WEBVTT NOTE PGD052 – automatic transcript (Whisper large-v3, wav2vec2 alignment, Sortformer + speaker embeddings). Generated by tools/transcribe/pi3tx.py, may contain errors. 00:00:00.321 --> 00:00:03.928 Ja, herzlich willkommen, liebe Menschen da draußen zu Pi ist genau 3. 00:00:03.928 --> 00:00:06.653 Wir sind wieder hier mit unserer 52. 00:00:06.653 --> 00:00:09.578 Folge. Am Mikrofon sind wie immer Thomas Kahle, 00:00:09.578 --> 00:00:10.546 hallo Petra. 00:00:10.546 --> 00:00:12.100 Und Petra Schwer. Hallo, hi Thomas. 00:00:12.100 --> 00:00:12.817 Grüß dich. Na? 00:00:13.804 --> 00:00:16.460 Ja, lange nicht im Podcast gehört und gesprochen. 00:00:16.460 --> 00:00:20.154 Genau. Sehr schön, dass es mal wieder klappt. 00:00:20.154 --> 00:00:21.790 Wir haben Neuigkeiten. 00:00:22.180 --> 00:00:22.680 Ja. 00:00:22.741 --> 00:00:24.262 Ja, sollen wir die gleich mal verkünden? 00:00:24.262 --> 00:00:24.382 Ja, 00:00:24.382 --> 00:00:24.892 mach mal. 00:00:25.262 --> 00:00:28.325 Unsere Hörerinnen und Hörer haben die einmalige Chance, 00:00:28.325 --> 00:00:33.098 uns live zu sehen und uns über die Schulter zu gucken beim Podcast aufnehmen. 00:00:33.228 --> 00:00:35.230 Wir werden live aufzeichnen bei der Langen Nacht 00:00:35.230 --> 00:00:37.852 der Wissenschaft in Magdeburg am 11.06. 00:00:37.852 --> 00:00:39.223 Genau. 00:00:39.333 --> 00:00:42.325 Also da gibt es dann wahrscheinlich einen YouTube-Stream auch 00:00:42.395 --> 00:00:45.067 und da kann man schon mal die Augen offen halten. 00:00:45.357 --> 00:00:45.618 Genau. 00:00:45.618 --> 00:00:47.379 Die Details müssen wir natürlich irgendwie noch ein bisschen planen 00:00:47.379 --> 00:00:48.540 und ich weiß auch noch nicht die Zeit. 00:00:48.540 --> 00:00:49.040 Zeit. 00:00:49.120 --> 00:00:50.482 Wir wissen selber noch nicht die Uhrzeit. 00:00:50.482 --> 00:00:52.685 Das Programm steht noch nicht fest für die Lange Nacht der Wissenschaft. 00:00:52.685 --> 00:00:54.648 Wir werden das über die üblichen Kanäle, 00:00:54.648 --> 00:00:57.793 wahrscheinlich auch auf unserer Webseite als Ankündigung bekannt machen, 00:00:57.793 --> 00:01:00.286 wie man den YouTube-Stream findet 00:01:00.617 --> 00:01:02.900 und wo man uns live auf dem Campus in Magdeburg findet. 00:01:02.900 --> 00:01:04.165 Genau, man kann auch dann echt hinkommen. 00:01:04.165 --> 00:01:06.800 Also man kann auch dabei sein bei der Aufnahme und hinterher uns Fragen stellen 00:01:07.132 --> 00:01:10.662 zum Beispiel. Oder noch ein Würstchen essen oder sowas. 00:01:10.662 --> 00:01:14.190 Herzliche Einladung. 11.6. schon mal vormerken. 00:01:14.232 --> 00:01:16.762 Genau. So, dann können wir jetzt über Mathe reden, oder? 00:01:16.762 --> 00:01:18.304 Ja, gerne. Du hast ein Thema mitgebracht. 00:01:18.304 --> 00:01:19.475 Ich habe heute ein Thema mitgebracht. 00:01:19.846 --> 00:01:21.638 Das Thema fängt an mit einem Alltagsproblem. 00:01:21.708 --> 00:01:23.270 Hast du schon mal dein Fahrrad so angeschlossen, 00:01:23.270 --> 00:01:24.562 dass es gar nicht angeschlossen war? 00:01:24.612 --> 00:01:25.653 Ist mir noch nicht passiert. 00:01:25.653 --> 00:01:28.897 Aber was mir mal passiert ist, dass jemand sein Fahrrad angeschlossen hat, 00:01:28.897 --> 00:01:30.639 sodass mein Fahrrad angeschlossen war. 00:01:30.639 --> 00:01:31.330 Aha. 00:01:30.639 --> 00:01:31.139 Aha. 00:01:31.320 --> 00:01:33.863 Ja, das hat auch mit unserem heutigen Thema zu tun. 00:01:33.863 --> 00:01:35.925 Und dann habe ich noch ein ganz praktisches Problem, 00:01:35.925 --> 00:01:38.497 für das vielleicht Leute, die so 3D-Druck machen, auch kennen. 00:01:38.767 --> 00:01:42.251 Dieses Material, mit dem man 3D druckt, das ist so Plaste, 00:01:42.251 --> 00:01:46.575 die so spiralförmig so ein Kabel, wie so ein Plastikkabel, 00:01:46.575 --> 00:01:49.407 das relativ starr ist, also biegsam, aber bricht auch schnell. 00:01:49.878 --> 00:01:52.390 Und das ist spiralförmig aufgewickelt. 00:01:52.881 --> 00:01:53.683 Und stell dir vor, 00:01:53.683 --> 00:01:56.852 es ist so eine dicke Rolle und die sieht so total perfekt ordentlich aus. 00:01:56.852 --> 00:01:59.702 Also die liegen immer so alle schön nebeneinander. 00:01:59.702 --> 00:02:01.206 Und dann, wenn man das benutzt, 00:02:01.206 --> 00:02:02.620 wickelt sich das so ein bisschen ab 00:02:02.751 --> 00:02:04.837 und dann zieht man es wieder fest und dann wickelt sich das ein bisschen ab 00:02:04.837 --> 00:02:05.809 und dann zieht man es wieder fest. 00:02:05.822 --> 00:02:07.627 Und auf einmal ist es so verknotet, 00:02:07.627 --> 00:02:10.474 dass man das überhaupt nicht richtig abwickeln kann 00:02:10.474 --> 00:02:12.930 und es ist eine totale Katastrophe. 00:02:12.982 --> 00:02:15.931 Und ich habe versucht irgendwie zu verstehen, was dahinter steckt. 00:02:15.931 --> 00:02:19.330 Und deswegen habe ich mich mit Knotentheorie mal ein bisschen auseinandergesetzt. 00:02:19.441 --> 00:02:21.397 Und das wollte ich heute mal ein bisschen besprechen. 00:02:21.689 --> 00:02:25.061 Aber dieses 3D-Drucker-Problem konnte ich immer noch nicht lösen. 00:02:25.061 --> 00:02:27.465 Ja, das dachte ich. Kabelsalat ist eine schlimme Sache. 00:02:27.465 --> 00:02:30.661 Also mir geht das auch regelmäßig mit so Kopfhörerkabeln und 00:02:30.912 --> 00:02:35.182 irgendwelchen anderen Dingen so, dass man die maximal verknotet hat. 00:02:35.182 --> 00:02:36.889 Naja, werden wir gleich noch drauf kommen. 00:02:36.889 --> 00:02:39.590 Mathematisch sind die meistens nämlich gar nicht verknotet. 00:02:39.785 --> 00:02:41.950 Kennst du diese Treppenhüpfer? 00:02:42.060 --> 00:02:42.882 Ja. Ich glaube dieses gleiche, 00:02:42.882 --> 00:02:47.067 was mein, wenn dem jetzt mein 3D-Drucker-Kabelproblem zu esoterisch vorkommt, 00:02:47.067 --> 00:02:48.149 der kennt vielleicht so einen Treppenhüpfer. 00:02:48.149 --> 00:02:51.012 Also das ist eigentlich auch so eine Metallspirale, die so ein bisschen biegsam ist. 00:02:51.012 --> 00:02:52.364 Zu doll biegen sollte man es nicht. 00:02:52.594 --> 00:02:55.238 Und Kinder haben irgendwie diese Fähigkeit, die machen eine Bewegung, 00:02:55.238 --> 00:02:57.030 die dauert vielleicht eine halbe Sekunde. 00:02:57.120 --> 00:02:59.022 Nehmen das Ding, machen irgendeine schnelle Bewegung, 00:02:59.022 --> 00:03:01.876 die man nicht nachvollziehen kann und dann ist es irgendwie verknotet. 00:03:01.966 --> 00:03:04.298 So dass meine einzige Möglichkeit, 00:03:04.409 --> 00:03:07.292 die ich kenne, ist irgendwie diesen Knoten so Schritt für Schritt irgendwie 00:03:07.292 --> 00:03:10.096 zum Rand zu bewegen und dann ist irgendwann das lose Ende, 00:03:10.096 --> 00:03:13.329 also wie man jetzt so ein offenes Seil entknoten würde. 00:03:13.479 --> 00:03:13.979 Aber. Aber eigentlich ist es ja auch so, 00:03:13.520 --> 00:03:14.080 dass wir uns nicht mehr so sehr an die Frage stellen, 00:03:14.080 --> 00:03:16.853 eigentlich müsste es ja sozusagen das normalerweise ist das ja invertierbar, 00:03:16.853 --> 00:03:17.938 was das Kind damit gemacht hat. 00:03:17.938 --> 00:03:19.348 Aber genau diese richtige Bewegung, 00:03:19.348 --> 00:03:21.698 also spiralförmig aufgewickelte Dinge verwirren mich. 00:03:21.698 --> 00:03:24.117 Aber da hat, glaube ich, die Knotentheorie nicht die Lösung für. 00:03:24.117 --> 00:03:24.617 Das ist so. 00:03:25.044 --> 00:03:28.323 Das ist im Sinne der Knotentheorie ist es ein triviales Problem, 00:03:28.323 --> 00:03:31.922 weil dies gar nicht eine geschlossene Kurve ist, sondern eine offene Spirale. 00:03:31.922 --> 00:03:33.496 Aber ja, das klären wir wahrscheinlich. 00:03:33.496 --> 00:03:34.985 Fangen wir mal an mit dem Knoten. 00:03:34.985 --> 00:03:35.940 Also jeder kennt ja vielleicht einen Knoten. 00:03:35.940 --> 00:03:37.699 Man hat irgendwie so ein Seil und dann. 00:03:37.699 --> 00:03:39.372 Und dann macht man halt einen Knoten rein. 00:03:39.843 --> 00:03:43.097 Und mathematisch ist das nicht ein Knoten, 00:03:43.388 --> 00:03:47.723 weil mathematisch ist ein Knoten ein Seil, wo die Enden auch noch verbunden sind. 00:03:48.194 --> 00:03:51.328 Genau, es ist eine Verschlingung der Eins-Sphäre. 00:03:51.439 --> 00:03:52.439 Ja, das heißt, man. man... 00:03:52.880 --> 00:03:55.332 nimmt also sein Seil, wo die Knoten drin sind, 00:03:55.382 --> 00:03:57.324 aber das hat dann nicht offene Enden, 00:03:57.324 --> 00:03:59.025 sondern die beiden Enden werden noch verbunden, 00:03:59.025 --> 00:04:01.717 sodass es also ein geschlossener Seilring ist, 00:04:01.787 --> 00:04:05.600 aber in dem sich jetzt eventuell Knoten oder auch keine Knoten befinden. 00:04:05.770 --> 00:04:07.171 Natürlich, wie es in der Mathematik immer ist, 00:04:07.171 --> 00:04:09.873 gibt es auch einen Nichtknoten oder einen trivialen Knoten, 00:04:09.873 --> 00:04:13.616 wo das Seil einfach nur so ein Ring ist und gar keine Knoten drin hat. 00:04:13.616 --> 00:04:18.450 Ja, wo es keine Überkreuzungen gibt von den Seilstücken auch. 00:04:19.180 --> 00:04:23.188 Ja, also das Seil stellen wir uns jetzt so im Dreidimensionalen vor, 00:04:23.188 --> 00:04:27.084 weil diese Knotentheorie, die soll ja was modellieren, was es wirklich gibt. 00:04:27.295 --> 00:04:30.510 Aber natürlich gibt es auch so eine mathematische Abstraktion davon. 00:04:30.740 --> 00:04:34.474 Und die gängige Abstraktion ist, man nimmt den Kreis, 00:04:34.485 --> 00:04:38.610 also die eindimensionale Sphäre, würden die Profis vielleicht sagen, 00:04:38.610 --> 00:04:43.315 und bettet die in den R3 ein, sodass die sich nicht selbst überschneidet. 00:04:43.315 --> 00:04:47.240 Also das, wo ein Punkt vor dem Seil ist, kann halt kein anderer sein. 00:04:47.240 --> 00:04:47.740 Ja, 00:04:47.240 --> 00:04:49.808 wenn man eine echte Einbettung hat, das ist automatisch so. 00:04:50.700 --> 00:04:52.144 Man kann dann auch so Verallgemeinerungen machen, 00:04:52.144 --> 00:04:54.370 also wie es in der Mathe immer ist, gibt es dann auch so Knotentheorie, 00:04:54.370 --> 00:04:57.177 die irgendwie so zweidimensionale Sphären ins vierdimensionale einbettet 00:04:57.177 --> 00:04:58.219 oder so, aber sowas machen wir heute nicht. 00:04:58.219 --> 00:04:59.894 Ja, die erste Verallgemeinerung ist, 00:04:59.965 --> 00:05:02.050 ein Sphären auf andere Flächen einzubetten, 00:05:02.050 --> 00:05:06.670 also auf den Torus oder Flächen höheren Geschlechts, das ist auch spannend. 00:05:07.222 --> 00:05:09.978 Jetzt gibt es da noch so ein paar Probleme mit dieser Definition, 00:05:10.209 --> 00:05:12.153 weil man auch so ganz, 00:05:12.153 --> 00:05:16.981 man könnte zum Beispiel so mit dieser Definition so ein Knoten konstruieren, 00:05:16.981 --> 00:05:19.183 also so eine Einbettung von diesem Seil, 00:05:19.183 --> 00:05:21.225 wo so ganz viele, so abzählbar viele, 00:05:21.225 --> 00:05:24.327 also für jede natürliche Zahl ein Knoten so nacheinander kommen, 00:05:24.327 --> 00:05:25.678 die immer kleiner werden. 00:05:26.169 --> 00:05:30.172 Und dann hätte man so ein Seil, was unendlich oft verknotet ist in sich selbst. 00:05:30.172 --> 00:05:33.044 Und sowas schließt man dann, wenn man dann irgendwie noch ausschließen. 00:05:33.315 --> 00:05:35.937 Also für die meisten Zwecke kann man sich jetzt wirklich so einfach einen Knoten 00:05:35.937 --> 00:05:39.320 vorstellen, nur dass die Seilenden eben verbunden sind. 00:05:39.320 --> 00:05:43.295 sind. Ja, und die zentrale Beobachtung ist, man kann da was darüber rausfinden. 00:05:43.426 --> 00:05:46.620 Und zwar kann man darüber sogar was rausfinden mit Zeichnungen. 00:05:46.991 --> 00:05:49.244 Also wenn man sich jetzt ein Buch überlegt, ein Mathebuch, 00:05:49.254 --> 00:05:53.363 in einem Knotentheorie-Buch müssen ja auch irgendwelche Zeichnungen sein. 00:05:53.363 --> 00:05:55.058 Ja, das sind immer so Symbole und 00:05:55.450 --> 00:05:57.944 abstrakte sozusagen Darstellungen von diesen Knoten. 00:05:57.944 --> 00:05:59.054 Wie würdest du denn einen Knoten darstellen? 00:05:59.054 --> 00:06:01.049 2D projiziert natürlich. 00:06:01.049 --> 00:06:03.500 Ja, also wir haben ja schon gesagt, das ist eine Verschlingung. 00:06:03.500 --> 00:06:08.920 Von so einem am Ende wieder geschlossenen Seilstück oder Kreis 00:06:09.792 --> 00:06:13.910 im R hoch 3. Jetzt kann man das im R hoch 3 natürlich nicht ins Buch. 00:06:14.560 --> 00:06:17.888 Abbilden. Was man macht, sind sich Projektionen anzugucken. 00:06:17.888 --> 00:06:19.091 Das ist ja immer der Standard-Trick, 00:06:19.091 --> 00:06:22.701 wenn man irgendein dreidimensionales Objekt auf 2D angucken will. 00:06:22.701 --> 00:06:26.428 Das heißt, man fotografiert sozusagen von oben den Knoten 00:06:26.428 --> 00:06:27.930 oder guckt sich eben den Schatten an, 00:06:27.930 --> 00:06:30.594 den der Knoten auf ein Blatt Papier wirft, 00:06:30.594 --> 00:06:34.130 wenn man ihn aus einer bestimmten Richtung beleuchtet. 00:06:34.380 --> 00:06:37.783 Da wird man jetzt relativ schnell merken, dass man ein Problem hat, 00:06:37.783 --> 00:06:40.545 was wir noch nicht angesprochen haben, 00:06:40.545 --> 00:06:43.548 dass wenn man den Knoten aus verschiedenen Richtungen fotografiert 00:06:43.548 --> 00:06:46.340 oder beleuchtet, zieht er unter Umständen anders aus, 00:06:46.651 --> 00:06:50.474 ist aber abstrakt derselbe Knoten. 00:06:50.474 --> 00:06:54.127 Also da muss es irgendwie Methoden geben, gibt es auch, 00:06:54.477 --> 00:06:58.190 wie man sozusagen feststellen kann, wie zwei solche. 00:06:58.362 --> 00:07:01.262 Wann zwei solche Bilder von Knoten übereinstimmen. 00:07:01.262 --> 00:07:02.806 Und wenn man so ein Bild von einem Knoten hat, 00:07:02.806 --> 00:07:04.511 eine Sache ist noch wichtig ist, 00:07:04.511 --> 00:07:07.705 damit man den Knoten wirklich repräsentiert hat, muss man sich... 00:07:07.705 --> 00:07:09.669 Da entstehen ja dann Kreuzungen natürlich. 00:07:10.202 --> 00:07:13.875 Außer es ist eben der triviale Knoten in seiner trivialen Projektion, 00:07:13.875 --> 00:07:15.490 also einfach nur so ein Kreis. 00:07:15.602 --> 00:07:16.805 Aber wenn das nicht der Fall ist, 00:07:16.805 --> 00:07:18.509 wenn man irgendwelche Kreuzungen hat, 00:07:18.509 --> 00:07:20.134 dann muss man sich bei den Kreuzungen auch merken, 00:07:20.134 --> 00:07:22.529 welches Seil oben ist und welches Seil unten ist. 00:07:22.582 --> 00:07:24.448 Aber da gibt es ja diesen typischen Trick beim Zeichnen, 00:07:24.448 --> 00:07:26.474 dass man eigentlich das obere Seil zeichnet man durch und 00:07:26.474 --> 00:07:28.101 das untere macht man so eine kleine Unterbrechung. 00:07:28.101 --> 00:07:30.237 Und dann ist das dem... 00:07:30.709 --> 00:07:34.300 Das muss man irgendwie als Kind schon gelernt haben, wenn man sowas sieht... 00:07:34.300 --> 00:07:36.125 Also das visuell, das wahrnimmt. 00:07:36.125 --> 00:07:37.829 Also man stellt sich jetzt so zwei Linien vor, 00:07:37.829 --> 00:07:39.863 die sich kreuzen und die eine ist unterbrochen. 00:07:39.933 --> 00:07:42.970 Man nimmt die echt als die untere wahr. 00:07:43.224 --> 00:07:45.998 Ja, wenn du ein Foto machst von einem Seil, was wirklich so verschlungen liegt. 00:07:45.998 --> 00:07:48.448 Ja, das obere sieht man eben durchgehen und das untere unterbrochen. 00:07:48.448 --> 00:07:52.565 Also ganz normale, also ganz alltägliche Wahrnehmung. 00:07:52.565 --> 00:07:55.250 Ja, so stellt man die dar. Also schematisch mit... 00:07:55.340 --> 00:07:57.342 Kurven auf der Fläche, 00:07:57.342 --> 00:08:00.846 die sich eben selbst überschneiden, wobei markiert ist, 00:08:00.846 --> 00:08:04.179 welcher Abschnitt der Kurve sozusagen oben oder unten verläuft. 00:08:04.590 --> 00:08:06.422 Und die muss eben wieder geschlossen sein. 00:08:06.592 --> 00:08:08.514 Übrigens, Verschlingungen hast du jetzt auch schon zweimal gesagt. 00:08:08.514 --> 00:08:10.997 Ich glaube, in der Fach-Terminologie sind Verschlingungen. 00:08:10.997 --> 00:08:14.390 Man könnte jetzt auch so Knoten mit mehreren Seilen betrachten. 00:08:14.541 --> 00:08:15.788 Und die nennt man dann Verschlingungen. 00:08:15.788 --> 00:08:18.063 Aber wir können die heute auch alle Knoten nennen. 00:08:18.063 --> 00:08:20.421 Also sozusagen in der Fachsprache sind Verschlingungen das Gleiche. 00:08:20.421 --> 00:08:22.791 Eben mit mehreren Seilen hat man mehrere Kreise. 00:08:22.791 --> 00:08:24.340 Dann wird alles noch viel komplizierter. 00:08:24.340 --> 00:08:27.162 So, und jetzt gibt es ja unseren ersten Satz. 00:08:27.162 --> 00:08:32.810 Ein Satz von Reidemeister, der sagt, wenn man jetzt so verschiedene Knotendiagramme. 00:08:32.961 --> 00:08:36.359 Also ein Knotendiagramm ist jetzt so ein Bild von einem Knoten. 00:08:36.450 --> 00:08:39.981 Verschiedene Knotendiagramme hat die den gleichen Knoten darstellen. 00:08:39.981 --> 00:08:44.058 Dann kann man diese Diagramme mit drei Arten von 00:08:44.510 --> 00:08:48.737 Bewegungen oder kleinen Veränderungen zur Übereinstimmung bringen, 00:08:48.737 --> 00:08:50.370 wenn es der gleiche Knoten ist. 00:08:50.722 --> 00:08:53.858 Und es ist auch genau dann, wenn. 00:08:54.169 --> 00:08:58.246 Und das ist so aus dem Jahr 1926, also ungefähr 100 Jahre, 00:08:58.497 --> 00:09:00.250 etwas weniger als 100 Jahre her. 00:09:00.620 --> 00:09:01.901 Also zwei Knotendiagramme, 00:09:01.901 --> 00:09:04.183 zwei Bilder von so einem Knoten gehören zu dem gleichen echten 00:09:04.183 --> 00:09:05.954 physikalischen Knoten, 00:09:06.044 --> 00:09:09.467 wenn ich sie durch drei verschiedene Typen von Bewegungen, 00:09:09.467 --> 00:09:11.618 also eine Folge davon, dass ich die immer wieder mache, 00:09:12.069 --> 00:09:13.650 in Übereinstimmung bringen kann. 00:09:13.650 --> 00:09:14.491 Und die kann ich jetzt mal erklären. 00:09:14.491 --> 00:09:16.082 Die sind eigentlich relativ einfach. 00:09:16.252 --> 00:09:17.723 Nummer eins betrifft ein Seil, 00:09:17.733 --> 00:09:20.565 Nummer zwei betrifft zwei Seile und Nummer drei betrifft drei Seile. 00:09:20.995 --> 00:09:21.986 Okay, bist du bereit? 00:09:22.737 --> 00:09:24.498 Ja. Los geht's. Die heißen Reidemeister-Bewegungen. 00:09:24.498 --> 00:09:27.010 Die heißen Reidemeister-Bewegungen nach Herrn Reidemeister. 00:09:27.721 --> 00:09:29.214 Reidemeister war ein Mathematiker. 00:09:29.305 --> 00:09:32.642 Der hat von 1893 bis 1971 gelebt. 00:09:33.334 --> 00:09:35.079 Ein deutscher Mathematiker. Und. 00:09:35.079 --> 00:09:38.884 Und... Los geht's. Der erste betrifft also ein Seil. 00:09:38.884 --> 00:09:40.551 An die erinnere ich mich noch. 00:09:40.551 --> 00:09:42.501 Die anderen zwei könnte ich jetzt aus dem Kopf nicht mehr sagen. 00:09:42.501 --> 00:09:44.816 Okay, also ein Seil kannst du nehmen 00:09:44.867 --> 00:09:47.894 und du kannst so eine triviale Schlinge in das eine Seil machen. 00:09:47.894 --> 00:09:50.707 Also erst geht das Seil gerade und dann. 00:09:50.707 --> 00:09:52.894 Machst so ein Looping. Machst einfach so ein Looping. 00:09:53.105 --> 00:09:55.461 Genau. Und so ein Looping ist halt, 00:09:56.073 --> 00:09:58.201 wenn du da an dem Seil an den beiden Enden ziehen würdest. 00:09:58.201 --> 00:10:00.333 Ist der weg. Also vielleicht sollte man noch sagen, diese. 00:10:00.333 --> 00:10:01.956 Man darf den einfach auflösen, diesen Looping. 00:10:01.956 --> 00:10:02.262 Genau. 00:10:02.262 --> 00:10:06.302 Also so ein Looping kann man wegziehen und das lag dann vielleicht einfach so. 00:10:06.302 --> 00:10:08.714 Oder man hat es aus einer komischen Richtung fotografiert und 00:10:08.714 --> 00:10:11.807 das ist natürlich der gleiche Knoten, wenn ich einfach diesen Looping so wegziehe. 00:10:12.342 --> 00:10:15.343 Und vielleicht sollte man noch sagen, diese Reidemeister-Moves, 00:10:15.596 --> 00:10:18.342 die betreffen immer nur so ein ganz kleines Stück von dem Knoten. 00:10:18.342 --> 00:10:19.768 Deswegen sind da eben doch, 00:10:19.768 --> 00:10:22.607 sieht es aus, als ob die Seilstücken da offene Enden haben oder als ob 00:10:22.607 --> 00:10:26.950 das mehrere Seilstücken sind. Oder in diesem Fall eben ein Strang. 00:10:27.123 --> 00:10:28.597 Also sie betreffen nur so ein ganz kleines Stück des Diagramms. 00:10:28.597 --> 00:10:32.335 Man macht das lokal in so einem kleinen Abschnitt von dem langen Seil, 00:10:32.335 --> 00:10:33.990 was man verknotet hat. 00:10:34.563 --> 00:10:38.530 Okay, so dann gibt es zwei parallele Seile. 00:10:38.687 --> 00:10:40.247 Ja, die darf man überkreuzen. 00:10:40.900 --> 00:10:45.658 Oder auseinander. Es laufen zwei Stränge parallel und die Bewegung ist, 00:10:45.849 --> 00:10:47.552 das eine Seil läuft jetzt nicht mehr parallel, 00:10:47.552 --> 00:10:51.490 sondern es geht einmal unter dem anderen drunter und kommt wieder zurück. 00:10:51.860 --> 00:10:55.003 Oder über das andere drüber und kommt auch oben wieder zurück. 00:10:55.003 --> 00:10:55.664 Also einfach sozusagen, 00:10:55.664 --> 00:10:58.956 das Seil liegt mal mit so einer Schlaufe, liegt über dem anderen, 00:10:58.987 --> 00:11:01.749 aber die Schlaufe ist nicht irgendwie verknotet mit dem anderen. 00:11:01.749 --> 00:11:02.910 Wenn man wieder gerade zieht, 00:11:02.910 --> 00:11:04.922 zieht die sich wieder zurück und es sind parallele Seile. 00:11:05.272 --> 00:11:06.163 Und diese Bewegung, 00:11:06.193 --> 00:11:07.794 die Reidemeister-Bewegung auf dem Diagramm, 00:11:07.794 --> 00:11:09.396 die können wir in beide Richtungen ausführen. 00:11:09.396 --> 00:11:12.508 Man kann jetzt entweder so eine Schlaufe erzeugen oder so eine Schlaufe wegmachen. 00:11:13.319 --> 00:11:14.490 Und bei dreien. 00:11:15.181 --> 00:11:21.263 Man hat eine Kreuzung und ein dritter Strang läuft oberhalb der, 00:11:21.635 --> 00:11:23.699 oberhalb diesen zwei gekreuzten Seilen einfach. 00:11:23.699 --> 00:11:25.241 einfach. Quer. 00:11:25.241 --> 00:11:28.347 Also die kreuzen sich in so X-Form und das eine läuft eben sozusagen oberhalb 00:11:28.347 --> 00:11:28.568 der Mitte. 00:11:28.568 --> 00:11:32.304 Also zwei kreuzen sich in X-Form und an denen wird nichts gemacht 00:11:32.495 --> 00:11:34.560 und eines liegt überhalb der Kreuzung. 00:11:34.560 --> 00:11:35.141 Ah, 00:11:35.141 --> 00:11:36.043 das darf man nach unten verschieben. 00:11:36.043 --> 00:11:37.566 Und man darf es einfach nach unten verschieben. 00:11:37.566 --> 00:11:38.928 Dann liegt es unterhalb der Kreuzung. 00:11:38.928 --> 00:11:40.311 Da verändert sich auch das Bild, 00:11:40.311 --> 00:11:42.375 also diese Topologie des Bildes oder 00:11:42.375 --> 00:11:45.101 der kombinatorische Typ des Bildes verändert sich dabei auch. 00:11:45.101 --> 00:11:47.717 Ist aber natürlich auch nichts, was den Knoten irgendwie, 00:11:48.931 --> 00:11:50.536 den physikalischen Knoten irgendwie verändert, 00:11:50.536 --> 00:11:52.161 sondern es ist eine Eigenschaft des Bildes. 00:11:52.161 --> 00:11:53.664 Und der überraschende Satz ist jetzt, 00:11:53.664 --> 00:11:56.249 also was wir jetzt eigentlich schon argumentiert haben 00:11:56.249 --> 00:11:57.832 oder sofort sichtbar ist, ist, 00:11:57.832 --> 00:12:00.196 dass wenn man diese Arten von Veränderungen macht, 00:12:00.196 --> 00:12:01.981 ändert sich an dem physikalischen Knoten nicht. 00:12:01.981 --> 00:12:05.741 Ich habe den jetzt quasi nur anders gemalt auf mein Blatt. 00:12:05.741 --> 00:12:08.830 Wenn ich statt zwei parallelen Strängen so einen Strang mache, 00:12:08.830 --> 00:12:11.578 einen Strang und der andere macht da so eine Schleife darüber, 00:12:11.578 --> 00:12:12.220 mit zweimal oben drüber. 00:12:12.220 --> 00:12:16.010 Also wenn der vorher unauflösbar war im Sinne von nicht identisch mit 00:12:16.010 --> 00:12:19.277 einfachen im geschlossenen Kreis ohne zusätzliche Verknotungen, 00:12:19.277 --> 00:12:20.770 dann bleibt er das auch. 00:12:21.120 --> 00:12:23.772 Und der schwierige Teil des Satzes ist jetzt zu zeigen, 00:12:23.782 --> 00:12:27.695 wenn ein physikalischer Knoten einfach nur zwei Diagramme von einem 00:12:27.966 --> 00:12:32.319 echten Knoten hat, dann gibt es auch immer eine Folge von diesen drei Dingen, 00:12:32.409 --> 00:12:35.101 also jedes mehrfach und an verschiedenen Stellen, 00:12:35.431 --> 00:12:37.423 die die beiden Diagramme ineinander überführt. 00:12:37.533 --> 00:12:41.866 Jetzt kommt natürlich die große Frage Was gibt es alles so für Knoten? 00:12:42.116 --> 00:12:42.617 Jede Menge. 00:12:42.617 --> 00:12:45.039 Das ist natürlich die Klassifikationsfrage, 00:12:45.039 --> 00:12:46.950 die wir uns in der Mathematik ja immer stellen. 00:12:47.241 --> 00:12:48.063 So, was kennen wir denn schon? 00:12:48.063 --> 00:12:49.407 Wir kennen den trivialen Knoten. 00:12:49.407 --> 00:12:52.585 Also ich fange an. Ich sage der triviale Knoten, den gibt es. 00:12:52.656 --> 00:12:54.464 Das ist einfach nur so ein Ring. 00:12:54.464 --> 00:12:57.683 Ja, der berühmteste nicht triviale ist mit Sicherheit der Kleblattknoten. 00:12:57.683 --> 00:12:58.275 Okay. 00:12:58.448 --> 00:12:59.031 Den hat auch, 00:12:59.031 --> 00:13:00.017 glaube ich, jeder schon mal gemacht. 00:13:00.017 --> 00:13:06.270 Heißt das auf Englisch. Ja, der sieht tatsächlich aus wie so ein dreiblättriger. 00:13:06.741 --> 00:13:07.531 Blume. 00:13:07.702 --> 00:13:08.764 Wenn man es richtig malt. 00:13:08.764 --> 00:13:12.339 Wenn man es richtig malt. Man kann den natürlich auf verschiedene Weisen malen. 00:13:12.570 --> 00:13:17.177 Ja, das sind so drei so Ohren, die in der Mitte eben korrekt verknotet sind. 00:13:17.177 --> 00:13:19.670 Das ist aber auch der erste Knoten, den man so lernt. 00:13:19.780 --> 00:13:21.952 Ja. Also man macht, man nimmt ein 00:13:23.064 --> 00:13:24.475 Schnürband, irgendein Band, 00:13:24.726 --> 00:13:27.349 macht eine Schlaufe und steckt das eine Ende, 00:13:27.349 --> 00:13:29.821 ich habe jetzt die Enden noch offen, steckt das Ende durch das Loch. 00:13:29.991 --> 00:13:32.594 Und dann zieht man es fest und dann hat man so einen Knoten, einen Knoten. 00:13:32.594 --> 00:13:36.809 Das ist der Knoten, der sich eigentlich immer an so Kopfhörerkabeln schnell bildet. 00:13:37.299 --> 00:13:40.363 Und. Und... Dann ist es eben bei den mathematischen Knoten sind 00:13:40.363 --> 00:13:41.855 die beiden Enden verbunden. 00:13:42.126 --> 00:13:43.969 Und dann, wenn man alles so hinzieht, 00:13:43.969 --> 00:13:45.691 dass alle Schlaufen gleich groß sind, 00:13:45.691 --> 00:13:47.854 dann hat er so schöne symmetrische Bilder, 00:13:47.854 --> 00:13:51.219 die das dann auf irgendwelchen Escher-Holzschnitten auch zu bewundern gibt. 00:13:51.219 --> 00:13:51.719 Ja, 00:13:51.950 --> 00:13:52.476 da gibt's sie auch. 00:13:52.476 --> 00:13:55.347 Also das ist so ein ikonisches Symbol. 00:13:55.347 --> 00:13:56.490 Das taucht irgendwie überall auf. 00:13:56.490 --> 00:13:58.474 Also es gibt irgendwie einen Haufen Sportmannschaften 00:13:58.474 --> 00:14:01.150 oder irgendwelche alten Ritterorden, die so. 00:14:01.381 --> 00:14:03.990 Kleblattknoten in ihren Logos haben. 00:14:04.003 --> 00:14:07.625 Ja, das ist bei so Ornamenten ist das manchmal auch dabei. 00:14:08.180 --> 00:14:09.945 Ja, man kann daraus Ornamente bauen. 00:14:09.945 --> 00:14:12.441 Genau. Also ich meine, Escher hat sich auch damit beschäftigt. 00:14:12.993 --> 00:14:14.666 Ist natürlich die Frage, aber warum? 00:14:14.737 --> 00:14:18.248 Warum ist es nicht? Vielleicht ist es doch ein Androck. 00:14:18.248 --> 00:14:20.641 Vielleicht ist es doch der gleiche Knoten wie der triviale Knoten. 00:14:20.641 --> 00:14:22.245 Ja, das kann man ja beweisen. 00:14:22.245 --> 00:14:25.834 Es gibt ja so Knoten-Invarianten, mit denen man tatsächlich feststellen kann, 00:14:25.834 --> 00:14:27.559 dass die gleich sind, wenn die Knoten gleich sind. 00:14:27.559 --> 00:14:29.765 Ja, also man, Invariante im Sinne von, 00:14:29.765 --> 00:14:34.003 man ordnet dem Knoten irgendeine Zahl zu oder irgendein anderes Objekt 00:14:34.394 --> 00:14:36.741 und kann diese Objekte dann vergleichen. 00:14:36.741 --> 00:14:38.635 Also bei Zahlen ist es irgendwie klar. 00:14:38.686 --> 00:14:41.854 Und dann, wenn die gut gemacht sind, diese Invarianten, 00:14:41.854 --> 00:14:43.077 dann haben die die Eigenschaft, dass, 00:14:43.077 --> 00:14:47.106 wenn man den gleichen zwei verschiedene Diagramme vom gleichen Knoten hat, 00:14:47.106 --> 00:14:49.492 dass dann die gleiche Invariante rauskommt, 00:14:49.492 --> 00:14:52.770 also die gleiche Zahl zum Beispiel bei der Invariante rauskommt. 00:14:53.342 --> 00:14:54.846 Und damit kann man dann beweisen, 00:14:54.846 --> 00:15:00.881 dass eben der Kleblattknoten ein echt anderer Knoten ist als der triviale Knoten. 00:15:00.881 --> 00:15:03.846 Dass diese Invarianten gut gemacht sind, beweist man dann meistens, 00:15:03.846 --> 00:15:08.574 indem man eben diese Reidemeister-Bewegungen einzeln nachrechnet und nachweist, 00:15:08.574 --> 00:15:11.911 dass unter so einer Bewegung sich diese Invariante nicht ändert. 00:15:11.911 --> 00:15:15.655 Also. Der Kleblattknoten ist was anderes als der triviale Knoten. 00:15:15.655 --> 00:15:16.957 Das halten wir erstmal fest. Ja, definitiv. 00:15:17.321 --> 00:15:18.522 Aber es ist nicht offensichtlich. 00:15:18.522 --> 00:15:21.547 Also vielleicht ist es offensichtlich auch so eine Erfahrungstatsache, 00:15:21.547 --> 00:15:24.010 weil es ist ja verknotet und wenn ich jetzt das Seil, 00:15:24.010 --> 00:15:27.455 also wenn die Seilenden verbunden sind von meinem verknoteten Schnürsenkel, 00:15:27.455 --> 00:15:31.190 wie soll ich das jetzt, also es ist eine Tatsache. 00:15:31.200 --> 00:15:34.384 Der Erfahrung, aber wir haben, man muss ja in der Mathematik sicherstellen, 00:15:34.384 --> 00:15:37.218 dass das auch unser mathematisches Modell, 00:15:37.248 --> 00:15:40.152 das auch wirklich abbildet, diese Realitätstatsache, 00:15:40.152 --> 00:15:42.374 also dass es jetzt hier in der Realität stimmt, heißt noch nicht, 00:15:42.374 --> 00:15:46.830 dass es auch schon bewiesen ist, weil ich dann, dann fehlt mir sozusagen die. 00:15:47.825 --> 00:15:48.836 Nur weil ich es nicht hingekriegt habe bisher. 00:15:48.836 --> 00:15:50.726 Verbindung zwischen der Realität und. 00:15:50.726 --> 00:15:52.449 Heißt es nicht, dass es gar nicht geht. 00:15:52.701 --> 00:15:55.587 Okay, und was man dann gern nutzt, sind so Knoten-Invarianten, 00:15:55.587 --> 00:15:57.290 wie Petra schon gerade erklärt hat. 00:15:57.290 --> 00:16:00.215 Also irgendeine Zahl oder ein anderes mathematisches Objekt, 00:16:00.215 --> 00:16:02.749 gibt auch dann Gruppen und Polynome sind sehr beliebt. 00:16:03.762 --> 00:16:05.104 Die man jedem Knoten, 00:16:05.104 --> 00:16:07.659 und damit meine ich jetzt jedem echten Knoten, zuordnet 00:16:08.291 --> 00:16:13.010 und die dann irgendwie aus dem Knotendiagramm hoffentlich bestimmbar sind. 00:16:13.367 --> 00:16:16.662 Also meine. Aufgabe, die ich, wenn ich testen will, 00:16:16.662 --> 00:16:19.235 ob zwei Knoten gleich sind oder ob ein Knoten vielleicht 00:16:19.445 --> 00:16:20.567 gar kein richtiger Knoten ist, 00:16:20.567 --> 00:16:22.068 weil ich Reidemeister-Bewegungen machen kann 00:16:22.068 --> 00:16:23.560 und dann kommt einfach nur ein Kreis raus, 00:16:23.750 --> 00:16:27.444 kann ich damit vereinfachen, indem ich diese Invarianten ausrechne. 00:16:27.515 --> 00:16:29.687 Und wenn die Invarianten unterschiedlich sind, 00:16:30.258 --> 00:16:31.040 dann sind die Knoten auch unterschiedlich. 00:16:31.040 --> 00:16:32.150 Bis zum nächsten Mal. 00:16:32.221 --> 00:16:35.036 Wenn die Invarianten gleich sind, habe ich aber keine, 00:16:35.287 --> 00:16:36.610 meistens keine gute Handhabe, 00:16:36.610 --> 00:16:39.656 weil die Invarianten irgendwie so eine vereinfachte Blickweise auf den Knoten 00:16:39.656 --> 00:16:41.401 sind oder irgendwie nicht alles abbilden. 00:16:41.401 --> 00:16:44.565 Ja, Invarianten sind meistens, ist eigentlich fast immer, 00:16:44.565 --> 00:16:46.427 wenn irgendwo eine Invariante auftaucht oder 00:16:46.427 --> 00:16:50.272 das Konzept von so einer Invariante auftaucht, sind die meistens besser, 00:16:50.272 --> 00:16:55.019 verschiedene Dinge zu finden, ja, also zu beweisen, 00:16:55.019 --> 00:16:56.610 dass zwei Sachen verschieden sind, 00:16:57.021 --> 00:17:00.043