WEBVTT NOTE PGD050 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.000 --> 00:00:01.900 Herzlich willkommen, liebe Hörerinnen und Hörern. 00:00:01.900 --> 00:00:05.830 Hier ist Pi ist genau 3 mit unserer unglaublich 50. 00:00:06.120 --> 00:00:09.250 Episode des Mathe-Podcasts aus Magdeburg. 00:00:09.740 --> 00:00:12.122 Mir gegenüber sitzt wie immer Thomas Kahle. 00:00:12.122 --> 00:00:12.853 Hallo, Petra. 00:00:13.023 --> 00:00:14.364 Und ich bin Petra Schwer. Hallo. 00:00:14.364 --> 00:00:14.925 Hi, Thomas. 00:00:14.925 --> 00:00:16.396 Ja, hallo alle da draußen. 00:00:17.066 --> 00:00:19.448 Freut mich, dass alle wieder eingeschaltet haben, 00:00:19.448 --> 00:00:21.510 weil es waren ja nur die, die es eingeschaltet haben. 00:00:21.510 --> 00:00:22.431 Das kann man ja einfach so sagen. 00:00:22.431 --> 00:00:23.031 Das fetzt. 00:00:23.031 --> 00:00:24.222 Ja, ist großartig. 00:00:24.312 --> 00:00:26.274 Also, du hattest die unglaubliche Ehre, 00:00:26.274 --> 00:00:29.236 das Thema für unsere Jubiläumsfolge auszusuchen. 00:00:29.236 --> 00:00:33.400 Ja, ich habe ein achtstündiges selbstkritisches Referat vorbereitet. 00:00:33.400 --> 00:00:37.620 Zum Wert von Pi, ne. Ja, ne, es ist einfach eine ganz normale Folge. 00:00:37.931 --> 00:00:41.281 Wir werfen einmal Konfetti in die Luft und machen dann eine Folge. 00:00:41.281 --> 00:00:43.842 Es geht heute wieder über Zahlen. 00:00:43.934 --> 00:00:45.062 Zahlen hatten wir doch erst. 00:00:45.062 --> 00:00:48.173 Ja, wir hatten letztes Mal, als ich dran war, hatte ich auch was über Zahlen. 00:00:48.173 --> 00:00:49.845 Ich beschäftige mich gerade mit Zahlen. 00:00:49.845 --> 00:00:50.942 Du magst Zahlen, das ist gut. 00:00:50.942 --> 00:00:54.464 Genau. Und heute geht es um die ABC-Vermutung. 00:00:54.716 --> 00:00:56.105 Hast du von der schon mal was gehört? 00:00:56.105 --> 00:00:57.461 Ja, aber ich könnte sie nicht repräsentieren. 00:00:57.461 --> 00:00:59.722 Das ist eine zahlentheoretische Vermutung. 00:01:00.216 --> 00:01:01.691 Und... Ja, genau. 00:01:01.702 --> 00:01:02.464 Da würde ich erst mal anfangen, 00:01:02.464 --> 00:01:05.110 so ein bisschen was über die ABC-Vermutung zu erzählen. 00:01:05.110 --> 00:01:06.152 Erzähl uns mal, was das ist. 00:01:06.152 --> 00:01:09.870 Aber wir können eigentlich anfangen noch davor mit so Primzahlzerlegung. 00:01:10.103 --> 00:01:13.565 Das weißt du bestimmt, dass jede Zahl eine eindeutige Primzahlzerlegung hat. 00:01:13.565 --> 00:01:16.090 Kann man das schreiben als Summe von Primzahlen? 00:01:16.248 --> 00:01:17.779 Als Produkt von Primzahlen. Als Produkt von Primzahlen. 00:01:18.162 --> 00:01:20.073 Das ist die Goldbach-Vermutung oder sowas. 00:01:20.073 --> 00:01:20.842 Da gibt's natürlich... 00:01:20.842 --> 00:01:22.264 Ist auch eine schöne Vermutung. 00:01:22.264 --> 00:01:22.897 Ja, 00:01:23.130 --> 00:01:25.637 genau. Aber ganz einfach. Wie möchtest du das über Produkte von Primzahlen? 00:01:25.637 --> 00:01:27.505 Ganz einfache Mathematik. 00:01:27.505 --> 00:01:30.512 Jede natürliche Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung. 00:01:30.512 --> 00:01:33.761 Das heißt, die lässt sich eindeutig schreiben als Produkt von Primfaktoren. 00:01:33.761 --> 00:01:36.571 Natürlich kann man beim Produkt die Reihenfolge ändern, 00:01:36.571 --> 00:01:38.461 aber die können wir nach der Größe sortieren. 00:01:38.461 --> 00:01:41.384 Und natürlich können auch Faktoren doppelt vorkommen. 00:01:41.384 --> 00:01:44.788 Also die eindeutige Primfaktorzerlegung von 4 ist eben 2 mal 2. 00:01:45.390 --> 00:01:48.492 Und... Die Zahl wird dadurch eindeutig identifiziert. 00:01:48.863 --> 00:01:50.995 Und das lernt man schon in der Schule. 00:01:51.505 --> 00:01:54.758 Und in der ABC-Vermutung geht es um drei Zahlen. 00:01:55.169 --> 00:01:58.432 a, b und c. Und es geht auch noch um eine Konstruktion, 00:01:58.432 --> 00:02:01.045 das sogenannte Radikal einer Zahl. 00:02:01.255 --> 00:02:04.338 Das wird dann gleich das Radikal von dem Produkt von den drei Zahlen sein. 00:02:04.338 --> 00:02:05.960 Das Radikal einer Zahl... 00:02:05.960 --> 00:02:08.312 ... ist einfach, ich nehme die Primfaktorzelleigung 00:02:08.943 --> 00:02:12.056 und da stehen jetzt Potenzen von Primzahlen, wie eben bei der 4. 00:02:12.347 --> 00:02:14.389 Steht eben 2 mal 2, das ist 2 hoch 2. 00:02:14.389 --> 00:02:16.751 Und wenn ich das Radikal von der Zahl nehme, 00:02:16.751 --> 00:02:20.685 nehme ich die Primfaktorzelleigung und lasse bei jeder Primzahl die Potenzen weg. 00:02:21.196 --> 00:02:23.138 Da ist jetzt 4 natürlich ein langweiliges Beispiel. 00:02:23.138 --> 00:02:25.120 Naja, das Radikal von 4 ist eben 2. 00:02:25.120 --> 00:02:25.620 Ja. 00:02:26.600 --> 00:02:30.974 Und 12 ist 4 mal 3 und es ist 2 mal 2 mal 3. 00:02:31.124 --> 00:02:35.357 Bei der 2 lasse ich die Potenz weg, also wäre das Radikal von 12 dann nur noch 6. 00:02:35.728 --> 00:02:41.372 2 mal 3. Genau. Und das sind die Zutaten, die wir brauchen für unsere ABC-Vermutung. 00:02:41.372 --> 00:02:43.584 Also bei der ABC-Vermutung geht es um drei Zahlen. 00:02:44.295 --> 00:02:47.387 a, b und c. Und die erfüllen eine 00:02:47.798 --> 00:02:52.842 Relation a plus b ist gleich c. Keine Potenzen, nur ganz einfach. 00:02:52.842 --> 00:02:54.733 a plus b ist gleich c. 00:02:55.163 --> 00:02:59.327 Und die Vermutung sagt was aus über alle Triple von natürlichen Zahlen. 00:02:59.327 --> 00:03:01.309 Gibt jetzt keine negativen Zahlen oder sowas. 00:03:01.309 --> 00:03:03.550 Einfach drei natürliche Zahlen, keine Null. 00:03:03.550 --> 00:03:05.181 Natürliche Zahlen fangen bei 1 an. 00:03:05.192 --> 00:03:07.153 Drei Zahlen, sodass a plus b gleich c ist. 00:03:07.153 --> 00:03:09.035 Letztes Mal wolltest du, glaube ich, dass die bei 0 anfangen. 00:03:09.035 --> 00:03:11.457 Ja, ja. Aber hier nehme ich nur natürliche Zahlen, 00:03:11.457 --> 00:03:13.488 die größer sind als 0, echt größer. 00:03:13.619 --> 00:03:15.490 Und die Vermutung sagt, 00:03:15.840 --> 00:03:18.714 Das ist, ich sag das jetzt mal so ein bisschen daher, 00:03:18.744 --> 00:03:21.457 dass es sehr unwahrscheinlich ist, 00:03:21.868 --> 00:03:24.301 dass c größer ist 00:03:24.672 --> 00:03:31.510 als das Radikal von a mal b mal c. Okay, da müssen wir erstmal ein bisschen mit. 00:03:31.800 --> 00:03:33.542 Okay, ich stelle mir das jetzt so vor. 00:03:33.542 --> 00:03:35.765 c ist irgendwie eine ganzzahlige Strecke 00:03:35.765 --> 00:03:39.509 und die zerlege ich in zwei ganzzahlige Teilstrecken a und b. 00:03:39.509 --> 00:03:43.033 Und du sagst jetzt, wenn ich von allen das Radikal nehme, 00:03:43.033 --> 00:03:46.447 also von der Gesamtstrecke und von den beiden Teilstrecken 00:03:46.538 --> 00:03:48.763 und die miteinander multipliziere, war das richtig? 00:03:48.763 --> 00:03:52.764 Naja, wenn ich das Radikal von a mal b mal c bilde. 00:03:52.764 --> 00:03:55.463 Ach, von a mal b mal c, nicht das Produkt der Radikale. 00:03:55.463 --> 00:03:56.850 Also bei dieser Vermutung, 00:03:56.850 --> 00:03:59.731 und das ist auch so ein bisschen, was ich durch diese Folge zieht, 00:03:59.781 --> 00:04:04.216 geht es irgendwie um dieses Spannungsfeld zwischen Addition und Multiplikation. 00:04:04.567 --> 00:04:07.370 Man lernt ja vielleicht am Anfang Multiplikation kennen, 00:04:07.370 --> 00:04:10.173 das ist so eine Art Kurzschreibweise für wiederholte Addition. 00:04:10.173 --> 00:04:12.015 Wenn ich immer 2 plus 2 plus 2 plus 2 rechne, 00:04:12.015 --> 00:04:15.369 kann ich auch irgendwie 5 mal 2 schreiben, statt immer nur Plus. 00:04:15.659 --> 00:04:18.644 Aber Es sind eben doch zwei Operationen, 00:04:18.644 --> 00:04:20.747 die irgendwie dual zueinander sind und viel in 00:04:20.747 --> 00:04:24.443 der Zahlentheorie hat eben mit diesem Spannungsfeld diesen Unterschied zwischen 00:04:24.554 --> 00:04:28.261 multiplikativen und additiven Eigenschaften von Zahlen zu tun. 00:04:28.261 --> 00:04:29.584 Ich denke, das kann man so sagen. 00:04:29.584 --> 00:04:32.911 Zumindest wenn man diese sich mit dieser ABC-Vermutung beschäftigt, 00:04:32.911 --> 00:04:37.910 geht es eben viel darum. Und deswegen haben wir diese Relation a plus b ergibt c. 00:04:38.302 --> 00:04:40.425 Ja, das setzt man einfach so als Voraussetzung. 00:04:40.425 --> 00:04:40.831 Das setzt man voraus. 00:04:40.831 --> 00:04:42.826 Ja, genau. Und wir beschäftigen uns jetzt 00:04:42.826 --> 00:04:46.809 aber mit multiplikativen Eigenschaften, also irgendwie mit den Primfaktoren. 00:04:46.882 --> 00:04:48.736 Wenn a plus b gleich c ist, 00:04:48.847 --> 00:04:51.935 was können wir dann aussagen über die Primfaktoren, 00:04:51.935 --> 00:04:53.439 die in a, b und c vorkommen können? 00:04:53.439 --> 00:04:54.064 Genau, 00:04:54.064 --> 00:04:56.462 aber nur, dass man nochmal richtig kriegt diese Vermutung. 00:04:56.462 --> 00:04:57.906 Also du willst wirklich überprüfen, 00:04:57.906 --> 00:05:02.020 dass das Radikal des Produkts aller drei Zahlen nicht das Produkt ist. 00:05:02.020 --> 00:05:04.861 Dass das Produkt der Radikale kleiner ist als c. 00:05:04.861 --> 00:05:06.654 Das ist das Typische, 00:05:06.705 --> 00:05:13.126 dass das Radikal größer ist als c. Und das Untypische ist die andere Richtung. 00:05:13.597 --> 00:05:14.842 Dass das c größer ist. 00:05:14.842 --> 00:05:18.564 Sag das nochmal. Also, jetzt habe ich es glaube ich doch falsch verstanden. 00:05:18.564 --> 00:05:21.285 Das Typische ist, dass das Radikal größer ist. 00:05:21.285 --> 00:05:23.119 Das Radikal von Produkt von a, 00:05:23.119 --> 00:05:26.814 b und c. Das Radikal von Produkt von a, b und c. Und der untypische Fall ist, 00:05:26.814 --> 00:05:28.750 dass das c größer ist. 00:05:29.204 --> 00:05:31.396 Also untypisch heißt die Wahrscheinlichkeit ist irgendwie klein 00:05:31.396 --> 00:05:31.939 oder das Maß ist null oder? 00:05:31.939 --> 00:05:33.649 Ja, das müssen wir gleich noch ein bisschen aufrollen. 00:05:33.649 --> 00:05:36.298 Aber als erstes wollen wir mal ein paar Beispiele rechnen, oder? 00:05:36.298 --> 00:05:38.987 Ja, mach mal. Oder so ein paar Beispiele hinschreiben. 00:05:38.987 --> 00:05:43.250 Jetzt können wir erstmal darüber nachdenken, wenn wir jetzt dieses Radikal… 00:05:43.620 --> 00:05:45.882 groß machen wollen oder klein machen wollen. 00:05:45.882 --> 00:05:49.755 Also ist ja manchmal gut, so in Richtung Optimierung irgendwie zu denken. 00:05:50.125 --> 00:05:51.676 Also wenn zum Beispiel… 00:05:51.947 --> 00:05:55.529 wir könnten ja mal vergleichen das Produkt a mal b mal c mit dem Radikal. 00:05:55.529 --> 00:06:00.073 Also wenn diese a und b zum Beispiel wenig Primfaktoren haben, 00:06:00.073 --> 00:06:02.865 aber hohe Potenzen an ihren Primfaktoren. 00:06:03.055 --> 00:06:05.607 Wenn die zum Beispiel Primzahlpotenzen sind, 00:06:05.977 --> 00:06:09.080 dann tragen sie zu dem Radikal so wenig bei wie möglich. 00:06:09.080 --> 00:06:09.580 Klesch. 00:06:09.961 --> 00:06:12.506 Ja, aber wenn du insgesamt das Radikal größer haben willst, 00:06:12.506 --> 00:06:13.478 dann musst du einfach 00:06:13.889 --> 00:06:18.039 möglichst wenige gemeinsame Primzahlen und möglichst kleine Potenzen davon haben. 00:06:18.039 --> 00:06:19.292 Hm. 00:06:19.362 --> 00:06:20.965 Das ist sozusagen aber der übliche Fall 00:06:20.965 --> 00:06:23.459 und vielleicht versuche ich ja erstmal sozusagen das irgendwie, 00:06:23.509 --> 00:06:26.474 das Gegenteil, also so zu versuchen, warum, 00:06:26.474 --> 00:06:28.487 wie ich ein Gegenbeispiel konstruiere, oder? 00:06:28.558 --> 00:06:29.700 Okay, also ich nehme jetzt einfach mal… 00:06:29.700 --> 00:06:31.252 Nehmen wir einfach mal ein paar Zahlen. 00:06:31.252 --> 00:06:33.114 Guck, was rauskommt. Nehmen wir einfach mal eine Zahl, eine 2-Potenz. 00:06:33.114 --> 00:06:36.880 2 hoch 10. 10 ist 1024. Und 3 hoch 4 ist 81. 00:06:39.242 --> 00:06:40.439 3, 9, 27, 81. 00:06:42.806 --> 00:06:44.594 Also habe ich eine 2-Potenz und eine 3-Potenz. 00:06:44.594 --> 00:06:45.990 Das sind meine a und b. 00:06:47.102 --> 00:06:47.985 Die addiere ich jetzt zusammen. 00:06:47.985 --> 00:06:53.388 Also 1024 plus 81 ergibt, ich habe es mit dem Taschenrechner nachgerechnet, 1105. 00:06:55.204 --> 00:06:55.426 Okay. 00:06:55.426 --> 00:06:56.261 Ist durch 5 teilbar. 00:06:56.261 --> 00:06:59.680 Und dann habe ich mit Macaulay 2 das faktorisiert und 00:06:59.691 --> 00:07:01.264 das lässt sich schreiben 1105 als 5 mal 13 mal 17. 00:07:03.500 --> 00:07:05.533 Das ist die Primfaktor-Verzelligung von der Summe. 00:07:05.864 --> 00:07:10.501 Also wir stecken rein eine 2-Potenz plus eine 3-Potenz und wir kriegen was raus, 00:07:10.531 --> 00:07:13.356 was überhaupt keine Exponenten an den Primfaktoren hat, 00:07:13.356 --> 00:07:15.680 sondern 5 mal 13 mal 17 hat 3 Faktoren. 00:07:15.680 --> 00:07:21.586 So, und wenn ich jetzt das Radikal von a mal b mal c bestimmen will, 00:07:21.586 --> 00:07:23.103 Hast du schon 5 verschiedene Primteile drin. 00:07:23.103 --> 00:07:24.502 Habe ich 5 mal 13 mal 17. 00:07:26.100 --> 00:07:27.882 Habe ich sowieso, weil die in dem c drin sind. 00:07:27.882 --> 00:07:30.864 Und dann kriege ich auf jeden Fall noch die 2 und die 3 dazu. 00:07:30.864 --> 00:07:35.207 Und es ist genau das passiert, was die Vermutung als häufig vorhersagt, 00:07:35.207 --> 00:07:39.040 dass nämlich das Radikal von dem Produkt größer ist als das c. 00:07:39.251 --> 00:07:40.071 Weil die Primfaktoren, 00:07:40.071 --> 00:07:42.553 die in a und b vorkommen, in dem c gar nicht mehr vorkommen, 00:07:42.553 --> 00:07:44.004 sondern noch zusätzlich sind. 00:07:44.034 --> 00:07:46.106 Naja, diese Addition, also erstmal, 00:07:46.737 --> 00:07:48.278 erstmal ist es irgendwie nicht so erstaunlich, 00:07:48.278 --> 00:07:51.120 dass in der Summe andere Primfaktoren vorkommen. 00:07:51.120 --> 00:07:54.466 Als in den beiden einzelnen Faktoren a und b, 00:07:54.466 --> 00:07:58.002 weil ja die Primfaktorzerlegung ist halt eben eine multiplikative 00:07:58.173 --> 00:08:01.419 Eigenschaft und die Summenoperation macht damit was ganz anderes. 00:08:01.419 --> 00:08:04.990 Genau. Also das ist nicht erstaunlich, 00:08:04.990 --> 00:08:07.698 was natürlich in dem besonderen Beispiel jetzt schön ist, ist, 00:08:07.698 --> 00:08:11.664 dass die dass das c einfach ein Produkt von drei Primzahlen ist 00:08:11.664 --> 00:08:14.828 und da gar keine Exponenten auftauchen und die Primzahlen, 00:08:14.828 --> 00:08:17.792 die drei auch noch komplett disjunkt sind von der Primzahlmenge, 00:08:17.792 --> 00:08:19.685 mit der du in a und b gestartet hast, 00:08:19.815 --> 00:08:23.670 sodass da sozusagen dieser größer Pfeil ganz offensichtlich passiert. 00:08:24.141 --> 00:08:26.146 Naja, wahrscheinlich ist das, wenn man das beweisen will, 00:08:26.146 --> 00:08:28.461 die ABC-Vermutung, muss man genau das rausfinden, 00:08:28.693 --> 00:08:31.443 wie sich die Primzahlen verändern, wenn man Sachen addiert. 00:08:31.443 --> 00:08:33.512 Wir sind noch nicht ganz bei der richtigen ABC-Vermutung, 00:08:33.512 --> 00:08:34.800 wir erkunden erstmal so dieses Phänomen. 00:08:34.800 --> 00:08:37.427 Okay. Aber wir können nochmal, das ist ein Gegenbeispiel, 00:08:37.427 --> 00:08:39.453 also sozusagen eine von diesen seltenen Fällen, 00:08:39.453 --> 00:08:41.901 da kann man eigentlich auch so mit so ein bisschen knobeln auch. 00:08:41.901 --> 00:08:43.485 Aber weiß man, wie die Häufigkeiten sind? 00:08:43.485 --> 00:08:45.470 Also du sagst, wir sind noch nicht bei der ABC-Vermutung. 00:08:45.470 --> 00:08:46.753 Allein diese Frage sozusagen, 00:08:46.753 --> 00:08:49.829 was tritt häufiger auf, ist dieses radikal größer oder kleiner c? 00:08:50.281 --> 00:08:51.900 Kann man das messen, wie oft was eintritt? 00:08:51.900 --> 00:08:54.109 Es tritt sehr selten das Gegenteil auf. 00:08:54.109 --> 00:08:56.759 Also das war eben der typische Fall, dass es radikal größer ist. 00:08:56.759 --> 00:08:57.607 Ja, aber gibt es da irgendwie, 00:08:57.607 --> 00:08:59.577 also kann man das mit Wahrscheinlichkeitstheorie messen? 00:08:59.577 --> 00:09:03.702 Die Wahrscheinlichkeit ist null, dass du einen zufälligen Triple nimmst. 00:09:03.702 --> 00:09:04.966 Also ist natürlich die Frage wieder, 00:09:04.966 --> 00:09:08.806 wie du zufällig natürliche Zahlen auswählst, aber die musst du eben suchen. 00:09:08.806 --> 00:09:10.042 Also die Anzahl ist klein. 00:09:10.042 --> 00:09:13.920 Okay, also der Satz ist, es ist eine Maß-Null-Menge, je nachdem oder was. 00:09:13.920 --> 00:09:14.691 Was ist der? 00:09:15.121 --> 00:09:16.993 Der Satz, äh, sag gleich was mit. 00:09:17.164 --> 00:09:18.445 Okay, dann sag ich jetzt erstmal den Satz. 00:09:18.445 --> 00:09:20.728 Also Petra will unbedingt den Satz haben. 00:09:20.728 --> 00:09:25.523 Also jetzt statt das Radikal von a mal b mal c zu nehmen, 00:09:25.734 --> 00:09:31.010 nehme ich jetzt das Radikal hoch, eine Potenz, die beliebig nah an 1 ist. 00:09:32.161 --> 00:09:35.410 Okay? Also ich suche jetzt, statt Triple zu suchen, so dass das Radikal, 00:09:35.410 --> 00:09:39.201 also die Ausnahmen sind die, wo c größer ist als das Radikal. 00:09:39.201 --> 00:09:44.199 Jetzt mache ich das Radikal ein ganz, ganz itsy-bitsy kleines bisschen größer, 00:09:44.309 --> 00:09:48.505 indem ich statt dem Radikal nehme, das Radikal hoch 1,00000000001. 00:09:51.626 --> 00:09:53.852 Also y für sehr kleines y. Ja. 00:09:53.943 --> 00:09:57.950 Also Radikal hoch 1 plus y. Und boom. 00:09:58.162 --> 00:10:01.090 Es gibt nur noch endlich viele Gegenbeispiele. 00:10:01.562 --> 00:10:03.817 Endlich Gegenbeispiele heißt nur noch endlich viele Zahlen. 00:10:03.817 --> 00:10:04.062 Es gibt nur noch endlich 00:10:04.062 --> 00:10:05.245 viele Triple a, b, c, 00:10:05.245 --> 00:10:10.650 sodass c nun größer ist als dieses Radikal hoch 1 plus eine ganz, ganz kleine Zahl. 00:10:12.547 --> 00:10:13.595 Das klingt erstmal sehr verrückt. 00:10:13.595 --> 00:10:14.966 Und da gibt es für 1, 00:10:14.966 --> 00:10:18.670 also c größer als Radikal, gibt es unendlich viele Gegenbeispiele. 00:10:18.841 --> 00:10:20.731 Aber wenige, also dünn gesehen. 00:10:20.731 --> 00:10:21.744 Wenige Messungen. 00:10:22.342 --> 00:10:25.040 Aber so wie ich das Radikal hoch 1 plus Epsilon nehme, 00:10:25.271 --> 00:10:28.130 also das ein bisschen größer mache, gibt es nur noch endlich viele Gegenbeispiele. 00:10:28.248 --> 00:10:29.450 Das ist die Vermutung. 00:10:29.586 --> 00:10:30.645 Das ist jetzt die ABC-Vermutung? 00:10:30.645 --> 00:10:31.572 Das ist die ABC-Vermutung. Okay. 00:10:32.521 --> 00:10:35.773 Und jetzt möchte ich aber einmal versuchen, so ein Gegenbeispiel, zu sehen, 00:10:35.773 --> 00:10:37.850 wie man auf so ein Gegenbeispiel erstmal kommt. 00:10:37.985 --> 00:10:38.751 Und die Idee ist, 00:10:38.751 --> 00:10:43.142 man versucht das c. Man nimmt erstmal als das c eine Primzahlpotenz. 00:10:43.142 --> 00:10:44.823 Ja, so hätte ich jetzt auch angefangen. 00:10:44.823 --> 00:10:49.026 Entweder ein Produkt von sehr hohen Primzahlpotenzen oder einfach eine 2 hoch 7. 00:10:49.026 --> 00:10:51.748 Ja, genau. Also wenn wir als das c eine 2-Potenz nehmen, 00:10:51.748 --> 00:10:55.501 dann trägt das c selbst sehr wenig zu dem Radikal bei, 00:10:55.571 --> 00:10:58.103 ist aber selbst eine sehr große Zahl. 00:10:58.153 --> 00:10:58.653 Ja. 00:10:58.653 --> 00:11:00.985 Und man kann zum Beispiel 2 hoch 7 nehmen. 00:11:00.995 --> 00:11:04.047 Das ist 128. Und das kann man schreiben als 3 plus 125. 00:11:04.157 --> 00:11:04.928 Also 3 plus 5 hoch 3. 00:11:08.600 --> 00:11:12.173 Und dann ist das Radikal von dem Produkt einfach 3. 00:11:12.504 --> 00:11:16.837 Das b war 5 hoch 3. 3 mal 5. Und von dem c kriege ich nun 2. 00:11:17.008 --> 00:11:19.069 3 mal 5 mal 2 ergibt 3 mal 10. 00:11:19.069 --> 00:11:22.162 30. Und 30 ist kleiner als die 128, die das c war. 00:11:22.552 --> 00:11:25.795 Und so 1, 8, 9 ist auch schon ein Gegenbeispiel. 00:11:25.795 --> 00:11:28.858 Wenn man kleine Zahlen benutzt, findet man einige Gegenbeispiele. 00:11:28.858 --> 00:11:30.820 Sind die Gegenbeispiele häufiger bei den kleinen Zahlen? 00:11:30.820 --> 00:11:32.450 Nein, die Gegenpassspiele. 00:11:34.141 --> 00:11:36.026 Also ich will da jetzt keine asymptotische Aussage machen, 00:11:36.026 --> 00:11:38.331 da bin ich mir jetzt nicht so sicher, 00:11:38.331 --> 00:11:41.299 ob da die Dichte von diesen Triebeln, wie die sich genau verhält. 00:11:41.299 --> 00:11:43.531 Da gab es auch so ein Computerprogramm. 00:11:43.531 --> 00:11:45.910 Kennst du noch SETI at Home? 00:11:46.107 --> 00:11:46.404 Nein. Nee? 00:11:46.404 --> 00:11:47.833 Du hast noch nie was von SETI at Home gehört? 00:11:47.833 --> 00:11:49.210 Das ist eine ganz tolle Sache. 00:11:50.062 --> 00:11:51.876 Für die jüngeren Hörerinnen und Hörer. 00:11:51.966 --> 00:11:54.491 Früher als Computer noch so Röhrenmonitore hatten, 00:11:54.491 --> 00:11:56.556 die so einen Desktop-Computer, so ein dicker Computer, 00:11:56.556 --> 00:11:58.339 so ein 15 cm dicker Kasten, der stand auf dem Schreibtisch. 00:11:58.339 --> 00:11:59.115 Also die kenn ich noch, ne? 00:11:59.115 --> 00:12:01.564 Und da drauf stand ein Röhrenmonitor, ja? 00:12:01.564 --> 00:12:04.448 Und der Röhrenmonitor hatte einen Katodenstrahl. 00:12:04.449 --> 00:12:07.850 Grün-Schwarz. Genau. Bevor es Farbe gab, gab es den nur in Grün-Schwarz. 00:12:08.041 --> 00:12:10.086 Und damit es, wenn der immer das gleiche Bild anzeigt, 00:12:10.086 --> 00:12:11.639 dann kann sich das so einbrennen. 00:12:11.770 --> 00:12:15.262 Ich hole ganz schön weit aus, aber ich komme gleich wieder zur ABC-Vermutung. 00:12:15.262 --> 00:12:17.778 Da gab es Bildschirmschoner. Bildschirmschoner ist ein Programm. 00:12:17.808 --> 00:12:20.195 Strom war unendlich verfügbar und hat nichts gekostet. 00:12:20.195 --> 00:12:22.450 Das heißt, man hat sowieso immer alles angelassen. 00:12:22.900 --> 00:12:28.210 Und damit der Bildschirm nicht ein Bild so einbrennt in die Mattscheibe. 00:12:28.883 --> 00:12:30.228 Hatte man ein Bildschirmschoner, ein Programm, 00:12:30.228 --> 00:12:32.300 was einfach immer wieder ein anderes Bild anzeigt. 00:12:32.300 --> 00:12:32.800 Ja. 00:12:33.602 --> 00:12:38.250 Statt immer den Windows 3.11 Hintergrund irgendwie ein anderes Bild. 00:12:38.409 --> 00:12:39.207 Und... 00:12:39.207 --> 00:12:40.701 So Würmer, die sich rumschlängeln. 00:12:40.701 --> 00:12:42.324 Und da gab's dann so Würmer, die sich rumschlängeln. 00:12:42.324 --> 00:12:44.407 Ich hatte einen Johnny Castaway, 00:12:44.407 --> 00:12:46.872 da war irgendwie einer so auf einer Insel und da saß der auf seiner Insel rum 00:12:46.872 --> 00:12:49.056 und immer ganz selten passierte irgendwas. 00:12:49.056 --> 00:12:51.099 Kam eine Flaschenpost an oder es regnete mal oder so. 00:12:51.099 --> 00:12:52.981 so. Gab es so lustige Bildschirmschoner. 00:12:52.981 --> 00:12:55.392 Und irgendwie gab es auch so einen Bildschirmschoner von 00:12:55.402 --> 00:12:58.365 einer amerikanischen Uni, ich weiß es, kann es nicht mehr genau rekonstruieren. 00:12:58.365 --> 00:12:59.715 Der hieß SETI at Home. 00:12:59.826 --> 00:13:02.768 Da haben die von irgendeinem Radioteleskop die Daten genommen und die haben 00:13:02.768 --> 00:13:05.800 die durchsucht nach Signalen von außerirdischer Intelligenz. 00:13:06.030 --> 00:13:07.451 Und der Witz an der Sache war, 00:13:07.451 --> 00:13:09.953 dass wenn du dein Computer den Bildschirmschoner anzeigst, 00:13:09.953 --> 00:13:11.704 dann benutzt du den Computer ja gar nicht, 00:13:11.734 --> 00:13:16.938 dass dann dein Computer diese Radioteleskopdaten dann nach Signalen durchsucht, 00:13:16.938 --> 00:13:19.300 also irgendwie Fourier-Zerlegung von diesen Signalen macht. 00:13:19.300 --> 00:13:22.458 Nacht. Und dazu natürlich auch eine coole Animation zeigt, 00:13:23.412 --> 00:13:24.616 wie das Spektrum aussieht. 00:13:24.616 --> 00:13:25.941 Cloud Computing quasi. 00:13:25.941 --> 00:13:28.770 Das war so eine Art Cloud Computing, aber also andersrum. 00:13:28.770 --> 00:13:32.110 Nicht die Nutzer nutzen alle die Cloud, sondern die Cloud nutzt die Nutzer. 00:13:32.521 --> 00:13:35.106 Genau. Und es gibt, dann gab es irgendwann ABC at Home. 00:13:35.106 --> 00:13:38.591 ABC at Home war die Suche für alle Zahlen kleiner irgendeine Schranke, 00:13:38.591 --> 00:13:41.426 c kleiner irgendeine Schranke und alle additiven Zerlegungen davon, 00:13:41.536 --> 00:13:43.950 das alles zu enumerieren, wie viele Triples da gibt. 00:13:44.423 --> 00:13:45.908 Und dann kann man natürlich irgendwie so optimieren. 00:13:45.908 --> 00:13:49.401 Also man kann ja versuchen, das Verhältnis von c... 00:13:49.401 --> 00:13:52.820 ...durch das Radikal möglichst groß zu machen oder das Verhältnis der Logarithmen. 00:13:52.820 --> 00:13:56.709 Ja. Und dann gibt's da so Rekorde und dann fragt man sich, wie groß das werden kann. 00:13:57.203 --> 00:13:59.873 Und dann konnte jeder, statt seinen Bildschirmschoner anzumachen, 00:13:59.873 --> 00:14:00.760 zu Hause ein bisschen mitrechnen. 00:14:00.760 --> 00:14:01.182 Genau. 00:14:01.182 --> 00:14:04.864 Könnte man was Sinnvolles mit seinem Computer machen, während man den nicht nutzt. 00:14:04.864 --> 00:14:06.881 Aber naja, heutzutage will man ja keinen Strom mehr verschwenden. 00:14:06.881 --> 00:14:10.124 Da ist es vielleicht, muss man sich überlegen, ob man das machen will. 00:14:10.124 --> 00:14:11.411 Aber diese Infrastruktur gibt's immer noch. 00:14:11.411 --> 00:14:12.578 Die ist mittlerweile weiterentwickelt worden. 00:14:12.578 --> 00:14:14.481 Es ist irgendwie... Boink heißt das irgendwie. 00:14:14.481 --> 00:14:15.702 Ich weiß gar nicht mehr, wofür das steht. 00:14:15.702 --> 00:14:17.204 Ich glaube, b steht für Berkeley. 00:14:17.204 --> 00:14:20.347 B-O-I-N-C. Das ist so eine Infrastruktur. 00:14:20.347 --> 00:14:24.060 Also du brauchst dann nur einmal ein Programm bei dir auf dem Rechner installieren. 00:14:24.270 --> 00:14:25.952 Und Wissenschaftlerinnen 00:14:25.952 --> 00:14:29.475 und Wissenschaftler können dann in diesen riesigen Cloud-Computer von allen, 00:14:29.475 --> 00:14:31.997 die das Programm installiert haben, so Projekte reingeben. 00:14:31.997 --> 00:14:34.319 Und dieses ABC at Home war auch da dabei. 00:14:34.319 --> 00:14:35.543 dabei. 00:14:37.445 --> 00:14:38.410 Kann man sich dann aussuchen, 00:14:38.410 --> 00:14:40.119 welche Programme bei einem gerechnet werden? 00:14:40.119 --> 00:14:42.088 Genau, ja. Und dann gibt es irgendwie Gamification, 00:14:42.088 --> 00:14:45.790 gibt es irgendwie Punktesystem und lauter so Zeug. 00:14:46.422 --> 00:14:48.881 Okay, gut. Hast du ein Beispiel noch? 00:14:49.394 --> 00:14:51.190 Oder willst du keine Beispiele angucken? 00:14:51.303 --> 00:14:52.926 Gegenbeispiele? Naja, wir hatten doch irgendwie... 00:14:52.926 --> 00:14:53.615 Eins hatten wir, ja, 00:14:53.615 --> 00:14:55.365 ja. Gegenbeispiele. Du kannst halt irgendwie so... 00:14:55.365 --> 00:14:57.380 Also es gibt so Familien von Gegenbeispielen. 00:14:57.451 --> 00:15:00.830 Zum Beispiel kann man sich überlegen, wenn man a einfach mal gleich 1 nimmt. 00:15:02.120 --> 00:15:05.646 Dann hat man nur noch 1 plus b ist gleich c. Und das ist ja auch interessant, 00:15:05.646 --> 00:15:07.649 wie so eine Art atomare Operation. 00:15:07.649 --> 00:15:10.213 Also du fragst dich, was passiert mit den Primfaktoren von einer Zahl, 00:15:10.213 --> 00:15:12.577 wenn ich 1 abziehe oder 1 dazu addiere. 00:15:12.577 --> 00:15:14.610 Also das ist ja vielleicht so eine Art... 00:15:14.860 --> 00:15:16.406 elementares Ding, 00:15:16.406 --> 00:15:20.243 was man über das Verhältnis von Addition und Multiplikation verstehen will. 00:15:20.243 --> 00:15:21.046 Ja, das meinte ich, 00:15:21.046 --> 00:15:24.490 als ich vorhin sagte, eigentlich müsste man dann ja verstehen können, 00:15:24.964 --> 00:15:28.761 wie sich die Primfaktor-Zerlegung ändert, wenn ich Sachen addiere. 00:15:28.761 --> 00:15:29.443 Das würde man... 00:15:29.443 --> 00:15:33.656 Vielleicht ist es so, die halbe-Zahlen-Theorie geht irgendwie darum, wie sich... 00:15:33.656 --> 00:15:35.110 wie Primzahlen funktionieren. 00:15:35.880 --> 00:15:37.683 Also die Vermutung, um das mal historisch einzuordnen, 00:15:37.683 --> 00:15:39.935 die ist so aus den 80ern des letzten Jahrhunderts. 00:15:40.226 --> 00:15:43.250 Also noch nicht so alt. So, warum ist die jetzt interessant? 00:15:43.250 --> 00:15:45.382 Ich weiß nicht, ob du das schon mal gehört hast. 00:15:45.413 --> 00:15:48.297 Die impliziert allerlei Sätze aus der Zahlentheorie. 00:15:48.297 --> 00:15:51.210 Also wenn du auf die Wikipedia-Seite von der ABC-Vermutung... 00:15:51.360 --> 00:15:55.146 ... gehst, siehst du da 18 wichtige Dinge in der Mathematik, 00:15:55.146 --> 00:15:57.479 einige schon bewiesen, einige unbewiesen, 00:15:57.750 --> 00:16:01.154 die dann leicht folgen, wenn man diese ABC-Vermutung hätte. 00:16:01.154 --> 00:16:05.030 Also die ist in der Zahlentheorie ein hochrangiges Ziel. 00:16:05.182 --> 00:16:09.310 Unter anderem würde es einen leichten Beweis von Fermats letzten Satz geben. 00:16:09.310 --> 00:16:10.051 Also wir wissen natürlich jetzt, 00:16:10.051 --> 00:16:11.283 dass Fermats letzter Satz 00:16:11.334 --> 00:16:14.790 stimmt durch den langen komplizierten Beweis von Andrew Wild. 00:16:15.402 --> 00:16:17.869 Aber das wäre ein alternativer Beweis. 00:16:17.869 --> 00:16:18.591 Hast du eine Sache, 00:16:18.591 --> 00:16:20.015 die man so direkt daraus folgern kann? 00:16:20.015 --> 00:16:21.861 Gibt es da irgendwas, was super elementar ist? 00:16:21.861 --> 00:16:25.328 Ich finde, Fermats letzter Satz ist so das, was man am besten verstehen kann. 00:16:25.328 --> 00:16:30.287 Also von dem Durchscrollen da habe ich Abstand genommen zu versuchen, 00:16:30.378 --> 00:16:31.420 noch andere davon zu erklären. 00:16:31.420 --> 00:16:33.349 Aber es ist nicht kurz genug, dass wir es hier erklären können, 00:16:33.349 --> 00:16:36.930 wie Fermats letzter Satz aus ABC folgt. 00:16:37.044 --> 00:16:40.550 Wie er folgt? Ne, das könnte ich jetzt glaube ich nicht erklären. 00:16:40.921 --> 00:16:42.387 Ich kann Fermats letzten Satz einmal sagen. 00:16:42.387 --> 00:16:42.889 Mach das. 00:16:42.889 --> 00:16:45.700 Pythagoreische Triebe kennen ja vielleicht manche. 00:16:45.700 --> 00:16:50.174 Also Zahlen, ganze Zahlen, sodass a² plus b² gleich c² gilt. 00:16:50.184 --> 00:16:51.505 Das jetzt mit Quadraten, 00:16:51.505 --> 00:16:54.337 nicht wieder ABC-Vermutung mit a plus b plus c. 00:16:54.628 --> 00:16:59.292 Und das ist ein rechtwinkliges Dreieck, da gilt ja a² plus b² gleich c², 00:16:59.292 --> 00:17:00.683 der Satz des Pythagoras. 00:17:00.773 --> 00:17:02.935 Genau, und die heißen deshalb pythagoreische Triebe, 00:17:02.935 --> 00:17:04.636 weil das ganze Zahlen sind. 00:17:04.636 --> 00:17:06.578 Also wenn man zum Beispiel ein rechtwinkliges Dreieck macht, 00:17:06.578 --> 00:17:09.320 wo die kurzen Seiten Länge 3 und Länge 4 haben, dann hat die Vielen Dank. 00:17:09.320 --> 00:17:11.462 hat die Hypotenuse Länge 5. Ja. 00:17:11.462 --> 00:17:14.259 Und es gibt unendlich viele solche pythagoreische Triebel 00:17:14.912 --> 00:17:17.730 und also ganze Zahlen, die das erfüllen. 00:17:18.062 --> 00:17:21.289 Und da kann man sich natürlich fragen, ob es mit hoch 3 auch gehen könnte, 00:17:21.289 --> 00:17:26.147 also ob es ganze Zahlen gibt, sodass a hoch 3 plus b hoch 3 gleich c hoch 3 ist. 00:17:26.147 --> 00:17:27.790 Und das ist nicht der Fall. 00:17:28.080 --> 00:17:30.884 Und für hoch 4 ist es auch nicht der Fall, gibt keine ganzen Zahlen. 00:17:30.884 --> 00:17:32.495