung. 00:12:29.837 --> 00:12:31.830 Also irgendwie sinnvoll beschreiben was. 00:12:31.980 --> 00:12:33.983 Zumindest Krümmungsschranken sein sollen. 00:12:33.983 --> 00:12:36.547 Und das hat nämlich auch total spannende Anwendungen, ich weiß nicht, 00:12:36.547 --> 00:12:37.939 ob wir nachher noch dazu kommen, 00:12:37.949 --> 00:12:43.157 bei der Roboterbewegungsplanung und auch bei so Abstammungsbäumen, 00:12:43.157 --> 00:12:45.450 wenn man die in der Biologie untersuchen möchte. 00:12:45.905 --> 00:12:47.475 Also ich weiß, was ein metrischer Raum ist. 00:12:47.475 --> 00:12:48.343 Ich melde mich. 00:12:48.343 --> 00:12:50.232 Sehr gut. Da nehme ich dich mal dran. 00:12:50.232 --> 00:12:51.823 Thomas, was ist ein metrischer Raum? 00:12:51.823 --> 00:12:54.670 Ist irgendwie eine Menge. In der Mathematik sind ja immer Mengen. 00:12:54.721 --> 00:12:57.856 Auf der man einen Abstand sinnvoll definieren kann. 00:12:57.947 --> 00:13:02.686 Also zu zwei Punkten eine Zahl, zu je zwei Punkten eine Zahl, die sagt, 00:13:02.797 --> 00:13:04.770 wie weit sind die voneinander entfernt. 00:13:04.783 --> 00:13:06.728 So dass, was muss das jetzt erfüllen? 00:13:06.728 --> 00:13:07.711 So ein paar sinnvolle Sachen. 00:13:07.711 --> 00:13:10.750 Der Abstand von einem Punkt zu sich selbst soll wahrscheinlich null sein. 00:13:10.823 --> 00:13:12.770 Und wenn ich zwei verschiedene Punkte habe, 00:13:12.770 --> 00:13:15.590 dann soll der Abstand bitteschön positiv sein. 00:13:16.121 --> 00:13:18.789 Und dann soll bestimmt so eine Dreiecksungleichung gelten, 00:13:18.789 --> 00:13:22.262 dass es keine Abkürzung gibt, dadurch dass man einen Umweg geht. 00:13:22.262 --> 00:13:23.024 Also wie bedeutet das? 00:13:23.024 --> 00:13:27.750 Ich habe drei Punkte und wenn ich von dem ersten direkt zum dritten gehe, 00:13:28.342 --> 00:13:30.830 dann ist es höchstens so weit, 00:13:30.830 --> 00:13:34.630 wie wenn ich von dem ersten zum zweiten gehe und dann vom zweiten zum dritten. 00:13:34.680 --> 00:13:37.164 Genau. Das heißt deshalb Dreiecksungleichung, 00:13:37.164 --> 00:13:41.461 weil in der Ebene das genau so eine Konfiguration von einem Dreieck ist 00:13:41.872 --> 00:13:42.753 und eigentlich aussagt, 00:13:42.753 --> 00:13:46.099 dass die Summe zweier Dreiecksseiten immer mindestens so lang ist wie 00:13:46.099 --> 00:13:47.250 die dritte Seite. 00:13:47.582 --> 00:13:48.934 Genau. Habe ich noch was vergessen? 00:13:49.185 --> 00:13:52.391 Also so eine natürliche Verallgemeinerung von Eigenschaften, 00:13:52.391 --> 00:13:56.199 die der Abstand in irgendwelchen Räumen, die wir kennen, hat? 00:13:56.199 --> 00:13:59.264 Cut. Aber eben jetzt kann man nichts mehr nutzen, 00:13:59.264 --> 00:14:01.848 außer diesen wenigen Eigenschaften. 00:14:01.848 --> 00:14:03.500 Das heißt, jetzt müssen alle aufpassen, 00:14:03.531 --> 00:14:06.675 dass Petra niemals irgendwie irgendwelche Eigenschaften benutzt, 00:14:06.675 --> 00:14:09.930 die wir vom R³ einfach so annehmen. 00:14:10.061 --> 00:14:13.608 Sondern nur Eigenschaften von dieser Abstandsfunktion, 00:14:13.608 --> 00:14:16.323 die wir gerade axiomatisch festgelegt haben. 00:14:16.354 --> 00:14:18.963 Dann werden wir unterwegs auch merken, ob wir alle Axiome hatten. 00:14:18.963 --> 00:14:20.592 Genau, wir brauchen noch eine Eigenschaft mehr, 00:14:20.592 --> 00:14:21.723 weil sonst können wir gar nicht viel machen. 00:14:21.723 --> 00:14:22.048 Ah, 00:14:22.048 --> 00:14:22.581 habe ich eine vergessen. 00:14:22.581 --> 00:14:24.707 Ja, nee, metrische Räume sind nämlich so allgemein, 00:14:24.707 --> 00:14:27.022 dass es einfach auch eine Punktmenge sein kann. 00:14:27.374 --> 00:14:29.910 Ja, unzusammenhängende Punktmenge. 00:14:30.241 --> 00:14:30.561 Ja, 00:14:30.561 --> 00:14:32.526 habe ich ja nicht ausgeschlossen, oder? 00:14:32.526 --> 00:14:33.778 Nein, genau, hast du nicht. 00:14:33.869 --> 00:14:35.192 Will ich jetzt aber gleich ausschließen, 00:14:35.192 --> 00:14:37.237 weil die sind nicht so gut, um da irgendwie vollkommen zu messen. 00:14:37.237 --> 00:14:38.460 Ah, du willst sie ausschließen. 00:14:38.460 --> 00:14:41.283 Genau. Also 10 Punkte, wo ich einfach paarweise festlege, 00:14:41.283 --> 00:14:44.106 was für einen Abstand die haben, das ist auch ein metrischer Raum. 00:14:44.106 --> 00:14:48.460 Aber da ist es jetzt nicht besonders sinnig, auch über Krümmung zu sprechen, 00:14:48.851 --> 00:14:51.894 wenn ich einfach nur so eine diskrete Ansammlung von Punkten habe, 00:14:51.894 --> 00:14:53.596 die sonst nichts miteinander zu tun haben. 00:14:53.596 --> 00:14:55.017 Das möchte ich nicht betrachten. 00:14:55.017 --> 00:14:56.208 Was ich haben will, ist, 00:14:56.358 --> 00:15:01.758 dass ich je zwei Punkte immer mit einer stetigen Kurve verbinden kann in dem Raum. 00:15:01.889 --> 00:15:04.114 Und diese Kurve soll genau die Länge haben, 00:15:04.114 --> 00:15:06.910 die der Abstand zwischen den beiden Punkten ist. 00:15:07.007 --> 00:15:08.241 Aber was ist eine Kurve? 00:15:08.241 --> 00:15:10.305 Also eine Kurve, ja, also stetige Linie. 00:15:10.305 --> 00:15:12.408 Ich kann einfach eine Linie zeichnen in dem Raum, ja. 00:15:12.408 --> 00:15:13.850 Also ganz anschaulich wirklich nur. 00:15:13.850 --> 00:15:16.355 Ich kann sozusagen einen Stift ansetzen bei Punkt 1 00:15:16.355 --> 00:15:19.883 und den ohne Absetzen bis zum Punkt 2 ziehen. 00:15:19.883 --> 00:15:25.690 Und das so machen, dass die Länge des gezogenen Strichs genau der Abstand ist. 00:15:25.841 --> 00:15:30.590 Von meiner Abstandsfunktion. Das nennt sich geodätische, dieses Ding. 00:15:30.663 --> 00:15:32.813 Und dafür braucht man nicht einen topologischen Raum, 00:15:32.813 --> 00:15:33.962 um jetzt mal hier Fachtermin... 00:15:33.962 --> 00:15:36.970 Du kriegst ja automatisch eine Topologie, wenn du eine Metrik hast. 00:15:37.340 --> 00:15:38.711 Ach so, okay. 00:15:38.722 --> 00:15:40.323 Ja, weil du einfach, du kannst dann definieren, 00:15:40.323 --> 00:15:41.524 was eine offene Umgebung ist 00:15:41.524 --> 00:15:45.028 und jedes System an offenen Umgebungen liefert dir eine Topologie. 00:15:45.028 --> 00:15:49.462 Also du kriegst automatisch topologische Räume, wenn du metrische Räume betrachtest. 00:15:49.832 --> 00:15:51.554 Genau, aber das, ja, hat man dann auch. 00:15:51.554 --> 00:15:52.955 Aber ich will diese Verbindungskurven. 00:15:52.955 --> 00:15:53.956 Aber ein schönes Beispiel, 00:15:53.956 --> 00:15:57.990 was eben keine so eine Fläche im Raum ist, ist zum Beispiel ein Graph. 00:15:58.461 --> 00:16:01.899 Also ich habe eine Ansammlung von Ecken und eine Ansammlung von Kanten. 00:16:02.250 --> 00:16:04.636 Und der Abstand ist immer von einer Ecke zur nächsten, 00:16:04.636 --> 00:16:06.690 ist immer wie viele Kanten muss ich gehen. 00:16:07.282 --> 00:16:09.468 Und dann kann ich den Kanten noch irgendwie Längen verpassen. 00:16:09.468 --> 00:16:10.370 Ich kann zum Beispiel sagen, 00:16:10.370 --> 00:16:13.822 jede Kante hat Länge 1 oder jeder Kante irgendeine andere Länge verpassen. 00:16:13.822 --> 00:16:18.820 Und dann kriege ich für beliebige Punkte in diesem Graph Abstände gemessen. 00:16:18.820 --> 00:16:19.862 Da kann es jetzt passieren, 00:16:19.862 --> 00:16:23.849 aber dass man zwischen zwei Punkten zwei solche kürzesten Wege hat, 00:16:23.849 --> 00:16:24.970 die miteinander verbinden, 00:16:24.970 --> 00:16:27.855 also dass ich auf zwei Weisen meinen Strich reinzeichnen kann, 00:16:27.855 --> 00:16:31.170 der den ersten mit dem zweiten verbindet und den Abstand realisiert. 00:16:31.721 --> 00:16:35.302 Wenn ich mir wie so ein Diamant vorstelle, von oben nach unten, 00:16:35.333 --> 00:16:37.622 kann ich einmal links rum, einmal rechts rum. 00:16:37.622 --> 00:16:41.455 Genau, das geht. Also das will ich nicht verbieten, das soll möglich sein. 00:16:41.455 --> 00:16:42.562 Also mehrere Verbindungen. 00:16:42.562 --> 00:16:46.910 Also jetzt habe ich so einen metrischen Raum, wo es kürzeste Pfade gibt. 00:16:47.362 --> 00:16:47.765 Genau. 00:16:47.765 --> 00:16:50.170 Eventuell mehrere zwischen je zwei Punkten. 00:16:50.705 --> 00:16:52.276 Und diesen Abstandsbegriff. 00:16:52.276 --> 00:16:52.461 Genau. 00:16:52.461 --> 00:16:55.203 Und du willst jetzt sagen, ob der krumm ist und wie krumm der ist. 00:16:55.203 --> 00:16:58.463 Genau, ich will jetzt sagen, ob der zum Beispiel negative Krümmung hat oder nicht. 00:16:58.463 --> 00:16:59.449 Ja, los geht's. 00:16:59.449 --> 00:17:00.701 Los geht's. Also es gibt zwei Weisen. 00:17:00.701 --> 00:17:04.443 Die eine heißt Delta-Hypopolizität und die andere CAT ‒ 0 ‒ Räume. 00:17:04.535 --> 00:17:05.903 Welche willst du zuerst hören? 00:17:05.903 --> 00:17:08.570 CAT ‒ 0 hört sich irgendwie an wie so ein Bagger, finde ich. 00:17:09.341 --> 00:17:10.904 Nee, ich weiß nicht, ich habe das auch schon mal gehört. 00:17:10.904 --> 00:17:12.527 Das tue ich so, als hätte ich das noch nie gehört. 00:17:12.527 --> 00:17:15.332 Aber ich denke mal, gibt es nicht so einen Caterpillar oder so? 00:17:15.332 --> 00:17:15.733 Heißt das nicht, 00:17:15.733 --> 00:17:18.237