WEBVTT NOTE PGD048 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.240 --> 00:00:02.272 So, liebe Menschen da draußen, 00:00:02.282 --> 00:00:06.846 herzlich willkommen zu Folge Nummer 48 von Pi ist genau 3, 00:00:06.846 --> 00:00:08.477 dem Magdeburger Mathe-Podcast. 00:00:08.887 --> 00:00:10.809 Bei mir am Mikrofon ist wie immer… 00:00:10.809 --> 00:00:12.500 Thomas, Kahle, hallo. 00:00:12.570 --> 00:00:14.432 Hallo und ich bin Petra. Hallo, Petra. 00:00:14.432 --> 00:00:15.332 Hallo, Thomas. 00:00:15.332 --> 00:00:16.403 Ja, grüß dich. 00:00:16.453 --> 00:00:18.115 Du hast heute ein Thema mitgebracht. 00:00:18.115 --> 00:00:19.666 Genau, ich habe heute ein Thema mitgebracht. 00:00:19.916 --> 00:00:24.930 Ich habe nämlich mal Podcast gehört am Wochenende, wie ich es gelegentlich tue. 00:00:25.382 --> 00:00:29.996 Und ich weiß nicht, ob du schon vom Resonator Podcast die neueste Folge gehört hast. 00:00:29.996 --> 00:00:31.005 Da geht es auch um Mathematik. 00:00:31.005 --> 00:00:31.760 Da habe ich noch nicht reingehört. 00:00:31.760 --> 00:00:35.305 Da ist nämlich die Gudrun zu Gast, die Gudrun Täter, die du ja auch kennst. 00:00:35.305 --> 00:00:36.667 Ja, die kenne ich aus Karlsruhe. 00:00:36.842 --> 00:00:40.053 Genau. Und wir waren ja auch schon im Modellansatz. 00:00:40.053 --> 00:00:41.869 Wir haben auch schon mit Gudrun gepodcastet. 00:00:41.869 --> 00:00:42.663 Genau. 00:00:42.663 --> 00:00:46.790 Und die versucht dem Moderator, der heißt Holgi, da Mathe zu erklären, ein bisschen. 00:00:47.163 --> 00:00:49.913 Und an einer Stelle, die fand ich ganz witzig, da fragt er, 00:00:49.913 --> 00:00:52.090 also ich fand vieles daran ganz cool. 00:00:52.460 --> 00:00:53.201 Verlinken wir auch mal. 00:00:53.201 --> 00:00:56.544 Und an einer Stelle fragt er so ganz bestimmt, warum 2 plus 2 3 ist. 00:00:56.544 --> 00:00:58.275 Oder er fragt es zweimal. 00:00:58.345 --> 00:01:02.509 Also er versucht so Mathe zu verstehen, was Mathe ist und wie Mathe so funktioniert. 00:01:02.509 --> 00:01:03.449 Und Gudrun klärt ihm das 00:01:03.449 --> 00:01:05.551 und er fragt irgendwie auch an dieser einen Stelle nach den Zahlen 00:01:05.551 --> 00:01:07.042 und warum 2 plus 2 3 ist. 00:01:07.052 --> 00:01:08.654 Was hat Gudrun denn geantwortet auf diese Frage? 00:01:08.654 --> 00:01:09.134 Ich weiß es nicht, 00:01:09.134 --> 00:01:10.075 sie ist ein bisschen ausgewichen. 00:01:10.075 --> 00:01:11.746 Ich glaube, sie hatte irgendwie, 00:01:12.397 --> 00:01:15.059 ich glaube, er wollte sie provozieren und sie dachte, 00:01:15.059 --> 00:01:16.000 er hat sich versprochen oder so. 00:01:16.000 --> 00:01:16.500 so. 00:01:17.681 --> 00:01:19.844 Ich konnte diese Stelle nicht so ganz zuordnen. 00:01:19.844 --> 00:01:22.688 Oder er hat sich wirklich versprochen und ich habe es nur falsch verstanden. 00:01:22.688 --> 00:01:26.212 Also jedenfalls wollte ich heute mal klären, warum 2 plus 2 3 ist. 00:01:26.212 --> 00:01:28.105 Also 2 plus 2 ist natürlich nicht 3, sondern 4. 00:01:28.355 --> 00:01:32.090 Aber nochmal ein bisschen wieder über Zahlen reden. 00:01:32.263 --> 00:01:34.191 Aber wir hatten schon eine Folge über große Zahlen. 00:01:34.191 --> 00:01:36.669 Weißt du noch, Pi ist genau 3 Nummer 10. 00:01:36.844 --> 00:01:39.137 Ja, da haben wir uns über Google und solche Dinge unterhalten. 00:01:39.137 --> 00:01:39.428 Genau, 00:01:39.428 --> 00:01:41.421 genau. Wie man die Größe… …die größte Zahl auf dem Post-it schreibt. 00:01:41.421 --> 00:01:41.681 Ja, 00:01:41.681 --> 00:01:41.981 genau. 00:01:41.981 --> 00:01:43.423 Aber heute geht es mehr so um kleine Zahlen. 00:01:43.423 --> 00:01:44.974 0, 1, 2, Pi. 00:01:45.484 --> 00:01:46.905 Ja, 1 durch Google, 00:01:46.905 --> 00:01:49.267 ne? 1 durch Google ist eine sehr kleine Zahl. 00:01:49.267 --> 00:01:50.658 Nee, aber so klein nicht. 00:01:50.868 --> 00:01:53.640 War übrigens die erste Folge, wo wir vernünftige Aufnahmetechnik hatten. 00:01:53.791 --> 00:01:54.912 Die erste Folge, die sich eigentlich… 00:01:54.912 --> 00:01:56.133 Die erste, die sich halbwegs gut anhört. 00:01:56.133 --> 00:01:57.303 …gut angehört hat. 00:01:57.313 --> 00:01:59.775 Also falls Leute das noch nachhören, unsere ersten Folgen, 00:01:59.775 --> 00:02:02.027 wie es ja immer mal vorkommt, dann… 00:02:02.217 --> 00:02:03.118 Ja, die haben wir noch mit so… 00:02:03.118 --> 00:02:05.821 Man muss nur bis Folge 10 durchhalten, bis es sich vernünftig anhört. 00:02:05.821 --> 00:02:12.510 Genau, also wir haben am Anfang mit so ganz einfacher Headset-Equipment gestartet. 00:02:12.622 --> 00:02:15.168 Ja, also Folge 9 war wirklich der Tiefpunkt. 00:02:15.168 --> 00:02:19.725 Da hatten wir, glaube ich, mit so einem Apple-Headset, was irgendwie dabei war… 00:02:19.725 --> 00:02:20.452 Oh ja, mit so einem Telefon-Headset. 00:02:20.452 --> 00:02:21.106 …aufgenommen, 00:02:21.106 --> 00:02:22.345 mit so einem Telefon-Headset. Irgendwie, 00:02:22.345 --> 00:02:23.682 was fürchterlich gerauscht hat. 00:02:23.682 --> 00:02:26.570 Und da war irgendwie die Person, ich weiß nicht mehr wer es war, die Person, 00:02:26.570 --> 00:02:29.599 die gar nicht dieses Headset hatte, war aber lauter auf der Spur zu hören. 00:02:29.599 --> 00:02:32.817 Als Echo drauf. Also das war schwierig, aus Audiosicht schwierig. 00:02:32.817 --> 00:02:34.341 Aber wir wollen ja... Wir wollen ja nicht über Audio reden. 00:02:34.341 --> 00:02:36.292 Ich wollte ja über Zahlen reden. 00:02:36.963 --> 00:02:40.696 Und ich fange mal an mit den natürlichen Zahlen. 00:02:41.067 --> 00:02:43.129 Die natürlichen Zahlen fangen entweder bei 0 an. 00:02:43.129 --> 00:02:43.669 Also genau, 00:02:43.669 --> 00:02:45.291 fangen die bei 0 oder bei 1 an für dich? 00:02:45.291 --> 00:02:48.774 Ja, das ist nicht so wichtig. Das hängt von der Vorlesung ab. 00:02:48.774 --> 00:02:49.985 Also ich sage auch immer, 00:02:50.415 --> 00:02:52.637 dass man dann immer am Anfang der Vorlesung gucken soll, 00:02:52.637 --> 00:02:54.999 ob die von 0 losgehen oder von 1. 00:02:54.999 --> 00:02:55.760 Ich glaube von 0. Null. 00:02:56.341 --> 00:03:00.089 Manchmal auch vom Skript, also wie es da halt gerade steht. 00:03:00.121 --> 00:03:02.703 Es gibt zum Beispiel gute Gründe, dass die bei 0 anfangen sollen, 00:03:02.703 --> 00:03:04.976 wenn man Multiplikationen noch betrachtet. 00:03:05.106 --> 00:03:08.880 Hat man ja diese spezielle Eigenschaft, dass 0 mal irgendwas 0 ist. 00:03:09.410 --> 00:03:10.652 Ist das jetzt natürlich oder nicht? 00:03:10.652 --> 00:03:12.994 Also muss man das in den natürlichen Zahlen abbilden, 00:03:12.994 --> 00:03:16.498 dass es so was geben kann, wie so ein absorbierendes Element der Multiplikation? 00:03:16.498 --> 00:03:19.110 Das ist halt die Frage, ob man sowas abbilden will. 00:03:20.041 --> 00:03:22.125 Eher indifferent, also ist eigentlich egal. 00:03:22.125 --> 00:03:22.906 Manchmal ist es praktisch, 00:03:22.906 --> 00:03:23.428 dass es dabei ist, 00:03:23.428 --> 00:03:25.592 dann muss man nicht jedes Mal diese kleine Null dran schreiben, 00:03:25.592 --> 00:03:26.374 wenn man sie braucht. 00:03:26.374 --> 00:03:29.542 Manchmal ist es vielleicht ganz praktisch, wenn es bei 1 losgeht mit Zellen. 00:03:29.542 --> 00:03:31.336 Also wie man irgendwie ins Rechnen kommt, 00:03:31.588 --> 00:03:35.247 braucht man irgendwie das Neutralelement der Addition oder so. 00:03:35.519 --> 00:03:35.681 Naja. 00:03:35.681 --> 00:03:37.869 Aber in der Gruppe ist es ja ähnlich. 00:03:38.643 --> 00:03:42.098 Ja, ein Monoid. Wenn es Null dabei ist halt. 00:03:42.098 --> 00:03:42.598 Ja. 00:03:43.683 --> 00:03:47.490 Okay, also ich will mal vielleicht eine Antwort darauf geben. 00:03:48.080 --> 00:03:52.236 Was der erste Satz ist oder der erste mathematische Satz, 00:03:52.286 --> 00:03:55.130 den man als Kind intuitiv erfährt oder lernt. 00:03:55.130 --> 00:03:56.392 Das hast du doch, hast du das nicht schon mal behauptet? 00:03:56.392 --> 00:03:57.053 Das habe ich schon mal erzählt, 00:03:57.053 --> 00:03:58.695 das erzähle ich sehr gerne, deswegen habe ich es wahrscheinlich schon erzählt. 00:03:58.695 --> 00:03:59.516 Ja, ja, ich glaube, das kommt schon, 00:03:59.516 --> 00:04:01.659 also wer das jetzt rausfindet, in welcher Folge das war. 00:04:01.659 --> 00:04:02.905 Wow. 00:04:04.822 --> 00:04:06.387 Ja, jetzt, ja was, der kriegt. 00:04:06.387 --> 00:04:10.842 Keine Ahnung. Der kriegt eine Tafel Schokolade von mir geschickt. 00:04:10.842 --> 00:04:14.385 Aha, aha, naja, ich bin auch in diesem Wettbewerb, oder? 00:04:14.385 --> 00:04:15.211 Nee, du zählst nicht, 00:04:15.211 --> 00:04:15.980 du kannst sehr einfach. Ah, gut. 00:04:15.980 --> 00:04:17.910 Das ist zu einfach. 00:04:18.120 --> 00:04:20.022 Okay, also diese Grundtatsache, 00:04:20.022 --> 00:04:21.043 und wenn ich sie schon mal erzählt habe, 00:04:21.043 --> 00:04:23.075 entschuldige ich mich jetzt bei allen, die es schon gehört haben, 00:04:23.285 --> 00:04:26.578 ist, dass wenn ich zwei Stühle habe und noch zwei Stühle, 00:04:26.929 --> 00:04:28.800 dann ergibt das zusammen vier Stühle. 00:04:29.071 --> 00:04:31.423 Und wenn ich zwei Gummibärchen habe und noch zwei Gummibärchen, 00:04:31.634 --> 00:04:33.845 ergibt das zusammen auch vier Gummibärchen. 00:04:34.376 --> 00:04:37.562 Und damit sind Zahlen vielleicht die erste Abstraktion. 00:04:37.562 --> 00:04:44.796 Aktion von etwas, was wir in der Natur beobachten, hin zu einem abstrakten Konzept. 00:04:45.066 --> 00:04:50.522 Also die 2 ist eben die Zweiheit von allen diesen Dingen, 00:04:50.872 --> 00:04:52.884 Mengen, Stühlen, 00:04:53.114 --> 00:04:56.147 Gummibärchen, Bücher, was auch immer, von 00:04:57.419 --> 00:05:02.244 Dingen, die zwei sind. Das ist eben die Abstraktion der 2. 00:05:02.244 --> 00:05:04.557 Und ist es jetzt ein mathematischer Satz, 00:05:04.707 --> 00:05:08.121 dass 2 plus 2 4 ergibt übrigens und nicht 3? 00:05:08.392 --> 00:05:09.754 Oder was ist das? 00:05:09.754 --> 00:05:12.847 Also wenn man, ich will jetzt ein bisschen der Frage nachgehen, warum? 00:05:13.158 --> 00:05:14.559 Warum ist 2 plus 2 4? 4 00:05:15.600 --> 00:05:18.772 Oder 1 plus 1 2? Oder ist das überhaupt die richtige Frage? 00:05:19.083 --> 00:05:21.314 Also vielleicht können wir der Frage warum auch ausweichen. 00:05:21.765 --> 00:05:23.987 Du willst klären, warum 2 plus 2 4 ist. 00:05:23.987 --> 00:05:28.480 Ich würde sagen, es kommt auf den Kontext an, was 2 plus 2 ist. 00:05:28.490 --> 00:05:31.372 Naja, ich meine jetzt die 2 von 2 Stühle und 2 Gummibilden. 00:05:31.372 --> 00:05:34.395 Also du willst jetzt in den natürlichen oder ganz normalen Rechnen schon 00:05:34.395 --> 00:05:36.376 und nicht jetzt irgendwelche endlichen Körper betrachten? 00:05:36.376 --> 00:05:38.388 Nee, nee, nee. Wir machen jetzt mal natürliche Zahlen. 00:05:39.178 --> 00:05:40.860 Und gibt es da eine Antwort darauf, warum? 00:05:40.860 --> 00:05:41.830 Warum? 00:05:42.420 --> 00:05:43.441 Warum 2 plus 2 ist 4? 00:05:43.441 --> 00:05:47.474 Ist es Naturbeobachtung? Ist es einfach so, wir beobachten das einfach? 00:05:47.564 --> 00:05:49.645 Naja, das kann man wahrscheinlich irgendwie aus den 00:05:49.645 --> 00:05:51.567 grundlegenden Rechenaxiomen ableiten. 00:05:51.567 --> 00:05:54.979 Das muss man also nicht als Grundbeobachtung festlegen. 00:05:55.910 --> 00:05:57.911 Was hast du denn reingesteckt für eine Axiomatik? 00:05:57.911 --> 00:05:59.232 Genau, also Petra sagt Axiom. 00:05:59.232 --> 00:06:03.475 Axiome sind ja die Versuche der Mathematik, Grundtatsachen, 00:06:03.475 --> 00:06:08.108 die man nicht weiter hinterfragt, zu formalisieren, mithilfe von Logik. 00:06:08.199 --> 00:06:10.330 Und da gibt es ja diese Peano-Axiome. 00:06:10.480 --> 00:06:12.343 Wir könnten mal ein bisschen über die Peano-Axiome reden. 00:06:12.343 --> 00:06:13.534 Das ist nämlich der Versuch, 00:06:13.585 --> 00:06:16.258 oder was heißt der Versuch, der ist auch erfolgreich, also die Methode, 00:06:16.569 --> 00:06:19.333 wie man die natürlichen Zahlen axiomatisiert, 00:06:19.333 --> 00:06:24.110 also Grundtatsachen hinschreibt, sodass daraus folgt, dass es 00:06:25.260 --> 00:06:29.003 bestimmte Rechenregeln gelten und man will immer möglichst wenig, 00:06:29.003 --> 00:06:32.406 möglichst sparsam sein mit den Axiomen und deswegen sage ich die jetzt mal, 00:06:32.406 --> 00:06:34.999 die braucht man auch gar nicht so lange, um die zu sagen. 00:06:35.129 --> 00:06:37.541 Das erste Axiom ist, es gibt eine Zahl. 00:06:37.611 --> 00:06:41.455 Ja, das ist schon mal gut, also man muss auf jeden Fall immer festlegen, 00:06:41.455 --> 00:06:43.276 dass man nicht über die leere Menge redet, 00:06:43.276 --> 00:06:47.610 also das ist zum Beispiel bei der Axiomatik, die die Geometrie begründet. 00:06:47.780 --> 00:06:51.033 Auch so, dass man vorgibt, 00:06:51.284 --> 00:06:55.428 dass es einen Punkt gibt in der euklidischen Ebene zum Beispiel. 00:06:55.428 --> 00:06:58.091 Den muss man sozusagen erzwingen, 00:06:58.091 --> 00:07:01.675 weil die Existenz von überhaupt irgendwas nicht aus dem Rest folgt. 00:07:01.675 --> 00:07:03.437 Und so muss man es mit den Zahlen auch machen. 00:07:03.437 --> 00:07:06.501 Also wenn man nicht annimmt, dass es mindestens eine Zahl gibt. 00:07:06.501 --> 00:07:10.743 Dann kann es nämlich passieren, dass man einfach über das Nichts Regeln aufstellt. 00:07:10.743 --> 00:07:13.935 Ja. Und diese Zahl, da kann man sich das auch schon vorstellen, 00:07:13.935 --> 00:07:17.169 dass es die erste ist. Also die 0 oder die 1, je nachdem wie man es machen will. 00:07:17.169 --> 00:07:18.964 Also die soll es sein. 00:07:19.758 --> 00:07:21.544 Und... Das zweite Axiom ist, 00:07:21.544 --> 00:07:23.901 jede Zahl hat genau einen Nachfolger 00:07:23.952 --> 00:07:26.784 und der Nachfolger darf nicht die erste Zahl sein. 00:07:26.784 --> 00:07:28.908 Also man kann nicht sein eigener Nachfolger sein. 00:07:29.262 --> 00:07:32.409 Also, nee, das ist eigentlich noch ein zweiter Teil von diesem Axiom 00:07:32.409 --> 00:07:34.454 oder ein drittes Axiom, je nachdem wie man zählt. 00:07:34.454 --> 00:07:36.779 Also verschiedene Zahlen müssen auch verschiedene Nachfolger haben. 00:07:36.779 --> 00:07:38.342 Ah, okay, verstehe. 00:07:38.342 --> 00:07:40.669 Also Nachfolger, man kann sich das so vorstellen, 00:07:40.669 --> 00:07:41.672 wenn man schon weiß, 00:07:41.672 --> 00:07:44.340 was eine Abbildung ist, dann ist Nachfolger einfach eine Abbildung. 00:07:44.340 --> 00:07:48.290 Die jeder natürlichen Zahl einem Nachfolger zuordnet und die Zahl, 00:07:48.290 --> 00:07:49.673 die soll eine Abbildung sein, 00:07:49.673 --> 00:07:52.743 das heißt jeder hat genau einen Nachfolger und die soll injektiv sein. 00:07:52.743 --> 00:07:54.591 Also keine zwei gehen auf den gleichen Nachfolger. 00:07:54.591 --> 00:07:56.702 Genau, verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger. 00:07:56.702 --> 00:07:58.658 So und jetzt habe ich schon eine Vorstellung davon, 00:07:58.990 --> 00:08:01.578 wie diese Mechanik von den natürlichen Zahlen irgendwie sein soll. 00:08:01.578 --> 00:08:03.710 Ja, da hast du im Prinzip… Oder ich habe eine erste Zahl. 00:08:03.961 --> 00:08:05.023 Und die hat einen Nachfolger. 00:08:05.023 --> 00:08:07.949 Hast du im Prinzip das Induktionsprinzip mit eingebaut? 00:08:07.949 --> 00:08:08.811 Noch nicht, noch nicht. 00:08:08.811 --> 00:08:11.527 Noch nicht? Nee. Das kommt dann aber noch. 00:08:11.778 --> 00:08:12.689 Kommt noch in Aktion. 00:08:12.943 --> 00:08:15.694 Du kannst erstmal nur sozusagen immer weiter zählen. 00:08:15.694 --> 00:08:17.570 Ich kann immer weiter zählen, genau. 00:08:18.781 --> 00:08:20.324 Wenn man sich jetzt eine Vorstellung davon machen will, 00:08:20.324 --> 00:08:23.850 was es immer noch sein könnte, es könnte noch so parallele Stränge geben, 00:08:23.850 --> 00:08:26.195 die irgendwie, also ich zähle immer weiter, 00:08:26.195 --> 00:08:28.440 aber es könnte noch einen Teil geben, zu dem ich nicht hinkomme. 00:08:28.440 --> 00:08:29.061 Achso, 00:08:29.061 --> 00:08:33.389 aber du hast doch gerade angenommen, dass jede Zahl genau einen Nachfolger gibt. 00:08:33.389 --> 00:08:35.874 Also du kannst nirgends sozusagen verzweigen. 00:08:35.874 --> 00:08:39.183 Es kann höchstens noch einen komplett separaten zweiten Strang geben. 00:08:39.183 --> 00:08:42.690 Ja, oder der könnte, könnte der nicht auch irgendwie so ein Kreis sein? 00:08:42.881 --> 00:08:45.090 Also dass die irgendwie so einen Zykel bilden und irgendwann ist 00:08:45.090 --> 00:08:47.810 der Nachfolger von der 17. wieder die erste? 00:08:47.822 --> 00:08:49.347 Oder vielleicht gibt es einen zweiten Strang. 00:08:49.347 --> 00:08:50.651 Also es gibt noch andere Dinge, 00:08:50.651 --> 00:08:52.136 die uns nicht wie die natürlichen Zahlen vorkommen, 00:08:52.136 --> 00:08:53.079 die wir auch noch ausschließen müssen. 00:08:53.079 --> 00:08:55.356 Und das machen wir mit diesem Induktionsprinzip. 00:08:55.407 --> 00:08:56.791 Das Prinzip der vollständigen Induktion, 00:08:56.791 --> 00:09:00.101 das ist jetzt das dritte Axiom, je nachdem wie man zählt, oder das vierte. 00:09:00.101 --> 00:09:03.829 Und es sagt, wenn man eine Eigenschaft hat oder ein Prädikat, 00:09:03.829 --> 00:09:05.842 würde man in der Logik, in der Prädikatenlogik, 00:09:05.953 --> 00:09:09.810 also ein Prädikat ist eine mathematische Aussage, die jetzt von der Zahl abhängt. 00:09:09.862 --> 00:09:10.596 Zum Beispiel. 00:09:10.830 --> 00:09:11.861 Diese Zahl ist gerade. 00:09:11.861 --> 00:09:14.789 Diese Zahl ist gerade. Ist ein Prädikat, hängt eben von der Zahl ab. 00:09:14.789 --> 00:09:15.972 Und wenn man aber eine Zahl einsetzt, 00:09:15.972 --> 00:09:19.109 dann ist es einfach eine mathematische Aussage, die wahr oder falsch sein kann. 00:09:19.661 --> 00:09:21.974 Okay. Und man hat also so ein Prädikat 00:09:22.586 --> 00:09:27.474 und das ist richtig für die erste Zahl und das ist auch richtig, 00:09:27.474 --> 00:09:30.779 wenn es für eine Zahl richtig ist, ist es für den Nachfolger richtig, 00:09:30.779 --> 00:09:33.869 dann ist das Prädikat für alle natürlichen Zahlen richtig. 00:09:33.869 --> 00:09:36.258 Ja, aber damit schließt du ja auch nicht aus, dass es im Kreis gehen kann. 00:09:36.258 --> 00:09:37.721 Mhh, 00:09:37.721 --> 00:09:38.221 doch. 00:09:38.442 --> 00:09:39.023 Warum? 00:09:39.023 --> 00:09:41.435 Weil ich das auch anders formulieren kann. 00:09:41.565 --> 00:09:42.767 Äquivalent dazu kann ich auch sagen, 00:09:42.767 --> 00:09:45.049 wenn ich eine Teilmenge der natürlichen Zahlen habe, 00:09:45.049 --> 00:09:47.711 das Prädikat, mein Prädikat wäre dann einfach ist in der Teilmenge, 00:09:47.711 --> 00:09:50.274 wenn ich eine Teilmenge der natürlichen Zahlen habe und die enthält 00:09:50.274 --> 00:09:52.146 die erste Zahl, also 0 sagen wir mal, 00:09:52.416 --> 00:09:56.510 und zu jeder Zahl den Nachfolger, dann sind es schon alle natürlichen Zahlen. 00:09:56.963 --> 00:09:59.438 Ja, aber das widerspricht ja auch nicht dem Kreis, also sagen wir mal, du hast… 00:09:59.438 --> 00:09:59.938 Na doch, 00:09:59.485 --> 00:10:00.536 ich hab nur diesen Strang, 00:10:00.536 --> 00:10:04.216 ja. Ne, du hast 1 bis 10 und der Nachfolger der 10 ist die 1. 00:10:05.789 --> 00:10:06.831 Und dann ist ja, 00:10:06.831 --> 00:10:08.594 wenn da sozusagen die Teilmenge drin ist, 00:10:08.594 --> 00:10:11.819 dann automatisch der Nachfolger drin ist, ist das ja auch nicht widersprüchlich, 00:10:11.819 --> 00:10:13.585 dass es im Kreis geht. Aber Moment mal, 1, äh, es kann nicht die gleiche 1 sein. 00:10:14.804 --> 00:10:16.973 Aber die 1 ist ja noch nicht Nachfolger von irgendwas. 00:10:16.973 --> 00:10:21.147 Die 1 ist der Anfang. Sagen wir mal, es geht bei 1 los. 00:10:21.147 --> 00:10:23.763 Oder bei 0 suchst du dir aus. Geht bei 0 los, meinetwegen. 00:10:23.763 --> 00:10:27.050 Aber dann haben doch die 1 und die 10 den gleichen Nachfolger. 00:10:27.702 --> 00:10:30.050 Nee, die 1 ist ja der Nachfolger der 10 00:10:30.050 --> 00:10:33.670 und die 2 ist der Nachfolger der 1 und die 3 ist der Nachfolger der 2 und so weiter. 00:10:33.988 --> 00:10:34.887 Weißt du, was ich meine? 00:10:35.427 --> 00:10:36.441 Und dann komme ich wieder zur … 00:10:36.441 --> 00:10:38.287 Und dann ist der Nachfolger der 10 ist die 1, 00:10:38.287 --> 00:10:40.714 aber da die 1 von noch nichts der Nachfolger war, 00:10:40.714 --> 00:10:42.885 weil du bei 1 angefangen hast, ist alles … 00:10:42.885 --> 00:10:43.440 Paletti sozusagen. 00:10:43.440 --> 00:10:44.794 Also ihr habt nur einen Kreis gemacht? 00:10:44.794 --> 00:10:46.982 Ja. Es gibt nur 10 natürliche Zahlen? 00:10:46.982 --> 00:10:50.522 Ja, 1 bis 10 und dann die 11 in Anführungszeichen ist wieder die 1. 00:10:50.522 --> 00:10:51.187 Nee, 00:10:51.187 --> 00:10:52.285 das muss doch irgendwie 00:10:52.640 --> 00:10:55.099 … Ja, irgendwo muss es da einen Haken geben, aber ich … 00:10:55.099 --> 00:10:57.582 Jede Zahl hat genau einen Nachfolger, die nicht die erste Zahl ist. 00:10:57.582 --> 00:11:02.606 Ach, verstehe, okay. Es darf nie die 1 der Nachfolger von irgendwas sein. 00:11:02.697 --> 00:11:03.158 Okay, 00:11:03.158 --> 00:11:04.771 dann habe ich das vor. Okay, das war bei 2. 00:11:04.771 --> 00:11:06.108 ausgeschlossen. Okay, gute Übung. 00:11:07.001 --> 00:11:07.972 Haben wir das geschafft. 00:11:07.982 --> 00:11:09.143 Man könnte sich jetzt auch überlegen, 00:11:09.143 --> 00:11:11.306 wenn man versucht, so eine Konstruktion zu machen, 00:11:11.306 --> 00:11:14.249 man nimmt die normalen natürlichen Zahlen und sagt einfach, 00:11:14.249 --> 00:11:17.734 der Nachfolger ist irgendwie die Zahl 17 später. 00:11:17.734 --> 00:11:19.536 Also der Nachfolger von n ist n plus 17. 00:11:19.536 --> 00:11:21.908 Und dann lässt man es einfach so laufen. 00:11:22.820 --> 00:11:24.804 Und das kriegt man auch nur mit dem Prinzip 00:11:24.804 --> 00:11:26.497 der vollständigen Induktion ausschließen, 00:11:26.548 --> 00:11:28.561 weil das Prinzip der vollständigen Induktion sagt, 00:11:28.632 --> 00:11:32.950 durch Nachfolgerbilden kriege ich auch alle natürlichen Zahlen. 00:11:33.280 --> 00:11:35.652 Durch immer Nachfolgerbilden. Es gibt nichts, was separat ist. 00:11:35.782 --> 00:11:37.503 Es gibt auf jeden Fall immer diesen einen Strang. 00:11:37.503 --> 00:11:40.045 Ich fange mit 1 an, mache Nachfolger, Nachfolger, Nachfolger, Nachfolger, 00:11:40.045 --> 00:11:42.507 Nachfolger. Und dieses Prinzip der vollständigen Induktion, 00:11:42.507 --> 00:11:46.360 so wie ich mir das vorstelle, sagt halt, es gibt nichts anderes außer diesem Strang. 00:11:46.530 --> 00:11:49.182 Also nichts, was da so noch so parallel lebt. 00:11:49.393 --> 00:11:51.644 Okay, das war ganz schön heftig, oder? 00:11:51.914 --> 00:11:55.607 Also diese Regeln sind eigentlich, würde ich sagen, ganz natürlich. 00:11:55.637 --> 00:11:59.370 Also es gibt einen Anfang. Es gibt immer, man kann immer weiterzählen. 00:11:59.502 --> 00:12:02.921 Und es gibt eben, dann hat man dieses eine technische Prinzip. 00:12:02.921 --> 00:12:04.285 Man hat dieses Schlussprinzip, 00:12:04.285 --> 00:12:06.471 wenn man von einem auf das nächste schließen kann, 00:12:06.471 --> 00:12:09.962 dass man dann für alle das erzwingt, genau. 00:12:09.962 --> 00:12:11.606 Und das sind Axiome. 00:12:11.606 --> 00:12:13.902 Das heißt, alles, was diese Axiome erfüllt, 00:12:13.993 --> 00:12:16.282 wollen wir dann die natürlichen Zahlen nennen? 00:12:16.282 --> 00:12:17.887 Ja, ich meine die Namen selbst, 00:12:17.887 --> 00:12:21.056 also dass diese Zahlen jetzt 0, 1, 2 und so weiter heißen, 00:12:21.056 --> 00:12:22.500 das ist ja einfach nur eine... 00:12:22.500 --> 00:12:25.002 Zuschreibung. Wir könnten die auch Apfelbirne, Tisch, 00:12:25.002 --> 00:12:26.814 Stuhl und was weiß ich wie nennen. 00:12:27.084 --> 00:12:28.385 Das spielt ja keine Rolle. 00:12:28.385 --> 00:12:31.128 Also das Prinzip würde immer noch genauso gelten 00:12:31.128 --> 00:12:35.161 und man hätte immer noch eine eindeutige Zuordnung dieser neuen Namen 00:12:35.532 --> 00:12:37.634 zu den alten Namen 0, 1, 2, 3. 00:12:37.634 --> 00:12:39.315 Das ist wie Fremdsprachen lernen. 00:12:39.315 --> 00:12:42.287 Die Vokabeln heißen ja dann auf eine andere Sprache auch anders 00:12:42.418 --> 00:12:45.121 als im Deutschen, aber das spielt tatsächlich keine Rolle. 00:12:45.121 --> 00:12:46.553 Okay, oben bedienen ist kein Problem. 00:12:46.704 --> 00:12:49.491 Nur aus diesem Axiom kann man auch schon die Addition 00:12:49.491 --> 00:12:53.621 und Multiplikation definieren, obwohl es da so eine kleine Subtilität gibt. 00:12:53.621 --> 00:12:57.801 Addition kann man zum Beispiel über diese Nachfolgerfunktion rekursiv definieren? 00:12:57.801 --> 00:12:59.984 Ja, man definiert einfach, was plus 1 bedeutet. 00:12:59.984 --> 00:13:01.126 Das ist so das Übliche. 00:13:01.126 --> 00:13:02.107 Und dann ist das, 00:13:02.107 --> 00:13:05.773 das bedeutet einfach Nachfolger bilden und dann hat man automatisch auch 00:13:05.773 --> 00:13:11.090 die Addition plus n, irgendeine Zahl, muss man eben n mal 1 addieren. 00:13:11.865 --> 00:13:13.603 Und das Trickreiche ist jetzt daran aber, 00:13:13.675 --> 00:13:15.861 dass wir eine In unserem dritten, 00:13:15.861 --> 00:13:20.126 in unserem Induktionsprinzip der vollständigen Induktion haben wir sowas gesagt, 00:13:20.126 --> 00:13:22.008 für alle Prädikate 00:13:22.008 --> 00:13:25.511 oder für alle Teilmengen von natürlichen Zahlen soll irgendwas gelten. 00:13:25.511 --> 00:13:26.722 Und das ist ein Problem. 00:13:26.993 --> 00:13:30.687 Also es ist kein Problem, aber das ist so eine Logik zweiter Stufe. 00:13:30.757 --> 00:13:33.660 In der Logik erster Stufe kann man eben nur über die die... 00:13:34.120 --> 00:13:36.552 Objekte selber aus. Zahlen, über die Objekte selbst reden. 00:13:36.682 --> 00:13:39.104 Und hier reden wir eben über Teilmengen von allen Objekten, 00:13:39.104 --> 00:13:41.976 was viel mehr sind als die Objekte selbst. 00:13:42.446 --> 00:13:45.658 Oder eben über diese Prädikate, diese Eigenschaften, die die haben können. 00:13:45.829 --> 00:13:47.070 Man kann es auch umformulieren, 00:13:47.070 --> 00:13:50.862 indem man statt den Prädikaten nur diese Logik erster Stufe benutzt. 00:13:50.872 --> 00:13:52.453 Und dann hat man so ein Axiom-Schema. 00:13:52.453 --> 00:13:57.977 Da hat man statt dem dritten Axiom, hat man ein einzelnes Axiom für jedes Prädikat. 00:13:57.977 --> 00:14:01.540 Und dann kann man es mit unendlich vielen Axiomen in der First Order... 00:14:01.540 --> 00:14:03.452 Also in der Logik erster Stufe hinschreiben. 00:14:03.502 --> 00:14:04.653 Dann braucht man aber 00:14:04.763 --> 00:14:07.345 die Addition und die Multiplikation muss man dann separat definieren. 00:14:07.345 --> 00:14:10.388 Dann braucht man noch extra Axiome für die Addition und die Multiplikation. 00:14:10.388 --> 00:14:11.549 Also dann ist das, 00:14:11.549 --> 00:14:14.951 was ich eben gesagt habe, man kann dann aus den drei Axiomen folgern, 00:14:14.951 --> 00:14:18.064 dass es eine Addition und eine Multiplikation gibt, die das tun, was wir denken. 00:14:18.134 --> 00:14:19.055 Das ist dann nicht mehr richtig. 00:14:19.055 --> 00:14:20.056 Dann muss man die noch mit einbauen. 00:14:20.056 --> 00:14:25.400 Genau, das ist ja logisch, weil du ja automatisch mit dem Erklären der Addition... 00:14:25.400 --> 00:14:28.082 auch eine Aussage über eine unendlich große Menge machst 00:14:28.082 --> 00:14:32.166 und über sozusagen alle Zahlen gleichzeitig was aussagst, indem du erklärst, 00:14:32.166 --> 00:14:35.058 wie man eben beliebige Paare da addieren können soll. 00:14:35.188 --> 00:14:37.470 Ja, ist sogar noch mehr, 00:14:37.470 --> 00:14:40.952 also man nimmt sogar Paare von Elementen und nicht einfach nur Elemente. 00:14:40.952 --> 00:14:42.354 Aber ist ja erstmal nicht schlimm. 00:14:42.354 --> 00:14:44.355 Es gibt dann nur eben in der Logik oder auch in 00:14:44.355 --> 00:14:46.777 der Modelltheorie gibt es dann eben Sätze, die nicht mehr gelten, 00:14:46.777 --> 00:14:50.850 wenn man Dinge hat, die nur in dieser zweiten Stufe... 00:14:50.960 --> 00:14:51.981 Also die, was heißt nur, 00:14:51.981 --> 00:14:55.073 die einfach in der Aussagenlogik zweiter Stufe formuliert sind, 00:14:55.163 --> 00:14:59.987 die übertragen sich durch bestimmte logische Mechanismen nicht mehr automatisch 00:14:59.987 --> 00:15:02.249 und müssen dann eben separat bewiesen werden. 00:15:02.249 --> 00:15:06.252 So gesehen macht es das auf einer logischen Ebene komplizierter, 00:15:06.252 --> 00:15:08.964 dass man eben dieses eine Axiom zweiter Stufe hat. 00:15:09.054 --> 00:15:10.755 Oder eben unendlich viele erster Stufe, 00:15:10.755 --> 00:15:12.886 was ja auch nicht mehr so leicht zu handeln ist dann. 00:15:13.137 --> 00:15:17.550 Man kann auch sagen, wenn man dieses Axiom zweiter Stufe akzeptiert... 00:15:17.580 --> 00:15:18.561 ... kann man zeigen, 00:15:18.561 --> 00:15:22.225 dass es dann die natürlichen Zahlen dadurch auch eindeutig festgelegt sind. 00:15:22.225 --> 00:15:23.967 In dem Sinne, je nachdem, 00:15:23.967 --> 00:15:28.401 wenn man verschiedene Modelle, nennt man das dann in der Logik, von diesen, 00:15:28.491 --> 00:15:32.275 also Realisierung dieser Axiome hat, dann sind die immer isomorph. 00:15:32.275 --> 00:15:35.578 In dem Sinne, dass ich kann einfach die Mengen von Zahlen umbenennen, 00:15:35.578 --> 00:15:37.039 so wie du es gesagt hast mit Apfel und Sonne. 00:15:37.039 --> 00:15:38.500 Ja, genau. Das hättest du vorhin auch schon gesagt, dass es die Benennungsenden... 00:15:38.500 --> 00:15:40.847 Und die Nachfolgerfunktion ist auch kompatibel. 00:15:40.847 --> 00:15:43.556 Also es muss dann auch die gleiche Nachfolgerfunktion sein. 00:15:43.556 --> 00:15:44.901 Und jetzt kommt es aber, wenn ich das... 00:15:44.901 --> 00:15:49.036 versuche mit so einem Axiom-Schema in der First-Order-Logic hinzuschreiben, 00:15:49.036 --> 00:15:49.718 dann ist das nicht mehr richtig. 00:15:49.718 --> 00:15:50.218 Richtig. 00:15:50.865 --> 00:15:52.022 Was wird nicht mehr richtig? 00:15:52.022 --> 00:15:53.616 Dann gibt es verschiedene, 00:15:53.768 --> 00:15:56.838 sich verschieden verhaltende Modelle von den natürlichen Zahlen. 00:15:56.838 --> 00:16:00.006 Okay. Jetzt müssen wir aber erstmal einmal natürliche Zahlen, 00:16:00.006 --> 00:16:01.489 also wir haben ja jetzt nur hingeschrieben, 00:16:01.489 --> 00:16:03.053 was wir uns wünschen von den natürlichen Zahlen 00:16:03.053 --> 00:16:04.195 und dann kann man natürlich weitermachen, 00:16:04.195 --> 00:16:06.302 indem man aus diesen Axiomen irgendwas ableitet. 00:16:06.302 --> 00:16:08.597 So Teilbar kann man zum Beispiel Primzahlen studieren, ja. 00:16:08.728 --> 00:16:11.155 Also wir haben einfach gesagt, natürliche Zahlen sind das, 00:16:11.155 --> 00:16:15.446 was diese Peano-Axiome die sind nach Giuseppe Peano, einem Mathematiker, benannt. 00:16:15.446 --> 00:16:16.589 Wann hat der denn gelebt? 00:16:16.589 --> 00:16:19.195 Müsste Ende 19. Jahrhundert gewesen sein. 00:16:19.195 --> 00:16:19.695 So. 00:16:20.839 --> 00:16:22.221 Und Und... Wo wollte ich gerade hin? 00:16:22.221 --> 00:16:24.382 Achso, ja. Wir haben sie aber noch nicht. 00:16:24.382 --> 00:16:25.883 Also wir müssen jetzt erstmal welche... 00:16:25.883 --> 00:16:26.804 Was meinst du, wir haben sie noch nicht? 00:16:26.804 --> 00:16:29.476